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第1節 交變電流的產生與描述
【高考目標導航】
1.交變電流、交變電流的圖像
2.正弦交變電流的函數表達式、峰值和有效值
3.理想變壓器
4.遠距離輸電
實驗十一：傳感器的簡單使用
【考綱知識梳理】
一、交變電流的產生和變化規律
1、 交變電流：大小和方向都隨時間作周期性變化的電流叫做交變電流，簡稱交流電。
2、 正弦式電流；隨時間按正弦規律變化的電流叫做正弦式電流，正弦式電流的圖象是正弦曲線，我國市用的交變電流都是正弦式電流
3、中性面：中性面的特點是，線圈位于中性面時，穿過線圈的磁通量最大，磁通量的變化率為零，感應電動勢為零；線圈經過中性面時，內部的電流方向要發生改變。
4、正弦式交流電的產生和變化規律
（1）產生過程
（2）規律
函數形式：N匝面積為S的線圈以角速率ω轉動，從某次經過中性面開始計時，則e=NBSωsinωt，用Em表示峰值NBSω，則e=Emsinωt，電流 。
二、 描述交變電流的物理量
1、周期和頻率
交變電流的周期和頻率都是描述交變電流變化快慢的物理量。
（1）周期T：交變電流完成一次周期性變化所需的時間，單位是秒（S），周期越大，交變電流變化越慢，在一個周期內，交變電流的方向變化2次。
（2）頻率f:交變電流在1s內完成周期性變化的次數，單位是赫茲，符號為Hz，頻率越大，交變電流變化越快。
（3）關系：
2、瞬時值、最大值、有效值和平均值
（1）感應電動勢瞬時值表達式：
若從中性面開始，感應電動勢的瞬時值表達式：
（伏）。
感應電流瞬時值表達式： （安）
若從線圈平面與磁力線平行開始計時，則感應電動勢瞬時值表達式為：
（伏）。
感應電流瞬時值表達式： （安）
在計算通電導體或線圈所受的安培力時，應用瞬時值。
（2）交變電流的最大值（以交變電動勢為例）。
??交變電動勢最大值：當線圈轉到穿過線圈的磁通量為0的位置時，取得此值。應強調指出的是， 與線形狀無關，與轉軸位置無關，其表達式為 。在考慮交流電路中電容器耐壓值時，應采用最大值。
（3）交變電流的有效值
①有效值是根據電流的熱效應來規定的，在周期的整數倍時間內（一般交變電流周期較短，如市電周期僅為0，02s，因而對于我們所考察的較長時間來說，基本上均可視為周期的整數倍），如果交變電流與某恒定電流流過相同電阻時其熱效應相同，則將該恒定電流的數值叫做該交變電流的有效值。注意：這是在三個相同下的等效。
②正弦交流電的有效值與最大值之間的關系為： 。
上述關系式只適用于線圈在勻強磁場中相對做勻速轉動時產生的正弦交變電流，對于用其他方式產生的其他交變電流，其有效值與最大值間的關系一般與此不同，其它形式的交流電按熱效應相同進行計算，利用分階段計算效變電流一個周期內在某電阻上產生的熱量，然后令其與直流電在相同時間內在同一電阻上產生的熱量相等，此時直流電的值為交變電流的有效值。這是根據有效值的定義作具體分析。
③一般交變電流表直接測出的是交變電流的有效值，一般用電器銘牌上直接標出的是交變電流的有效值，一般不作任何說明而指出的交變電流的數值都是指有效值。
（4）交變電流的平均值
①交變電流圖象中圖象與t軸所圍成的面積與時間的比值叫做交變電流的平均值，
②平均值是利用 來進行計算的，計算電量時只能用平均值，
【要點名師透析】
一、正弦式電流的變化規律
1.正弦式電流的變化規律(線圈在中性面位置開始計時)
2.兩個特殊位置的特點
(1)線圈平面與中性面重合時,S⊥B,Φ最大, =0,e=0,i=0,電流方向將發生改變.
(2)線圈平面與中性面垂直時,S∥B,Φ=0, 最大,e最大,i最大,電流方向不改變.
3.書寫交變電流瞬時值表達式的基本思路
(1)確定正弦交變電流的峰值，根據已知圖象讀出或由公式Em=nBSω求出相應峰值.
(2)明確線圈的初始位置，找出對應的函數關系式.
如：①線圈從中性面位置開始轉動，則i-t圖象為正弦函數圖象，函數式為i=Imsinωt.
