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第十三 排列組合與概率

一、基礎(chǔ)知識
1．加法原理：做一事有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這事一共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法。
2．乘法原理：做一事，完成它需要分n個步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，……，第n步有mn種不同的方法，那么完成這事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。
3．排列與排列數(shù)：從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，從n個不同元素中取出m個(m≤n)元素的所有排列個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用 表示， =n(n-1)…(n-m+1)= ,其中m,n∈N,m≤n,
注：一般地 =1，0！=1， =n!。
4．N個不同元素的圓周排列數(shù)為 =(n-1)!。
5．組合與組合數(shù)：一般地，從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合，即從n個不同元素中不計順序地取出m個構(gòu)成原集合的一個子集。從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用 表示：

6．組合數(shù)的基本性質(zhì)：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。
7．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整數(shù)解的個數(shù)為 。
[證明]將r個相同的小球裝入n個不同的盒子的裝法構(gòu)成的集合為A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整數(shù)解構(gòu)成的集合為B，A的每個裝法對應B的唯一一個解，因而構(gòu)成映射，不同的裝法對應的解也不同，因此為單射。反之B中每一個解(x1,x2,…,xn),將xi作為第i個盒子中球的個數(shù)，i=1,2,…,n，便得到A的一個裝法，因此為滿射，所以是一一映射，將r個小球從左到右排成一列，每種裝法相當于從r-1個空格中選n-1個，將球分n份，共有 種。故定理得證。
推論1 不定方程x1+x2+…+xn=r的非負整數(shù)解的個數(shù)為
推論2 從n個不同元素中任取m個允許元素重復出現(xiàn)的組合叫做n個不同元素的m可重組合，其組合數(shù)為
8．二項式定理：若n∈N+,則(a+b)n= .其中第r+1項Tr+1= 叫二項式系數(shù)。
9．隨機事：在一定條下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事叫隨機事。在大量重復進行同一試驗時，事A發(fā)生的頻率 總是接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這個常數(shù)叫做事A發(fā)生的概率，記作p(A),0≤p(A)≤1.
10.等可能事的概率，如果一次試驗中共有n種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事A包含的結(jié)果有m種，那么事A的概率為p(A)=
11.互斥事：不可能同時發(fā)生的兩個事，叫做互斥事，也叫不相容事。如果事A1，A2，…，An彼此互斥，那么A1，A2，…，An中至少有一個發(fā)生的概率為
p(A1+A2+…+An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An).
12．對立事：事A，B為互斥事，且必有一個發(fā)生，則A，B叫對立事，記A的對立事為 。由定義知p(A)+p( )=1.
13．相互獨立事：事A（或B）是否發(fā)生對事B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事叫做相互獨立事。
14．相互獨立事同時發(fā)生的概率：兩個相互獨立事同時發(fā)生的概率，等于每個事發(fā)生的概率的積。即p(A•B)=p(A)•p(B).若事A1，A2，…，An相互獨立,那么這n個事同時發(fā)生的概率為p(A1•A2• … •An)=p(A1)•p(A2)• … •p(An).
15.獨立重復試驗:若n次重復試驗中,每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果,則稱這n次試驗是獨立的.
16.獨立重復試驗的概率:如果在一次試驗中,某事發(fā)生的概率為p,那么在n次獨立重復試驗中,這個事恰好發(fā)生k次的概率為pn(k)= •pk(1-p)n-k.
17．離散型隨機為量的分布列：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量表示，那么這樣的變量叫隨機變量，例如一次射擊命中的環(huán)數(shù)ξ就是一個隨機變量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。如果隨機變量的可能取值可以一一列出，這樣的隨機變量叫離散型隨機變量。
一般地，設離散型隨機變量ξ可能取的值為x1,x2,…,xi,…,ξ取每一個值xi(i=1,2,…)的概率p(ξ=xi)=pi，則稱表
ξx1x2x3…xi…
pp1p2p3…pi…
為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列，稱Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學期望或平均值、均值、簡稱期望，稱Dξ=(x1-Eξ)2•p1+(x2-Eξ)2•p2+…+(xn-Eξ)2pn+…為ξ的均方差，簡稱方差。 叫隨機變量ξ的標準差。
18．二項分布：如果在一次試驗中某事發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中，這個事恰好發(fā)生k次的概率為p(ξ=k)= , ξ的分布列為
ξ01…xi…N
p

…
…

此時稱ξ服從二項分布，記作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，則Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.
