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第五 平面向量
【知識網絡】

【學法點撥】
向量是溝通代數與幾何的重要工具，它在日常生活、生產實踐以及其他相關學科中有著廣泛的應用．學習和理解向量有關知識時，建議：
1.注意比較與分析．向量的有關概念與我們學習過的有關知識既有聯系又有區別，如：平行、相等、乘積等等．留心比較分析，可防止學習過的有關知識對現學知識的負面影響．
2.能畫圖時盡可能多畫草圖．數離形時少直觀，形離數時欠入微．向量具有數與形的雙重特征，加減法以三角形法則、平行四邊形法則為背景，平行、垂直都對應著一個方程，數形結合考察問題，常常事半功倍．
3.學會聯想與化歸．向量知識是從日常生活、生產實踐中抽象出的，求解向量綜合題，常需要適當聯想，并將應用問題數學化，復雜問題熟悉化、簡單化．

第29 向量的基本運算
【考點指津】
1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量、相等向量等
概念．
2．掌握向量的加法與減法，會正確運用三角形法則、平行四邊形法則．
3掌握向量加法的交換律、結合律，并會用它們進行向量化簡與計算．
4．理解向量的減法運算可以轉化為向量的加法運算．
【知識在線】
1．（2a＋8b）－（4a－2b）=
2．在△ABC中，BC→ =a， CA→ =b，則AB→ =
3．設a表示向東3km，b表示向北偏東30º走3km，則a＋b表示的意義為
4．畫出不共線的任意三個向量，作圖驗證a－b－c=a－（b＋c）．
5．向量a、b滿足a=8，b=10，求a＋b的最大值、最小值．
【講練平臺】
例1 化簡以下各式：①AB→ +BC→ +CA→ ；②AB→ －AC→ ＋BD→ －CD→ ；③OA→ －OD→ ＋AD→ ；④NQ→ ＋QP→ ＋N→ －P→ ．結果為０的個數為　　　　　　　　　　　　　（　　　）
　　Ａ．１　　 Ｂ．２　　 Ｃ．３　　 Ｄ．４
　　分析　題設條中多處涉及首尾相接的兩個向量求和以及同起點的兩個向量相減，對此，我們可以運用向量加減的定義進行合并，當最終形式出現兩相反向量之和或相等向量之差時，結果為０．
　　答　Ｄ．
點評 本題鞏固了向量加減的定義及向量加法的交換律、結合律等基礎知識．求解時需將雜亂的向量運算式有序化處理，必要時也可化減為加，減低出錯律．注意：AB→ = －BA→ ， +CB→ =AB→ ．
變題 作圖驗證 A1A2→ ＋A2A3→ ＋A3A4→ ＋…＋An－1An→ =A1An→ （n≥2，n∈N）．
例2 如圖，在ΔABC中，D、E為邊AB的兩個三等分點，CA→ =3a，CB→ =2b，求CD→ ，CE→ ．
分析 本題中的已知向量都集中體現在三角形中．為此，可充分利用向量加減法的三角形法則實施求解．如已知CA→ 、CB→ 可求AB→ ，根據AD→ 、AE→ 、AB→ 均為共線向量，故又可求得AD→ 、DE→ 、．由CA→ 、AD→ 又可求CD→ ，由DE→ 、CD→ 又可求CE→ ．
解 AB→ =AC→ +CB→ = －3a+2b，
因D、E為AB→ 的兩個三等分點，
故AD→ = AB→ =－a＋ b =DE→ ，
CD→ =CA→ ＋AD→ =3a－a＋ b =2a＋ b，
CE→ =CD→ ＋DE→ =2a＋ b－a＋ b=a＋ b．
點評 三角形中兩邊對應向量已知，可求第三邊所對應的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞錯．
當向量運算轉化成基底向量的代數式運算時，其運算過程可仿照多項式的加減運算進行．
例3 已知A、B、C、P為平面內四點，求證：A、B、C三點在一條直線上的充要條是存在一對實數m、n，使PC→ =mPA→ +nPB→ ，且m+n=1．
分析 A、B、C 三點共線的一個充要條是存在 實數λ，使得AC→ =λAB→ ．很顯然，題設條中向量表達式并未涉及AC→ 、AB→ ，對此，我們不妨利用 PC→ =PA→ ＋AC→ 轉化，以便進一步分析求證．
證明 充分性，由PC→ =mPA→ ＋nPB→ ， m＋n=1， 得
PA→ ＋AC→ =mPA→ ＋n（PA→ ＋AB→ ）
=（m＋n）PA→ ＋nAB→ =PA→ ＋nAB→ ，
∴AC→ =nAB→ ．
∴A、B、C三點共線．
必要性:由A、B、C 三點共線知，存在常數λ，使得AC→ =λAB→ ，
即 AP→ +PC→ =λ（AP→ +PB→ ）．
PC→ =（λ－1）AP→ ＋λPB→ =（1－λ）PA→ ＋λPB→ ，
m=1－λ，n=λ，m＋n=1，
PC→ =mPA→ ＋nPB→ ．
點評 逆向應用向量加法運算法則，使得本題的這種證法比其他證法更簡便，值得一提的是，一個向量拆成兩個向量的和，一定要強化目標意識．
變題 在ΔABC 所在平面上有一點P ，滿足PA→ ＋PB→ ＋PC→ =AB→ ，試確定點 P的位置．
答：P在 AC邊上，且 P為 AC的一個三等分點（距 A點較近）
例4 （1）若點 O是三角形ABC的重心，求證：OA→ ＋OB→ ＋OC→ =0；（2）若 O為正方形ABCD的中心，求證：OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ =0；（3）若O 為正五邊形ABCDE 的中心，求證：OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ ＋OE→ =0．
若 O為正n邊形A1A2A3…A n的中心，OA1→ ＋OA2→ ＋OA3→ ＋…＋OAn→ =0 還成立嗎？說明理由．
分析 本題四問構成一個題鏈，條相似，結論相似，求證方法可望相似．
正三角形、正方形性質特殊，我們十分熟悉，求證方法多，不容易發現那一種方更有利于推廣，我們選定正五邊形研究．