②線圈從垂直中性面位置開始轉動，則i-t圖象為余弦函數圖象，函數式為i=Imcosωt.
【例1】如圖(a)所示，一矩形線圈abcd放置在勻強磁場中，并繞過ab、cd中點的軸OO′以角速度ω逆時針勻速轉動.若以線圈平面與磁場夾角θ=45°時［如圖(b)］為計時起點，并規定當電流自a流向b時電流方向為正.則下列四幅圖中正確的是( )
【答案】選D.
【詳解】t=0時，由右手定則得，此時ad中電流方向為由a到d，與規定的正方向相反，電流為負值.又因為此時ad、bc兩邊的切割速度方向與磁場方向成45°夾角，由E=2Blv⊥，可得E=2× Blv= Em，故電流是最大值的 ，A、B均錯.線圈在接下來45°的轉動過程中，ad、bc兩邊的切割速度越來越小，所以感應電動勢應減小，感應電流應減小，因此C錯D正確.
二、交變電流“四值”的理解與應用
【例2】(16分)一個電阻為r、邊長為L的正方形線圈abcd共N匝,線圈在磁感應強度為B的勻強磁場中繞垂直于磁感線的軸OO′以如圖所示的角速度ω勻速轉動,外電路電阻為R.
(1)在圖中標出此刻線圈感應電流的方向.
(2)線圈轉動過程中感應電動勢的最大值有多大?
(3)線圈平面與磁感線夾角為60°時的感應電動勢為多大?
(4)設發電機由柴油機帶動,其他能量損失不計,線圈轉一周,柴油機做多少功?
(5)從圖示位置開始,線圈轉過60°的過程中通過R的電量是多少?
(6)圖中電流表和電壓表的示數各是多少?
【答案】(1)由右手定則可判定電流的方向沿dcba.(2分)
(2)Em=NBSω=NBωL2 (2分)
(3)線圈平面與B成60°角時的瞬時感應電動勢
e=Em?cos60°= NBωL2. (2分)
(4)電動勢的有效值E= (1分)
電流的有效值I= ,柴油機做的功轉化為電能,線圈轉一周柴油機做的功
W=EIt= t= ? = (2分)
三、幾種典型交變電流有效值的計算問題
1.計算交流電有效值應注意的幾個問題
(1)計算有效值時要注意根據電流的熱效應,抓住“三同”:“相同時間”內“相同電阻”上產生“相同熱量”列式求解.
(2)利用兩類公式Q=I2Rt和Q= t可分別求得電流有效值和電壓有效值.
(3)若圖象部分是正弦(或余弦)交流電,其中的 和 周期部分可直接應用正弦式交變電流有效值與最大值間的關系I=Im/ ,U=Um/ 求解.
2.幾種典型的交變電流
【例3】兩個完全相同的電熱器，分別通過如圖a和b所示的電流最大值相等的方波交變電流和正弦交變電流，則這兩個電熱器的電功率之比Pa∶Pb等于多少？
【答案】2∶1
【詳解】有效值與最大值關系I= 是僅對正弦交變電流適用，即對于b圖才有Ib= ，Pb= R= R，對于a圖的方波交變電流來說，由于每時刻通過電阻R的電流都是Im，只是方向做周期性變化，而對于電流通過電阻發熱來說，它與電流方向是沒有關系的.因此從熱效應來說,a圖交變電流與電流是Im的恒定電流是等效的，也可以說a圖交變電流有效值就是Im.因此Ia=Im，Pa= R= R.所以Pa∶Pb =1∶ =2∶1.
【感悟高考真題】
1.（2011?安徽高考?T19）如圖所示的區域內有垂直于紙面的勻強磁場，磁感應強度為B。電阻為R、半徑為L、圓心角為45°的扇形閉合導線框繞垂直于紙面的O軸以角速度ω勻速轉動（O軸位于磁場邊界）。則線框內產生的感應電流的有效值為
A. B. C. D.
【答案】選D.
【詳解】線框進入磁場和穿出磁場產生感應電動勢均為 , 產生感應電動勢的時間均為 ,由一個周期產生的電熱 , ,選D.