19.幾何分布：在獨立重復試驗中，某事第一次發(fā)生時所做試驗的次數(shù)ξ也是一個隨機變量，若在一次試驗中該事發(fā)生的概率為p，則p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,…)，ξ的分布服從幾何分布，Eξ= ，Dξ= (q=1-p).
二、方法與例題
1．乘法原理。
例1 有2n個人參加收發(fā)電報培訓，每兩個人結(jié)為一對互發(fā)互收，有多少種不同的結(jié)對方式？
[解] 將整個結(jié)對過程分n步，第一步，考慮其中任意一個人的配對者，有2n-1種選則；這一對結(jié)好后，再從余下的2n-2人中任意確定一個。第二步考慮他的配對者，有2n-3種選擇，……這樣一直進行下去，經(jīng)n步恰好結(jié)n對，由乘法原理，不同的結(jié)對方式有
(2n-1)×(2n-3)×…×3×1=
2．加法原理。
例2 圖13-1所示中沒有電流通過電流表，其原因僅因為電阻斷路的可能性共有幾種？
[解] 斷路共分4類：1）一個電阻斷路，有1種可能，只能是R4；2）有2個電阻斷路，有 -1=5種可能；3）3個電阻斷路，有 =4種；4）有4個電阻斷路，有1種。從而一共有1+5+4+1=11種可能。
3．插空法。
例3 10個節(jié)目中有6個演唱4個舞蹈，要求每兩個舞蹈之間至少安排一個演唱，有多少種不同的安排節(jié)目演出順序的方式？
[解] 先將6個演唱節(jié)目任意排成一列有 種排法，再從演唱節(jié)目之間和前后一共7個位置中選出4個安排舞蹈有 種方法，故共有 =604800種方式。
4．映射法。
例4 如果從1，2，…，14中，按從小到大的順序取出a1,a2,a3使同時滿足：a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少種？
[解] 設S={1,2,…,14}， ={1，2，…，10}；T={(a1,a2,a3) a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2≥3}, ={( )∈ },若 ，令 ，則(a1,a2,a3)∈T,這樣就建立了從 到T的映射，它顯然是單射，其次若(a1,a2,a3)∈T,令 ，則 ，從而此映射也是滿射，因此是一一映射，所以T= =120，所以不同取法有120種。
5．貢獻法。
例5 已知集合A={1，2，3，…，10}，求A的所有非空子集的元素個數(shù)之和。
[解] 設所求的和為x，因為A的每個元素a，含a的A的子集有29個，所以a對x的貢獻為29，又A=10。所以x=10×29.
[另解] A的k元子集共有 個，k=1,2,…,10，因此，A的子集的元素個數(shù)之和為 10×29。
6．容斥原理。
例6 由數(shù)字1，2，3組成n位數(shù)(n≥3)，且在n位數(shù)中，1，2，3每一個至少出現(xiàn)1次，問：這樣的n位數(shù)有多少個？
[解] 用I表示由1，2，3組成的n位數(shù)集合，則I=3n，用A1，A2，A3分別表示不含1，不含2，不含3的由1，2，3組成的n位數(shù)的集合，則A1=A2=A3=2n，A1 A2=A2 A3=A1 A3=1。A1 A2 A3=0。
所以由容斥原理A1 A2 A3= =3×2n-3.所以滿足條的n位數(shù)有I-A1 A2 A3=3n-3×2n+3個。
7．遞推方法。
例7 用1，2，3三個數(shù)字構(gòu)造n位數(shù)，但不允許有兩個緊挨著的1出現(xiàn)在n位數(shù)中，問：能構(gòu)造出多少個這樣的n位數(shù)？
[解] 設能構(gòu)造an個符合要求的n位數(shù)，則a1=3，由乘法原理知a2=3×3-1=8.當n≥3時：1）如果n位數(shù)的第一個數(shù)字是2或3，那么這樣的n位數(shù)有2an-1；2）如果n位數(shù)的第一個數(shù)字是1，那么第二位只能是2或3，這樣的n位數(shù)有2an-2，所以an=2(an-1+an-2)(n≥3).這里數(shù)列{an}的特征方程為x2=2x+2，它的兩根為x1=1+ ,x2=1- ,故an=c1(1+ )n+ c2(1+ )n,由a1=3,a2=8得 ，所以
8．算兩次。
例8 m,n,r∈N+，證明： ①
[證明] 從n位太太與m位先生中選出r位的方法有 種；另一方面，從這n+m人中選出k位太太與r-k位先生的方法有 種，k=0,1,…,r。所以從這n+m人中選出r位的方法有 種。綜合兩個方面，即得①式。