看著結論，聯想一個相似的并且已經解決的問題，本例1的變題A1A2→ ＋A2A3→ ＋A3A4→ ＋…＋An－1An→ +AnA1→ =0 ，這里的向量首尾相接，我們能不能將OA→ 、OB→ 、OC→ 、OD→ 、OE→ 也轉化成首尾相接的形式呢？運用向量相等的定義試試看．
解 證（3）以 A為起點作AB′→ =OB→ ，以 B′為起點作B′C′→ =OC→ ，以C′為起點作C′D′→ =OD→ ，以D′為起點作D′E′→ =OE→ ．
∵∠AOB=72º，
∴∠OAB′=108º．
同理∠AB′C′=∠B′C′D′=∠C′D′E′=108º，故∠D′E′A=108º．
OA→ =AB′→ =?B′C′→ =C′D′→ =D′E′→ ，
故 E′與 O重合，OAB′C′D′為正五邊形．
OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ ＋OE→ =OA→ ＋AB′→ ＋B′C′→ ＋C′D′→ ＋D′E′→ =0．
正三角形，正方形、正n邊形可類似獲證．
點評 本題不僅揭示了正多邊形的一類共同性質，而且鞏固了“以退為進”的數學思想．面對一般的問題，我們經常先考慮其特殊的情況；面對陌生的問題，經常去聯想熟悉的模型．注意退是為了進，退到特殊簡單情形后，要在求解中悟出一般的規律．如退到正方形情況，發現OA→ ＋OB→ 與OC→ ＋OD→ 正好互為相反向量，結論成立．這一方法卻不具一般性．
【知能集成】
1．基礎知識：向量加減的代數形式運算與幾何形式運算．
2．基本技能：向量運算中的合二為一與拆一為二．
3．基本思想：向量表達式運算與幾何式運算的相互結合思想，聯想熟悉的類似的模型，化歸轉化思想．
【訓練反饋】
1．下列各式正確的是： （ ）
A．?a－b?≤?a?+?b? B． a+b?>?a?+?b?
C．?a+b?>?a－b? D．? a－b?=?a?－?b?
2．下面式子中不能化簡成AD→ 的是 （ ）
A．OC→ －OA→ ＋C D→ B．PB→ －DA→ －BP→
C．AB→ －DC→ ＋BC→ D．（AD→ －B→ ）＋（BC→ －C→ ）
3．正方形ABCD的邊長為1，AB→ =a，BC→ =b，AC→ =c，則a＋b＋c、a－b＋c、－a－b＋ c 的摸分別等于 ．
4．設a、b 為已知向量，若3x＋4y=a，2x－3y=b ， 則 x= ．
y= ．
5．已知 e1、e2 不共線，AB→ =2e1＋ke2，CB→ =e1＋3e2，C D→ =2e1－e2，且A、B、D 三點在同一條直線上，求實數k ．
6．在正六邊形ABCDEF中，O 為中心，若OA→ =a，OE→ =b，用a、b 表示向量OB→ ，OC→ ，OD→ ，結果分別為 （ ）
A．－b，－b－a，－a B． b，－a，b－a
C．－b，a，a－b D．－b，－a，a＋b
7． 試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
8．已知P為△ABO 所在平面內的一點，滿足OP→ = ，則P在 （ ）
A．∠AOB的平分線所在直線上 B． 線段AB的中垂線上
C． AB邊所在的直線上 D． AB邊的中線上．
9．設O是平面正多邊形A1A2A3…A n 的中心，P
為任意點，求證：
PA1→ ＋PA2→ ＋PA3→ ＋…＋PAn→ =nPO→ ．
10．如圖設O為△ABC內一點，PQ∥BC，且PQ→ ∶
BC→ =2∶3， OA→ =a，OB→ =b，OC→ =c，
則 OP→ ，OQ→ ．

11．P為△ABC所在平面內一點，PA→ ＋PB→ ＋PC→ =0 ，則P為△ABC的 （ ）
A．重心 B．垂心 C． 內心 D．外心
12．在四邊形ABCD中，E為AD的中點，F為BC的中點．求證：EF→ = （AB→
＋DC→ ）．
第30 向量的坐標運算
【考點指津】
1．理解平面向量的坐標表示法，知道平面向量和一對有序實數一一對應．
2．掌握平面向量的和、差、實數與向量積的坐標運算，能利用向量的坐標運算解題．
3．掌握平面向量平行的充要條的坐標表示，并利用它解決向量平行（共線）的有關問題，弄清向量平行和直線平行的區別．
【知識在線】
1．若向量a的起點坐標為 （－2，1），終點坐標為（2，－1），則向量a的坐標為

2．若O為坐標原點，向量a=（－3，4），則與a共線的單位向量為
3．已知a=（－1，2），b=（1，－2），則a＋b與a－b的坐標分別為 （ ）
A．（0，0），（－2，4） B．（0，0），（2，－4）
C．（－2，4），（2，－4） D．（1，－1），（－3，3）
4．若向量a=（x－2，3），與向量b=（1，y＋2）相等，則 （ ）
A.x=I，y=3， B． x=3，y=1
C． x=1，y=－5 D． x=5，y=－1
5．已知A（0，0），B（3，1），C（4，3），D（1，2），、N分別為DC、AB的中點．
（1）求證四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）試判斷A→ 、CN→ 是否共線？為什么？
【講練平臺】
例1 已知a=（1，2），b=（－3，2），當k為何值時，ka+b與a－3b平行？
分析 已知a、b的坐標，可求a－3b的坐標，ka＋b的坐標也可用含k的表達式表示．運用兩向量平行的充要條x1y2－x2y1=0可求k值．
解 由已知a=（1，2），b=（－3，2）， 得
a－3b=（10，－4）， ka＋b=（k－3，2k＋2）．
因（ka＋b）∥（a－3b），
故10（2k＋2）＋4（k－3）=0．
得k=－ ．
點評 坐標形式給出的兩個向量，其橫坐標之和即為和向量的橫坐標；其縱坐標之和即為和向量的縱坐標．實數與向量的積其橫、縱坐標分別等于實數與該向量的橫、縱坐標的積．
向量的平行用坐標形式表達即為一個方程．