2.（2011?天津理綜?T4）在勻強磁場中，一矩形金屬線框繞與磁感線垂直的轉軸勻速轉動，如圖1所示。產生的交變電動勢的圖象如圖2所示，則
A. =0.005s時線框的磁通量變化率為零
B. =0.01s時線框平面與中性面重合
C. 線框產生的交變電動勢有效值為311V
D. 線框產生的交變電動勢頻率為100HZ
【答案】選B．
【詳解】由圖2可知該正弦交變電流的電壓最大值為311v，周期等于0.02s，因此，根據正弦交變電流的最大值與有效值之間的關系式 得知選項C錯誤，又 ，則頻率為 ，選項D錯誤，當t=0.005s時， ，取得最大值，穿過線圈的磁通量變化率最大，選項A錯誤，當t=0.01s時，交變電壓及電流方向發生改變，電壓值最小等于零，線框平面與中性面重合，選項B正確。
3.（2010?廣東卷）19.圖7是某種正弦式交變電壓的波形圖，由圖可確定該電壓的
A.周期是0.01S
B.最大值是311V
C.有效值是220V
D.表達式為U=220sin100πt（V）
答案：BC
解析：交流電考察
由圖知：最大值Um=311V有效值 周期T=0.02s 表達式 選BC。
4.（09?天津?9）（1）如圖所示，單匝矩形閉合導線框abcd全部處于磁感應強度為B的水平勻強磁場中，線框面積為S，電阻為R。線框繞與cd邊重合的豎直固定轉軸以角速度 勻速轉動，線框中感應電流的有效值I= 。線框從中性面開始轉過 的過程中，通過導線橫截面的電荷量q= 。
答案：（1） ，
解析：本題考查交變流電的產生和最大值、有效值、平均值的關系及交變電流中有關電荷量的計算等知識。
電動勢的最大值 ，電動勢的有效值 ，電流的有效值 ； 。
5.（09?福建?16）一臺小型發電機產生的電動勢隨時間變化的正弦規律圖象如圖甲所示。已知發電機線圈內阻為5.0 ，則外接一只電阻為95.0 的燈泡，如圖乙所示，則 （ D ）
A.電壓表○v的示數為220v
B.電路中的電流方向每秒鐘改變50次
C.燈泡實際消耗的功率為484w
D.發電機線圈內阻每秒鐘產生的焦耳熱為24.2J
解析：電壓表示數為燈泡兩端電壓的有效值,由圖像知電動勢的最大值Em= V，有效值E=220V，燈泡兩端電壓 ，A錯；由圖像知T=0.02S，一個周期內電流方向變化兩次，可知1s內電流方向變化100次，B錯；燈泡的實際功率 ,C錯；電流的有效值 ，發電機線圈內阻每秒鐘產生的焦耳熱為 ，D對。
【考點模擬演練】
1.下面關于交變電流的說法中正確的是( )
A.交流電器設備上所標的電壓和電流值是交流的最大值
B.用交流電流表和電壓表測定的讀數值是交流的瞬時值
C.給定的交流數值，在沒有特別說明的情況下都是指有效值
D.對同一電阻且時間相同，則跟交流有相同的熱效應的直流的數值是交流的有效值
【答案】選C、D.
【詳解】交流電器設備上所標值及交流電表的測定值均為有效值，故A、B錯；根據有效值的定義，D正確；通常情況，如果沒有特別說明，給出的交流值均為有效值，故C正確.
2.(2011?泉州模擬)如圖所示,面積均為S的線圈均繞其對稱軸或中心軸在勻強磁場B中以角速度ω勻速轉動,能產生正弦交變電動勢e=BSωsinωt的圖是( )
【答案】選A.
【詳解】線圈在勻強磁場中繞垂直于磁場方向的軸(軸在線圈所在平面內)勻速轉動,產生的正弦交變電動勢為e=BSωsinωt,由這一原則判斷,A圖中感應電動勢為e=BSωsinωt;B圖中的轉動軸不在線圈所在平面內;C、D圖轉動軸與磁場方向平行,而不是垂直.
3.矩形線圈在勻強磁場中繞垂直于磁感線的轉軸勻速轉動，產生的交流電動勢的最大值為Em.設t=0時線圈平面與磁場平行，當線圈的匝數增加一倍，轉速也增大一倍，其他條件不變時，交流電的電動勢為( )
A.e=2Emsin2ωt B.e=4Emsin2ωt
C.e=Emsin2ωt D.e=4Emcos2ωt
【答案】選D.