9．母函數(shù)。
例9 一副三色牌共有32張，紅、黃、藍各10張，編號為1，2，…，10，另有大、小王各一張，編號均為0。從這副牌中任取若干張牌，按如下規(guī)則計算分值：每張編號為k的牌計為2k分，若它們的分值之和為2004，則稱這些牌為一個“好牌”組，求好牌組的個數(shù)。
[解] 對于n∈{1,2,…,2004},用an表示分值之和為n的牌組的數(shù)目，則an等于函數(shù)f(x)=(1+ )2•(1+ )3••••…•(1+ )3的展開式中xn的系數(shù)（約定x<1），由于f(x)= [ (1+ )(1+ )•…•(1+ )]3= 3 = 3。
而0≤2004<211，所以an等于 的展開式中xn的系數(shù)，又由于 = • =(1+x2+x3+…+x2k+…)[1+2x+3x2+…+(2k+1)x2k+…],所以x2k在展開式中的系數(shù)為a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,…,從而，所求的“好牌”組的個數(shù)為a2004=10032=1006009.
10．組合數(shù) 的性質(zhì)。
例10 證明： 是奇數(shù)(k≥1).
[證明] = 令i= •pi(1≤i≤k)，pi為奇數(shù)，則 ，它的分子、分母均為奇數(shù)，因 是整數(shù)，所以它只能是若干奇數(shù)的積，即為奇數(shù)。
例11 對n≥2,證明：
[證明] 1）當n=2時，22< =6<42；2）假設n=k時，有2k< <4k,當n=k+1時，因為
又 <4，所以2k+1< .
所以結(jié)論對一切n≥2成立。
11．二項式定理的應用。
例12 若n∈N, n≥2，求證：
[證明] 首先 其次因為 ，所以 2+ 得證。
例13 證明：
[證明] 首先，對于每個確定的k，等式左邊的每一項都是兩個組合數(shù)的乘積，其中 是(1+x)n-k的展開式中xm-h的系數(shù)。 是(1+y)k的展開式中yk的系數(shù)。從而 • 就是(1+x)n-k•(1+y)k的展開式中xm-hyh的系數(shù)。
于是， 就是 展開式中xm-hyh的系數(shù)。
另一方面， = = • = (xk-1+xk-2y+…+yk-1)，上式中，xm-hyh項的系數(shù)恰為 。
所以
12．概率問題的解法。
例14 如果某批產(chǎn)品中有a次品和b正品，采用有放回的抽樣方式從中抽取n產(chǎn)品，問：恰好有k是次品的概率是多少？
[解] 把k產(chǎn)品進行編號，有放回抽n次，把可能的重復排列作為基本事，總數(shù)為(a+b)n（即所有的可能結(jié)果）。設事A表示取出的n產(chǎn)品中恰好有k是次品，則事A所包含的基本事總數(shù)為 •akbn-k，故所求的概率為p(A)=
例15 將一枚硬幣擲5次，正面朝上恰好一次的概率不為0，而且與正面朝上恰好兩次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。
[解] 設每次拋硬幣正面朝上的概率為p，則擲5次恰好有k次正面朝上的概率為 (1-p)5-k(k=0,1,2,…,5)，由題設 ，且0<p<1，化簡得 ，所以恰好有3次正面朝上的概率為
例16 甲、乙兩個乒乓球運動員進行乒乓球比賽，已知每一局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，比賽時可以用三局二勝或五局三勝制，問：在哪一種比賽制度下，甲獲勝的可能性大？
[解] （1）如果采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝：A1—2：0（甲凈勝二局），A2—2：1（前二局甲一勝一負，第三局甲勝）. p(A1)=0.6×0.6=0.36,p(A2)= ×0.6×0.4×0.6=0.288.
因為A1與A2互斥，所以甲勝概率為p(A1+A2)=0.648.
(2)如果采用五局三勝制，則甲在下列三種情況下獲勝：B1—3：0（甲凈勝3局），B2—3：1（前3局甲2勝1負，第四局甲勝），B3—3：2（前四局各勝2局，第五局甲勝）。因為B1，B2，B2互斥，所以甲勝概率為p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.63+ ×0.62×0.4×0.6+ ×0.62×0.42×0.6=0.68256.