例2 已知向量a=（ ， ），b=（－1，2），c=（2，－4）．求向量d，使2a，－b＋ c及4（c－a）與d四個向量適當平移后，能形成一個順次首尾相接的封閉向量鏈．
分析 四個向量適當平移后，形成一個順次首尾相接的封閉向量鏈，說明這四個向量之和為0．即四個向量的縱橫坐標之和均為0．據此列出關于向量d（x，y）的方程組，不難求得x、y．
簡解 設向量d的坐標為（x，y），由2a＋（－b＋ c）＋4（c－a）＋d=0，
可解得d=（－9，23）．
點評 數學語言常有多種表達方式，學會轉化與變通是求解的關鍵．本題以幾何特征語言形式出現，最終落足點要變式成方程的語言求解，這一思想方法在求解向量問題時經常用到．
例3 已知平面上三點P（2，1），Q（3，－1），R（－1，3）．若點S與這三點可以為一個平行四邊形的四個頂點，求S的坐標．
分析 平行四邊形對邊對應向量相等或相反，由此可求得S點的坐標．但由于題設四點構成四邊形的四個頂點，那一組邊是對邊不明顯，需要分類討論．
簡解 設S的坐標為（x，y）．
（1）當PQ→ 與RS→ 是一組對邊時，
若PQ→ =RS→ ，則（3，－1）－（2，1）=（x＋1，y－3），
即 （1，－2）=（x＋1，y－3），得S點坐標為（0，1）．
若PQ→ =SR→ ，則S點坐標為（－2，5）．
（2）當PR→ 與SQ→ 是一組對邊時，
若PR→ =SQ→ ，則S點的坐標為（6，－3）．
若PR→ =QS→ ，則S點的坐標為（0，1）．
（3）當PS→ 與RQ→ 是一組對邊時，
若PS→ =RQ→ ，則S點的坐標為（6，－3）．
若PS→ =QR→ ，則S點的坐標為（－2，5）．
綜上所述，S點坐標可以為（0，1），（6，－3），（－2，5）．
點評 本題求解需運用分類討論思想．上述解法思路自然、條理清晰，但很顯然不是最簡方案，如何數形結合，避免重復勞動，讀者不妨思考．
例4 向量PA→ =（k，12），PB→ =（4，5），PC→ =（10，k），當k為何值時，A、B、C三點共線．
分析 三點共線問題前一已涉及，A、B、C三點共線的充要條是AB→ =λBC→ ，本題所不同的是向量用坐標形式給出，對此，我們可以將坐標代入運算．
解 AB→ =PB→ －PA→ =（4－k，－7），BC→ = PC→ －PB→ =（6，k－5）．
當A、B、C三點共線時，存在實數λ，使得AB→ =λBC→ ，將坐標代入，得
4－k=6λ，且 －7=λ（k－5），
故（4－k）（k－5）=－42．
解得k=11，或k=－2．
點評 向量的幾何運算與向量的坐標運算，可以從不同角度去求解（證）同一個問題．只不過兩套工具各有適用范圍，即便兩套工具都適用，也可能繁簡不一，應用時要注意前瞻性選擇．
變題 求證：互不重合的三點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）共線的充要條是（x2－x1）（y3－y1）=（x3－x1）（y2－y1）．
證明 必要性（略）．
充分性 若（x2－x1）（y3－y1）=（x3－x1）（y2－y1），由A、B、C互不重合，得（x2－x1）、（y3－y1）、（x3－x1）、（y2－y1）中至少有一個不為零，不妨設x3－x1≠0．令x2－x1=λ（x3－x1），若λ=0，則x2－x1=0，此時y2≠y1（否則A、B重合）．而已知等式不成立，故λ≠0．于是（x3－x1）（y2－y1）=λ（x3－x1）（y3－y1）．
因x3－x1≠0 ，故 （y2－y1）=λ（y3－y1）．
于是（x2－x1，y2－y1）=λ（x3－x1，y3－y1），即 AB→ =λAC→ ，且AC→ ≠0 ．
又因AB→ 與AC→ 有相同起點，所以A、B、C三點共線．
【知能集成】
基礎知識：坐標形式的向量的加減運算，實數與向量坐標的積．
基本技能：向量平行的充要條及向量相等的充要條用坐標形式描述和應用．
基本思想：將向量等式轉化成方程的思想；對幾何圖形的分類討論思想．
【訓練反饋】
1．若a=（2，3），b=（4，y－1），且a∥b，則y= （ ）
A．6 B．5 C．7 D． 8
2．已知點B的坐標為（m，n），AB→ 的坐標為（i，j），則點A的坐標為 （ ）
A．（m－i，n－j） B．（i－m，j－n）
C．（m＋i，n＋j） D．（m＋n，i＋j）
3．若A（－1，－1），B（1，3），C（x，5）三點共線，則x= ．
4．已知a=（5，4），b=（3，2），則與2a－3b平行的單位向量為
5．有下列說法
①已知向量PA→ =（x，y），則A點坐標為（x，y）；
②位置不同的向量，其坐標有可能相同；
③已知i=（1，0），j=（0，1），a=（3，4），a=3i－4j ；
④設a=（m，n），b=（p，q），則a=b的充要條為m=p，且n=q．
其中正確的說法是 （ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．下列各向量組中，不能作為表示平面內所有向量的基底的一組是 （ ）
A．a=（－1，2），b=（0，5） B．a=（1，2），b=（2，1）
C．a=（2，－1）b=（3，4） D．a=（－2，1），b=（4，－2）
7．設a=（－1，2），b=（－1，1），c=（3，－2），用a、b作基底，可將向量c表示為c=pa＋qb，則 （ ）
A．p=4， q=1 B．p=1， q=－4 C．p=0 ， q=4 D．p=1， q=4
8．設i=（1，0），j=（0，1），在平行四邊形ABCD中，AC→ =4i＋2j，BD→ =2i＋6j，則AB→ 的坐標為 ．
9．已知3sinβ=sin（2α＋β），α≠kπ＋ ，β≠kπ，k∈z，a=（2，tan（α+β）），b=（1，tanα），求證：a∥b．
10．已知A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC與OB的交點P的坐標（x，y）．