【詳解】t=0時，線圈平面與磁場平行，此時磁通量為零，感應電動勢達最大值，所以它應為余弦函數.當線圈的匝數和轉速未增加時，e=Emcosωt當線圈的匝數和轉速增加后，N′=2N,ω′=2ω感應電動勢的最大值Em′=N′BSω′=4NBSω=4Em
4.某交變電流表串聯一電阻構成交變電壓表，總電阻R=2 kΩ，然后將改裝的電表接到u=311sin100πt V的交流電源上，則( )
A.通過電流表電流的瞬時值為0.11sin100πt A
B.作為改裝的電壓表，其兩端電壓的瞬時值為311sin100πt V
C.電流表的示數為0.11 A
D.作為改裝的電壓表，其示數應為311 V
所以e′=4Emcos2ωt.故正確答案為D.
【答案】選B、C.
【詳解】交流電表接入交變電流電路后，其示數均為有效值，但通過的電流還是交變電流的瞬時值，兩端的電壓也是瞬時值，電壓的最大值是311 V，有效值是220 V；電流最大值是 A=0.156 A，而有效值為0.11 A，故選B、C.
5．電阻R1、R2與交流電源按照圖所示甲方式連接，R1＝10 Ω，R2＝20 Ω.合上開關S后，通過電阻R2的正弦交變電流i隨時間t變化的情況如圖乙所示．則 (　　)
A．通過R1的電流有效值是1.2 A
B．R1兩端的電壓有效值是6 V
C．通過R2的電流最大值是1.22 A
D．R2兩端的電壓最大值是62 V
【答案】B
【詳解】由i－t圖象可知，電流最大值Im＝0.62 A，有效值I＝Im2＝0.6 A，因R1與R2串聯，則I1＝I＝0.6 A，U1＝IR1＝6 V，I2m＝Im＝0.62 A，U2m＝ImR2＝122 V，故A、C、D錯，B正確．
6.如圖所示，圖甲和圖乙分別表示正弦脈沖波和方波的交變電流與時間的變化關系．若使這兩種電流分別通過兩個完全相同的電阻，則經過1 min的時間，兩電阻消耗的電功之比W甲∶W乙為(　　)
A．1∶2 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶6
【答案】C
【詳解】電功的計算，I要用有效值計算，圖甲中，由有效值的定義得122R×2×10－2＋0＋122R×2×10－2＝I12R×6×10－2，解得I1＝33 A；圖乙中，I的值不變I2＝1 A，由W＝UIt＝I2Rt可以得到W甲∶W乙＝1∶3.
7．如圖所示，一單匝閉合線框在勻強磁場中繞垂直于磁場方向的轉軸勻速轉動，在轉動過程中，線框中的最大磁通量為Φm，最大感應電動勢為Em，下列說法正確的是(　　)
A．當磁通量為零時，感應電動勢也為零
B．當磁通量減小時，感應電動勢在減小
C．當磁通量等于0.5Φm時，感應電動勢等于0.5Em
D．角速度ω等于EmΦm
【答案】D
【詳解】當磁通量為零時，線圈處在和中性面垂直的位置，此時感應電動勢最大，A錯誤；當磁通量減小時感應電動勢反而在增大，B錯誤；當磁通量等于0.5Φm時，線圈平面和磁場方向夾角為30°或150°，此時感應電動勢的大小e＝BSωsin60°＝32Em，C錯誤；根據BSω＝Φmω＝Em判斷D正確．
8．將阻值為5 Ω的電阻接到內阻不計的交流電源上，電源電動勢隨時間變化的規律如圖所示．下列說法正確的是
(　　)
A．電路中交變電流的頻率為0.25 Hz
B．通過電阻的電流為2 A
C．電阻消耗的電功率為2.5 W
D．用交流電壓表測得電阻兩端的電壓是5 V
【答案】C
【詳解】由周期與頻率的關系f＝1T知，f＝14×10－2 Hz＝25 Hz；電壓的有效值U＝Um2＝52 V＝522 V，通過電阻的電流I＝UR＝22 A，電阻消耗的電功率為P＝U2R＝2．5 W，交流電壓表所測電壓為有效值．故選C.