由（1），（2）可知在五局三勝制下，甲獲勝的可能性大。
例17 有A，B兩個口袋，A袋中有6張卡片，其中1張寫有0，2張寫有1，3張寫有2；B袋中有7張卡片，其中4張寫有0，1張寫有1，2張寫有2。從A袋中取出1張卡片，B袋中取2張卡片，共3張卡片。求：（1）取出3張卡片都寫0的概率；（2）取出的3張卡片數(shù)字之積是4的概率；（3）取出的3張卡片數(shù)字之積的數(shù)學期望。
[解]（1） ；（2） ；（3）記ξ為取出的3張卡片的數(shù)字之積，則ξ的分布為
ξ0248
p

所以
三、基礎(chǔ)訓練題
1．三邊長均為整數(shù)且最大邊長為11的三角形有_________個。
2．在正2006邊形中，當所有邊均不平行的對角線的條數(shù)為_________。
3．用1，2，3，…，9這九個數(shù)字可組成_________個數(shù)字不重復且8和9不相鄰的七位數(shù)。
4．10個人參加乒乓球賽，分五組，每組兩個人有_________種分組方法。
5．以長方體的頂點為頂點的三棱錐的個數(shù)是_________。
6．今天是星期二，再過101000天是星期_________。
7．由 展開式所得的x的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有_________項。
8．如果凸n邊形(n≥4)的任意三條對角線不共點，那么這些對角線在凸n邊形內(nèi)共有_________個交點。
9．袋中有a個黑球與b個白球，隨機地每次從中取出一球（不放回），第k(1≤k≤a+b)次取到黑球的概率為_________。
10．一個箱子里有9張卡片，分別標號為1，2，…，9，從中任取2張，其中至少有一個為奇數(shù)的概率是_________。
11．某人拿著5把鑰匙去開門，有2把能打開。他逐個試，試三次之內(nèi)打開房門的概率是_________。
12．馬路上有編號為1，2，3，…，10的十盞路燈，要將其中三盞關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條的關(guān)燈方法種數(shù)是_________。
13．a(chǎn),b,c,d,e五個人安排在一個圓桌周圍就坐，若a,b不相鄰有_________種安排方式。
14．已知i,m,n是正整數(shù)，且1<i≤m≤n。證明：（1） ；（2）(1+m)n>(1+n)m.
15.一項“過關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所得到的點數(shù)之和大于2n，則算過關(guān)。問：（1）某人在這項游戲中最多能過幾關(guān)？（2）他連過前三關(guān)的概率是多少？（注：骰子是一個在各面上分別有1，2，3，4，5，6點數(shù)的均勻正方體）
四、高考水平訓練題
1．若n∈{1,2,…,100}且n是其各位數(shù)字和的倍數(shù)，則這種n有__________個。
2．從{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3個不同元素作為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)，能組成過原點，且頂點在第一或第三象限的拋物線有___________條。
3．四面體的頂點和各棱的中點共10個點，在其中任取4個不共面的點，有_________種取法。
4．三個人傳球，從甲開始發(fā)球，每次接球后將球傳給另外兩人中的任意一個，經(jīng)5次傳球后，球仍回到甲手中的傳法有_________種。
5．一條鐵路原有m個車站（含起點，終點），新增加n個車站（n>1），客運車票相應地增加了58種，原有車站有_________個。
6．將二項式 的展開式按降冪排列，若前三項系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的冪指數(shù)是整數(shù)的項有_________個。
7．從1到9這九個自然數(shù)中任取兩個分別作為對數(shù)的真數(shù)和底數(shù)，共可得到_________種不同的對數(shù)值。
8．二項式(x-2)5的展開式中系數(shù)最大的項為第_________項，系數(shù)最小的項為第_________項。
9．有一批規(guī)格相同的均勻圓棒，每根被劃分成長度相同的5節(jié)，每節(jié)用紅、黃、藍三色之一涂色，可以有_________種顏色不同的圓棒？（顛倒后相同的算同一種）
10．在1，2，…，2006中隨機選取3個數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是_________。
11．投擲一次骰子，出現(xiàn)點數(shù)1，2，3，…，6的概率均為 ，連續(xù)擲6次，出現(xiàn)的點數(shù)之和為35的概率為_________。
12．某列火車有n節(jié)旅客車廂，進站后站臺上有m(m≥n)名旅客候車，每位旅客隨意選擇車廂上車，則每節(jié)車廂都有旅客上車的概率是_________。
13．某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%，如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？（糧食單產(chǎn)= ）
五、聯(lián)賽一試水平訓練題
1．若0<a<b<c<d<500，有_________個有序的四元數(shù)組（a,b,c,d）滿足a+d=b+c且bc-ad=93.