11．已知點O（0，0），A（1，2），B（4，5），且OP→ =OA→ ＋tAB→ ．
（1）當t變化時，點P是否在一條定直線上運動？
（2）當t取何值時，點P在y軸上？
（3）OABP能否成為平行四邊形？若能求出相應的t值；若不能，請說明理由．

第31 平面向量的數量積
【考點指津】
1．掌握平面向量的數量積及其幾何意義．
2．了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題．
3．掌握向量垂直的條．
【知識在線】
1．若?a?=4，?b?=3，a•b=－6，則a與b的夾角等于 （ ）
A．150º B 120º C．60º D．30 º
2．若a=（－2，1），b=（1，3），則2a2－a•b= （ ）
A，15 B．11． C．9 D．6
3．已知向量 i=（1，0），j=（0，1），則與向量2i＋j垂直的一個向量為 （ ）
A． 2i－j B． i－2j C． i＋j D． i－j
4．已知a=（1，2），b=（1，1），c=b－ka，且c⊥a，則C點坐標為
5．已知?a?=3，?b?=4，且a與b夾角為60º，?ka－2b?=13，求k的值
【講練平臺】
例1（1）在直角三角形ABC中，∠C=90º，AB=5，AC=4，求AB→ •BC→
（2）若a=（3，－4），b=（2，1），試求（a－2b）•（2a＋3b）
分析 （1）中兩向量AB→ 、BC→ 的模及夾角容易求得，故可用公式
a•b=abcosθ求解．
（2）中向量a、b坐標已知，可求a2、b2、a•b，也可求a－2b與2a＋3b的坐標，進而用（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2＋y1y2求解．
解（1） 在△ABC中，∠C=90º，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos∠ABC= ，AB→ 與BC→ 的夾角θ=π－∠ABC，
∴AB→ •BC→ =－?AB→ ??BC→ ?cos∠ABC=－5×3× =－9．
（2）解法一 a－2b=（3，－4）－2（2，1）=（－1，－6），
2a－3b=2（3，－4）＋3（2，1）=（12，－5），
（a－2b）•（2a＋3b）=（－1）×12＋（－6）×（－5）=18．
解法二 （a－2b）•（2a＋3b）=2a2－a•b－6b2
=2[32＋（－4）2]－[3×2＋（－4）×1]－6（22＋12）=18．
點評 向量的數量積有兩種計算方法，一是依據模與夾角計算，二是依據坐標計算．具體應用時可根據已知條的特征選擇．
值得注意的是，向量的夾角與向量的方向相關，（1）中∠ABC并非AB→ 與BC→ 的夾角．
從第（2）問的解法二可以看到，向量數量積的運算律，類似于多項式乘法法則，但并不是所有乘法法則都可以推廣到向量數量積的運算．如：a•（b＋c）=a•b＋b•c，而（a•b）c≠a（b•c）．
例2．已知O為三角形ABC所在平面內一點，且滿足OA2+BC2=OB2+CA2，試用向量方法證明AB⊥OC ．
分析 要證AB→ ⊥OC→ ，即證AB→ •OC→ =0，題設中不涉及AB→ ，我們用AB→ =AO→ +OB→ 代換，于是只需證AO→ •OC→ =BO→ •OC→ ．至此，我們可以嘗試將已知等式轉化成只含有OA→ 、OB→ 、OC→ 的形式．
證明 由已知得OA→ 2+BC→ 2=OB→ 2+CA→ 2，即OA→ 2+（BO→ +OC→ ）2=OB→ 2+（CO→ +OA→ ）2，整理得AO→ •OC→ =BO→ •OC→ ，即 OC→ •（BO→ +OA→ ）=0，
故 OC→ •AB→ =0．所以 AB→ ⊥OC→ ．
點評 用向量方法證明垂直問題，通常轉化為證兩個向量的數量積為0．本題已知式與求證式中向量的表達形式不統一，針對差異進行有目標的化歸，是求解的關鍵所在．
例3．設OA→ =a=（ ＋1， －1），OB→ =b=（ ，3），試求∠AOB及ΔAOB的面積．
分析 已知a、b可以求a、b及a•b，進而求得∠AOB（即a與b的夾角），在求到三角形的兩邊及夾角后，可用公式：S= ?a??b?sinθ求面積．
解 設∠AOB=θ，ΔAOB的面積為S，由已知得：
?OA→ ?=?a?= =2 ，?OB→ ?=?b?=2 ，
∴cosθ= = = ．∴θ= ．
又S= ?a??b?sinθ= •2 =2 ，
即∠AOB= ，ΔAOB的面積為2 ．
點評 向量的數量積公式a•b=?a??b?cosθ不僅可以用求數量積，也可以用求模與夾角．要注意該公式與三角形的面積公式的區別．此外，本題的解題方法可適用于更一般的情況（見變題）．
變題 設ΔABC的面積為S，AB→ =a，AC→ =b，求證S=
例4．已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角．
分析 要求夾角θ，必需求出cosθ；求cosθ需求出a•b與?a??b?的比值（不一定要求出?a?、?b?的具體值）．由已知的兩個向量的垂直關系，可以得到?a??b?與a•b的關系．
解 ∵（a+3b）⊥（7a-5b），（a-4b）⊥（7a-2b），
∴ （a+3b）•（7a-5b）=0，
（a-4b）•（7a-2b）=0．
即 7a2+16a•b-15b2=0，
7a2-30a•b+8b2=0．
兩式相減，得 b2=2a•b．
故 a2=b2 ， 即 ?a?=?b?．
∴cosθ= = ．
∴θ=60º ， a與b的夾角為60º ．
點評 從基本量思想考慮，似乎沒有具體的a與b，無法求出a與b的夾角，其實不然，cosθ是一個a•b與?a??b?的比值，并不需要具體分別求出．類似于本題的條表明，向量的數量積公式、向量的垂直關系都揭示了一種數量積與模的關系，就此意義而言，它們的本質是一致的相通的，可以相互轉化和利用．