9．如圖(甲)所示，為電熱毯的電路圖，電熱絲接在u＝311sin100πt V的電源上，電熱毯被加熱到一定溫度后，通過裝置P使輸入電壓變為圖(乙)所示的波形，從而進入保溫狀態，若電熱絲電阻保持不變，此時交流電壓表的讀數是
(　　)
A．110 V B．156 V
C．220 V D．311 V
【答案】B
解析：○V測的是交流電壓的有效值，設為U，則有： U2RT＝?311/ 2?2R?T2，解得U＝155.5 V，故B正確．
10．一只矩形線圈在勻強磁場中繞垂直于磁感線的軸勻速轉動，穿過線圈的磁通量隨時間變化的圖象如圖甲所示，則下列說法正確的是(　　)
A．t＝0時刻，線圈平面與中性面垂直
B．t＝0.01 s時刻，Φ的變化率最大
C．t＝0.02 s時刻，交流電動勢達到最大
D．該線圈產生的交流電動勢的圖象如圖乙所示
【答案】B
【詳解】由Φt圖知，t＝0時，Φ最大，即線圈處于中性面位置，此時e＝0，故A、D兩項錯誤；由圖知T＝0.04 s，在t＝0.01 s時，Φ＝0，ΔΦΔt最大，e最大，則B項正確；在t＝0.02 s時，Φ最大，ΔΦΔt＝0，e＝0，則C項錯誤．
11．(16分)一矩形線圈abcd放置在如圖所示的有理想邊界的勻強磁場中(OO′的左邊有勻強磁場，右邊沒有)，線圈的兩端接一只燈泡．已知線圈的匝數n＝100，電阻r＝1.0 Ω，ab邊長L1＝0.5 m，ad邊長L2＝0.3 m，小燈泡的電阻R＝9.0 Ω，磁場的磁感應強度B＝1.0×10－2 T．線圈以理想邊界OO′為軸以角速度ω＝200 rad/s按如圖10－1－22所示的方向勻速轉動(OO′軸離ab邊距離為23L2)，以如圖所示位置為計時起點．求：
(1)在0～T4的時間內，通過小燈泡的電荷量；
(2)畫出感應電動勢隨時間變化的圖象(以abcda方向為正方向，至少畫出一個完整的周期)；
(3)小燈泡消耗的電功率．
【詳解】　(1)通過小燈泡的電荷量
q＝IΔt＝ER總Δt＝nΔΦR總＝nBL1?23L2R＋r＝0.01 C.
(2)ab邊在磁場里切割磁感線時最大感應電動勢為
E1＝nBL1?23L2?ω，
代入數據得E1＝20 V.
cd邊在磁場里切割磁感線時最大感應電動勢為
E2＝nBL1?13L2?ω，
代入數據得E2＝10 V.
圖象如圖所示．
(3)設線圈的感應電動勢的有效值為U，則
?202?2R?T2＋?102?2R?T2＝U2R?T，
得U2＝125 V2，
則小燈泡消耗的電功率P＝(UR總)2R，
代入數據得P＝11.25 W.
12．如圖所示，一個被x軸與曲線方程y＝0.2sin 10π3x(m)所圍的空間中存在著勻強磁場．磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度B＝0.2 T．正方形金屬線框的邊長是L＝0.2 m，電阻是R＝0.1 Ω，它的一邊與x軸重合，在拉力F的作用下，以v＝10 m/s的速度水平向右勻速運動．試求：
(1)拉力F的最大功率是多少？
(2)拉力F要做多少功才能把線框拉過磁場區？
(3)有位同學在老師的幫助下算出了曲線與x軸所圍的面積為0.12π m2.請你再幫他算出線框右邊框通過磁場區域的過程中通過線框某一截面的電荷量．(結果保留兩位有效數字)
答案：(1)1.6 W　(2)4.8×10－2 J　(3)7.6×10－2 C
解析：(1)當線框的一條豎直邊運動到x＝0.15 m處時，線圈的感應電動勢最大．
Em＝BLv＝0.2×0.2×10 V＝0.4 V
根據歐姆定律可得最大電流為Im＝EmR＝4 A
所以拉力F的最大值為Fm＝ImLB＝0.16 N
拉力F最大功率為Pm＝Fmv＝0.16×10 W＝1.6 W.
(2)把線框拉過磁場區域時，因為有效切割長度是按正弦規律變化的，所以，線框中的電流也是按正弦規律變化的(有一段時間線框中沒有電流)．
電動勢的有效值是E＝Em2＝0.22 V
通電時間為t＝0.3×210 s＝0.06 s
拉力做功W＝E2Rt＝0.048 J＝4.8×10－2 J.
(3)通過線框截面的電荷量
q＝IΔt，而I＝ΔΦRΔt，所以q＝ΔΦR
當磁場全部進入線框內部時，通過線框截面的電荷量最多，qm＝BΔSR＝0.2×0.120.1×π C＝7.6×10－2 C.


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