2.已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3個不同的元素，并且該直線傾斜角為銳角，這樣的直線條數(shù)是_________。
3．已知A={0，1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→A滿足：（1）若i≠j，則f(i)≠f(j)；（2）若i+j=7，則f(i)+f(j)=7，這樣的映射的個數(shù)為_________。
4．1，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有性質(zhì)：對于1≤i≤4,a1,a2,…,ai不構(gòu)成1，2，…，i的某個排列，這種排列的個數(shù)是_________。
5．骰子的六個面標有1，2，…，6這六個數(shù)字，相鄰兩個面上的數(shù)字之差的絕對值叫變差，變差的總和叫全變差V，則全變差V的最大值為_________，最小值為_________。
6．某次乒乓球單打比賽中，原計劃每兩名選手恰比賽一場，但有3名選手各比賽2場之后就退出了，這樣，全部比賽只進行50場，上述三名選手之間比賽場數(shù)為_________。
7．如果a,b,c,d都屬于{1,2,3,4}且a≠b,b≠c,c≠d, d≠a；且a是a,b,c,d中的最小值，則不同的四位數(shù) 的個數(shù)為_________。
8．如果自然數(shù)a各位數(shù)字之和等于7，那么稱a為“吉祥數(shù)”，將所有的吉祥數(shù)從小到大排成一列a1,a2,a3,…,若an=2005，則an=_________。
9．求值： =_________。
10．投擲一次骰子，出現(xiàn)點數(shù)1，2，…，6的概率均為 ，連續(xù)擲10次，出現(xiàn)的點數(shù)之和是30的概率為_________。
11．將編號為1，2，…，9這九個小球隨機放置在圓周的九個等分點上，每個等分點上各有一個小球，設周圍上所有相鄰兩球的號碼之差的絕對值之和為S，求S達到最小值的放法的概率（注：如果某種放法經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一放法重合，則認為是相同的放法）。
12．甲、乙兩人輪流向同一目標射擊，第一次甲射擊，以后輪流射擊，甲每次擊中的概率為p(0<p<1)，乙每次擊中的概率為q(0<q<1)，求甲、乙首先擊中的概率各是多少？
13．設m,n∈N,0<m≤n，求證： …+
六、聯(lián)賽二試水平訓練題
1．100張卡片上分別寫有數(shù)字1到100，一位魔術(shù)師把這100張卡片放入顏色分別是紅色、白色、藍色的三個盒子里，每個盒子里至少放入一張卡片。
一位觀眾從三個盒子中挑出兩個，并從中各選取一張卡片，然后宣布這兩張卡片上的兩個數(shù)的和數(shù)，魔術(shù)師知道這個和數(shù)之后，便能夠指出哪一個是沒有被觀眾取出卡片的盒子。問：共有多少種放卡片的方法，使得這個魔術(shù)師總能夠成功？（如果至少有一張卡片被放入不同顏色的盒子，兩種方法被認為是不同的）
2．設S={1,2,…,10}，A1，A2，…，Ak是S的k個子集合，滿足：（1）Ai=5,i=1,2,…,k;（2）Ai Aj≤2,1≤i<j≤k，求k的最大值。
3．求從集合{1,2,…,n}中任取滿足下列條的k個數(shù){j1,j2,…,jk}的組合數(shù)；（1）1≤j1<j2<…<jk≤n；（2）jh+1-jh≥m,h=1,2,…,k-1,其中m>1為固定的正整數(shù)；（3）存在h0,1≤h0≤k-1，使得 ≥m+1.
4.設 ,其中S1，S2，…，Sm都是正整數(shù)且S1<S2<…<Sm，求證組合數(shù) 中奇數(shù)的個數(shù)等于2m。
5． 個不同的數(shù)隨機排成圖13-2所示的三角形陣，設k是從上往下第k行中的最大數(shù)，求1<2<…<n的概率。
6．證明：

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