在本題求解過程中注意，b2=2a•b不能得出b=2a，同樣a2=b2也不能得到a=±b．
【知能集成】
基礎知識：向量數量積的兩種計算公式，向量垂直的充要條．
基本技能：求向量數量積、模及向量的夾角，向量垂直問題的論證與求解．
基本思想：向量表達式的數量積與多項式乘法進行類比的思想，將線的垂直這一圖形特征轉化成方程解決的思想．求向量夾角時的設而不求的思想．
【訓練反饋】
1．已知 =5，a與b的夾角的正切值為 ，a•b=12，則b的模為（ ）
A．4 B．3 C． D．
2．已知 =2，向量a在單位向量e方向上的投影為－ ，則向量a與e向量的夾角為（ ）
A．30º B．60º C．120º D．150º
3．已知a=（1，－2），b=（5，8），c=（2，3），則a•（b•c）為 （ ）
A．34 B．（34，－68） C ．－68 D．（－34，68）
4．邊長為 的正三角形ABC中，設AB→ =c，BC→ =a，CA→ =b，則a•b＋b•c＋c•a等于（ ）
A． －3 B． 0 C． 1 D． 3
5．已知a=（1，2），b=（x，1），當（a＋2b）⊥（2a－b）時，實數x的值為 ．
6．已知m=（－5，3），n=（－1，2），當（λm＋n）⊥（2n＋m）時，實數λ的值為 ．
7．已知a=b=1，a與b夾角為90º，c=2a＋3b，d=ka－4b，且c⊥d，則k=
8．已知A、B、C、D是平面上給定的四個點，則AB→ •CD→ ＋AC→ •DB→ ＋AD→ •BC→ = ．
9．已知a＋b=（2，－8），a－b=（－8，16），則a與b夾角的余弦值為 ．
10．設兩向量e1、e2滿足 e1=2， e2=1， e1、e2的夾角為60º，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍．
11．設向量a=（cos23º，cos67º），b=（cos68º，cos32º），u=a＋tb (t∈R)．
（1）求a•b；
（2）求u的模的最小值．
12．設a=（1＋cosα，sinα）， b=（1－cosβ，sinβ）， c=（1，0）， α∈（0，π），β∈（π，2π），a與c的夾角為θ1，b與c的夾角為θ2，且θ1－θ2= ，求sin 的值．

第32 線段的定比分點、平移
【考點指津】
1．掌握線段的定比分點和中點坐標公式，并且熟練運用．
2．掌握平移公式，并能運用平移公式化簡函數解析式．
3．理解公式的推導過程，必要時能回到定義去，用向量運算的相關知識，解決定比分點問題和平移問題．
【知識在線】
1．若P分AB→ 所成的比為 ，則A分BP→ 的比為 （ ）
A． B．－ C．－ D．
2．設點P在線段AB的延長線上，P分AB→ 所成的比為λ，則 （ ）
A．λ＜－1 B．－1＜λ＜0 C．0＜λ＜1 D．λ＞1
3．按向量a將點（2，3）平移到（0，1），則按向量a將點（7，1）平移到點 （ ）
A．（9，－3） B．（9，3） C．（5，－1） D．（－5，－3）
4．若函數y=f（1－2x）的圖象，按向量a平移后，得到函數y=f（－2x）的圖象，則向量a= ．
5．設三個向量OA→ =（－1，2），OB→ =（2，－4），OC→ 的終點在同一條直線上（O為坐標原點）．
（1）若點C內分AB→ 所成的比為 ，求C點坐標；
（2）若點C外分AB→ 所成的比為－ ，求C點坐標．
【講練平臺】
例1已知P（1，1），A（2，3），B（8，－3），且C、D順次為AB的三等分點（C靠近A），求PC→ 和PD→ 的坐標．
分析 已知A、B兩點坐標，可求AB的兩個三等分點C、D的坐標，進而結合已知P點坐標，可求PC→ ，PD→ ．
解 解法一 由題知，點C、D分AB所成的比分別為λ1= ，λ2=2 ，
設C（x，y），則
即C（4，1），同理可得D（6，－1）．
故PC=（4，1）－（1，1）=（3，0），PD=（6，－1）－（1，1）=（5，－2）．
解法二 因A、B、C、D四點共線，由已知得 ，AD→ =23 AB→ ，
故PC→ =PA→ ＋AC→ =（2－1，3－1）＋ （8－2，－3－3）=（3，0），
PD→ =PA→ ＋AD→ =（2－1，3－1）＋23 （8－2，－3－3）=（5，－2）．
點評 定比分點公式涉及起點坐標、終點坐標、分點坐標、定比七個量，它們之間固有的聯系有兩個方程，故已知其中五個量能求其余兩個量，若是只考察其中一個方程（如橫坐標關系式），只須已知其中三個，可求第四個．對此，我們不僅要考察公式的原形，還需掌握公式的變形．
本題的解法二，回歸到最基礎的向量加減處理定比分點問題，運算量小，出錯率低．
例2 將函數 的圖象按向量a平移后得到函數 的圖形，求a和實數k．
分析 平移前后的函數表達式已知，可以通過恒等變形，求得整體結構一致，再比較變量x、y的變化，確定平移公式，得向量a，而k則可通過比較系數法求得．
解
令 x′ = x－ ，
y′=y－ ．
原函數解析式變形為y′=－ ，
∴ a=（－ － ）， k=－ ．
點評 圖形的平移變換，實質是圖形上任意一點的變換，求解平移變換問題至關重要的是確定關于點的坐標的平移公式．
面對較為復雜的函數表達式，為了畫出其圖形，并討論其性質，常采納平移變換化繁為簡．
變題 通過平移變換，化簡 （ad－bc≠o ， c≠o），并作出圖形．
提示： = ，
令
并記 =k≠0， 則原方程化簡為 ．
因此，原函數的圖象按向量a= 平移后得 的圖象，故其圖象是以 為中心的，以x= 為漸近線的雙曲線．
例3．將函數 的圖象，按向量a平移后得到的函數圖象關于原點對稱．這樣的向量是否唯一？若唯一，求出向量a；若不唯一，求a模的最小值．
分析 正弦函數是周期函數，其圖象關于原點對稱時，表達式不唯一．就本題而言，平移后的函數解析式可以是y=2sin2x ， 也可以是y=2sin（2x＋π），y=2sin（2x－π）等等．因此，向量a不唯一．
要求?a?的最小值，首先必需確定平移后函數表達式的一般式，并在此基礎上建立關于?a?的目標函數．
解 向量a不唯一．平移后的圖象對應解析式可以為y=2sin（2x＋kπ）， k∈Z
考察原函數表達式 ，
可令 （k∈Z）
即 ，
∴ a=（－ ，－1）， ( k∈Z)，
a （k∈Z）．
∴ 當k=2 時，?a?取最小值，最小值為 ．
點評 常見向量平移變換應用于三角函數式化簡，多數問題思路單一，結論唯一．本題突破常規，開放性的設計，要求解題者具有更深刻的思維能力．
例4．設A（1，1），B（5，5），且P在直線AB上，若AB→ =λAP→ ，AP→ =λPB→ ，P點是否可能落在線段AB的延長線上 ？若能，求出P點坐標；若不能；說明理由．
分析 由AB→ =λAP→ 知，要使P落在線段AB的延長線上，只需λ∈（0，1）．為此，我們設法將兩個已知向量等式轉化成關于λ的方程，解出λ，檢驗λ∈（0，1）是否成立．
解 AB→ =（5，5）－（1，1）=（4，4），
設P（x，y），則AB→ =λAP→ =λ2 PB→ ．
（4，4）=λ2（5－x，5－y）=λ（x－1，y－1），
且
依據兩個方程組的第一個方程，消去x，得
5λ2－λ（4＋λ）=4，即λ2－λ－1=0，
∴ λ= ．
數形結合知，在AB→ =λAP→ 時，要P落在線段AB的延長線上，則需λ∈（0，1），所求兩個λ的值均不符合題意，故P不可能落在AB延長線上．
【知能集成】
基礎知識：向量的平移公式，定比分點定義、公式及中點坐標公式．
基本技能：求平移公式，求點關于向量平移后的坐標，求函數圖象關于向量平移后對應的函數解析式．運用定比分點公式，求端點、分點坐標及定比．
基本思想：①回到定義去，回避定比分點公式的繁瑣運算．②用基本量思想看定比分點公式．③運用整體分析、比較觀點，確定平移公式．
【訓練反饋】
1．點（4，3）關于點（5，－3）的對稱點坐標是 （ ）
A．（4，－3） B．（6，－9） C．（ ，0） D．（ 12 ，3）
2．點A（0，m）按向量a平移后得到點B（m，0），則向量a的坐標是 （ ）
A．（m ， m） B．（m ， －m） C．（－m ， m） D．（－m ， －m）
3． 按向量a可把點（2，0）平移到點（－1，2），則點（－1，2）按向量a平移后得到的點是（ ）
A．（2，0） B．（－3，2） C．（2，4） D．（－4，4）
4．將函數 的圖象，按向量a平移后得到的圖象對應函數y=f（x）是奇函數，則a可以是 （ ）
A． （－ ，－4） B． （－ ，4） C． （ ，4） D． （－ ，－4）
5．已知點P（2，3），分P1P2所成的比為2，且點P2（1，2），則點P1的坐標為（ ）
A．（4，5） B．（0，1） C．（3，4） D．（5，6）
6．將函數y=x2＋mx＋n圖象的頂點P按向量a平移到原點O，則a= ．
7． 函數 的圖象按向量a=（2，1）平移后得到函數 的圖象．
8．已知A（2，2），B（－3，4），C（4，－1），則ΔABC的重心坐標為 ．
9．若?P1P2?=5 cm，點P在線段P1P2的反向延長線上，且?P1P?=1 cm，則P分P1P2所成的比為 ．
10． 已知O為原點，m∈R且m≠0，OA=（m，2m），OB=（2，2），求點B關于直線OA的對稱點C的坐標．
11． 已知關于x的一次函數y=ax+b的圖象C按向量p =（1，2）平移后，得到的圖象仍然是C，問這樣的一次函數是否唯一？若唯一，求出該函數的解析式；若不唯一，說明這類函數的表達式的共同特征．
12．已知A、B、C三點在一條直線上，且OA→ －3OB→ ＋2OC→ =0 ，求點A分BC→ 所成的比λ．
第33 平面向量的應用
【考點指津】
1．在閱讀、理解具有實際意義的字的基礎上，能準確、清晰、有條理地用向量的語言表述問題．
2．能從實際問題中提煉、概括抽象出數學模型．
3．能綜合運用所學向量知識及有關數學思想方法，求出數學模型的解．
4．能結合實際意義，正確表述問題的解．
5．能用向量知識簡捷地處理其它數學分支相關問題．
【知識在線】
1．下列各個量：①物體的位移；②汽車的速度；③物體的質量；④某液體的溫度．其中能稱為向量的有 ．
2．已知三個力F1=（1，3），F2（－2，1），F3=（x，y），某物體在這三個力的同時作用下保持平衡，則力F3= ．
3．設某人向東走3 km后，又改變方向向北偏東30º走3 km，該人行走的路程是 ，他的位移是 ．
4．用向量方法證明勾股定理．
5．一條東西方向的河流，水流速度為2 km/h，方向正東．一船從南岸出發，向北岸橫渡，船速為4 km/h，試求船的實際航行速度，并畫出圖形（角度可用反三角函數表示）．
【講練平臺】
例1 某一天，一船從南岸出發，向北岸橫渡．根據測量，這一天水流速度3km/h，
方向正東，風向北偏西30º，受風力影響，靜水中船的飄行速度大小也為3 km/h，若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h．的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向．

分析 撇開題設情境，提煉出四個速度，即水流速度v1，風的速度v2，船本身的速度v3，船的實際航行速度v，并且有v1＋v2＋v2=v，在這一等式中，v1、v2、v已知，v3可求．
略解：設水的速度為v1 ，風的速度v2，v1＋v2=a，
易求得a的方向是北偏東 30º，a的大小為 3 km/h ．
設船的實際航行速度v，方向南向北，大小 23 km/h．．船本身的速度v3，則a+v3=v ， 即 v3=v-a ， 數形結合知，v3方向是北偏西60º，大小為3 km/h．．
點評 這是一個與“知識在線”第5題相似的問題，熟悉的情境以及簡單情況下的解題經驗為本題求解奠定了基礎．
四種速度融為一體，我們采納分步合成，步步為營的策略．每一次合成只相當于求解了一個簡單題．
例2 已知O為ΔABC所在平面內一點，滿足
OA→ 2＋ BC→ 2=CA→2＋OB→2=OC→2＋AB→2．試證明O是ΔABC的垂心．
分析 已知等式是關于線段長度平方和的等式，OA→ 與BC→ 、OB→與CA→、OC→與AB→ 都不是同一個直角三角形中的線段，用純平面幾何知識證明相當困難．
但線段長度平方和即向量模的平方，要證O是ΔABC的垂心，只需證得OA→ ⊥BC→ ，OB→⊥CA→，聯想向量的數量積，只需證OA→ •BC→ =OB→•CA→=0．
OA→ 2＋ BC→ 2=CA→2＋OB→2 ，得
a2＋（c－b）2=b2＋（a－c）2 ， c•b=a•c ，即（b－a）•c=0．
OC→•AB→=0， 故 AB→⊥OC→．
同理 CA→⊥OB→，BC→ ⊥OA→ ．
故O是ΔABC的垂心．
點評 向量知識的應用領域很寬泛，中學數學所涉及的平幾、立幾、解幾、函數、方程、數列、不等式等等，都可以與向量綜合，求解這類問題的關鍵在于揭去偽裝，合理轉化．
例3．如圖所示，對于同一高度（足夠高）的兩個定滑輪A、B，用一條足夠長的繩子跨過它們，并在兩端分別掛有質量為m1和m2的物體（m1≠m2），
另在兩滑輪中間的一段繩子的O點處懸掛質量為m的另一物體，已知m1∶m2=OB∶OA，且系統保持平衡（滑輪半徑、繩子質量均忽略不計）．求證：
（1）∠AOB為定值；
（2） ＞2．
分析 依據題意，我們可以作出物體的受力圖，
引用平衡條可列出方程組，在方程組的變形中，探索∠AOB的大小，在求出∠AOB后，再向第2問結論努力．
解（1）設兩繩子AO、BO對物體m的拉力分別為
F1、F2，物體m向下的重力為F，由系統平衡條知F1+F2+F=0．
如圖，設∠BAO=α，∠ABO=β，根據平行四邊形法則，得
F2cosβ+F1cos（π－α）=0，
F2sinβ+F1sin（π－α）＋F=0．
即 m2cosβ－m1 cosα=0 ， ①
m2sinβ＋m1 sinα=m． ②
在ΔAOB中，由正弦定理，得OB∶OA= sinα∶sinβ，將m1∶m2= sinα∶sinβ代入①，得
sinβcosβ= sinαcosα，即sin2β= sin2α．
∵m1≠m2 ，∴OA≠OB． ∴α≠β，2α＋2β=180º．
∴α＋β=90º， 即∠AOB=90º．
（２）由α＋β=90º，得　cosβcosα＝sinβsinα．　　
將①②平方相加，得m2=m12＋m22 ．
由m2－2m1m2=m12＋m22－2m1m2=（m1－m2）2>0 ，得m2>2m1m2．
∴ ＞2．
點評　　向量在物理中的應用最常見的是力學問題，物體處于平衡狀態即所受各力的合力為０，亦即向量之和為零向量，運用三角形法則、平行四邊形法則及解斜三角形的基礎知識可望得到問題的解．本題所列方程組，是根據物體水平方向、豎直方向所受各力的合力分別為０得到．
【知能集成】
向量知識是一種基礎性、工具性知識，在跨學科內分支、跨學科范疇、跨認知領域的廣泛應用中，我們應逐步增強閱讀理解能力，數學建模、解模能力，和分析問題解決問題能力．
【訓練反饋】
１．如果一架向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機飛行的路程為s，位移為a，則 （ ）
A． s>a B． s<a C． s=a D． s與a不能比大小
２．當兩人同提重G的書包時，用力都為F，夾角為θ，則F、G、θ之間的關系為F = G2cosθ2；當θ= 時，F取得最小值；當F=G時，θ= ．
３．一條河寬為d，水流速度為v2，一船從岸邊A處出發，垂直河岸線航行到河的正對岸B處，船在靜水中的速度為v1，則船在航行過程中，船的實際航行速度大小為 （ ）
A． v1 B． v12＋ v22 C． v12－ v22 D． v1－ v2
4．一艘船以4km/h的速度，沿著與水流方向成120º的方向航行，已知河水流速為2 km/h，該船若航行6 km，所須時間為 （ ）
A．3 h B．23 h C．3 h D．2 h
5.已知向量OA1→ =3i＋2j，AnAn＋1→ =2i＋2j（n∈N＋），則OAn→= ．
6.已知A（k，12），B（4，5），C（10，k），若點C在線段AB上，則k值等于 （ ）
A．11 B．－2 C．－11或2 D．485 或252
7．已知ΔABC中，AB→=c，BC→=a，CA→=b，則下列推理不正確的是 （ ）
A．若a•b=b•c，則ΔABC為等腰三角形
B．若a•b>0，則ΔABC為鈍角三角形
C．若a•b=0，則ΔABC為直角三角形
D．若c•（a＋b＋c）=0，則ΔABC為正三角形
8．在一次抗洪搶險中，某救生艇發動機突然發生故障停止轉動，失去動力的救生艇在洪水中漂行．此時，風向是北偏東30º，風速是20 km/h．；水的流向是正東，流速為20 km/h．，若不考慮其它因素，救生艇在洪水中漂行的速度為 ．
9．已知a=（sinα， sinα－cosα），b=（cosα，0），O為坐標原點，OP→=a＋b，
則OP→= ．
10．一個30º的斜面上放有一個質量為1kg的球，若要保持球在斜面上靜止不動，應沿斜面方向給球多大的力？若表示球的重力的向量為p，球對斜面的壓力為ω，則球的重力沿斜面方向的分力f如何表示？保持球在斜面上靜止不動的推力f′又如何表示？
11． 已知點A（1，2）和B（4，－1），問能否在y軸上找一點C，使∠ACB=90º，若能，求出C點坐標；若不能，說明理由．
12． 已知O為坐標原點，OA→ =（3，0），OB→ =（ ），兩個質點甲、乙分別從A、B兩點同時出發，速度均為4km/h，且甲沿AO→方向運動，乙沿OB→方向運動．
（1）甲乙兩個質點之間的初始距離是多少？
（2）用包含t的式子f（t）表示t小時后，兩個質點之間的距離；
（3）什么時候兩個質點之間相距最近．

單元練習五 （平面向量）
（考試時間120分鐘 總分150分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．向量a=（1，－2），向量a與b共線，且b=4a．則b= （ ）
A．（－4，8） B．（－4，8）或（4，－8）
C．（4，－8） D．（8，4）或（4，8）
2．已知a=（2，1），b=（x，1），且a＋b與2a－b平行，則x等于 （ ）
A．10 B．－10 C．2 D．－2
3．已知向量a和b滿足a=1，b= ，a⊥（a－b）．則a與b的夾角為 （ ）
A．30º B．45º C．75º D．135º
4．設e1、e 2是兩個不共線向量，若向量 a=3e1＋5e2與向量b=me1－3e2共線，
則m的值等于 （ ）
A．－ 53 B．－ 95 C．－ 35 D．－ 59
5．設□ABCD的對角線交于點O，AD→ =（3，7），AB→ =（－2，1），OB→ = （ ）
A．（ －52 ，－3） B．（52 ，3） C．（1，8） D．（12 ，4）
6．設a、b為兩個非零向量，且a•b=0，那么下列四個等式①a=b；
②a＋b=a－b；③a•（b＋a）=0；④（a＋b）2=a2＋b2．
其中正確等式個數為 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．將y=2x的圖象 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （ ）
A．按向量（0，1）平移 B．按向量（0，－1）平移
C．按向量（1，0）平移 D．按向量（－1，0）平移
再作關于直線y=x對稱的圖象，可得到函數y=log2（x＋1）的圖象．
8．a=（－1，2），b=（1，－1），c=（3，－2）用a、b作基底可將c表示為c=pa＋qb，則實數p、q的值為 　　　　　　　　　　　 （ ）
A．p=4 q=1 B． p=1 q=4
C． p=0 q=4 D． p=1 q=0
9．將函數y=2sin2x的圖象按向量a的方向平移得到函數y=2sin（2x＋π3 ）＋1的圖象，則向量a的坐標為 　　　　　　　　 （ ）
A．（－π3 ，1） B．（－π6 ，1） C．（π3 ，－1） D．（－π6 ，－1）
10．設平面上四個互異的點A、B、C、D，已知（DB→ ＋DC→ －2DA→ ）•（AB→ －AC→ ）=0．則ΔABC的形狀是 　　　　　　　　 （ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
11．將函數y=2x的圖象按向量a平移后得到函數y=2x＋6的圖象，給出以下四個命題：① a的坐標可以是（－３，０）；　② a的坐標可以是（０，6）；
③a的坐標可以是（6，０）； ④ a的坐標可以有無數種情況．
其中真命題的個數為 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．設F1、F2是雙曲線 x24 －y2=1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且PF1→ •PF2→ =0，則PF1→ •PF2→ 的值為 （ ）
A．2 B．22 C．4 D．8
二、填空題：每小題4分，共16分．
13．設線段P1P2的長為10cm，P在P1P2的延長線上，且P2P=20cm，則P分P1P2→ 所成的比為 ．
14．已知向量a=（2 ，－2 ），b=（3 ，1）那么（a＋b）•（a－b）的值是 ．
15．若a=（2，3），b=（－4，7），a＋c=0，則c在b方向上的投影為 ．
16．若對n個向量 a1，a2，a3，…，an，存在n個不全為零的實數k1，k2，…，kn，使得k1 a1＋k2a2＋…＋knan=0成立，則稱a1，a2，…，an為“線性相關”．依此規定，能使a1=（1，0），a2=（1，－1），a3=（2，2）“線性相關”的實數k1，k2，k3 依次可以取 ．
三、解答題
17．（本題滿分12分）
如圖，一艘船從點A出發以23 km/h的速度向垂直于對岸
的方向AD→ 行駛，同時河水的流速為2 km/h．求船實際航行
速度的大小與方向（用與流速間的夾角表示）．
18．（本題滿分12分）
已知△OFQ的面積為S，且OF→ • FQ→ =1 ，若12 ＜S＜ ，求向量OF→ 與 FQ→ 的夾角θ的范圍．
19．（本題滿分12分）
已知點H（－3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點在直線PQ上，且滿足 ，當點P在y軸上移動時，求點的軌跡C．
20． （本題滿分12分）
已知向量OA→ =3i－4j，OB→ =6i－3j，OC→ =（5－m）i－（4＋m）j，其中i、j分別是直角坐標系內x軸與y軸正方向上的單位向量．
（1）若A、B、C能構成三角形，求實數m應滿足的條；
（2）若ΔABC為直角三角形，且∠A為直角，求實數m的值．
21．（本題滿分12分）
已知平面上三個向量a、b、c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120º．
（1）求證(a－b)⊥c；
（2）若│ka＋b＋c│>1(k∈R)，求k的取值范圍．
22． （本題滿分14分）
已知向量a、b、c、d，及實數x、y，且a=1，b=1，c=a＋（x2－3）b，d=－ya＋xb，如果a⊥b，c⊥d，且c≤10 ．
（1）求x、y的函數關系式y=f（x）及定義域；
（2）（供部分考生選做）判斷f（x）的單調性，指出單調區間，并求出函數的最大值、最小值．

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