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　　數學4（必修）的內容包括三角函數、平面向量、三角恒等變換。

　　三角函數是描述周期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用。這是學生在高中階段學習的最后一個基本初等函數。向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景，在數學和物理中都有廣泛的應用。三角恒等變換在數學中有一定的應用。

　　全書共需36課時，具體分配如下：

　　第一章  三角函數                                  16課時

　　第二章  平面向量                                  12課時

　　第三章  三角恒等變換                               8課時

　　一、本模塊的地位作用

　　通過本模塊的學習，學生將在如下一些方面得到提高。

　　1．加深對數學與實踐關系的認識。

　　三角函數、向量都是刻畫現實世界某些現象的重要數學模型。周期變化現象在現實中大量存在，如音樂的旋律、波浪、晝夜的交替、潮汐、鐘擺的運動、交流電等，這些現象都可以用三角函數來描述。實際上，三角函數的產生、發展與解決具有周期性變化規律的問題的需要密切相關。力、速度、位移等也是實際生活中所常見的，它們是向量的實際背景，也是向量描述的對象。因此，三角函數、向量的學習能使學生加深認識數學與實踐的緊密聯系，通過用三角函數、向量解決實際問題的實踐體會數學的作用和價值，學習用數學的觀點看待和處理日常生活以及其他學科的問題的方法。

　　2．認識數學內容的聯系性，學習數學研究的方法。

　　三角函數與數學1中的函數概念有著特殊與一般的關系，三角函數的研究以一般函數概念及其研究方法為指導，同時三角函數的學習可以加深對函數概念的理解。三角函數及其性質與圓及其性質有著直接的聯系，三角函數的研究很好地體現了數形結合思想。在三角函數的研究中，借助單位圓進行幾何直觀是非常重要的手段，而且這也是使學生學會數形結合地思考和解決問題的好機會。

　　向量既是代數的對象，又是幾何的對象，它是溝通代數、幾何及三角函數的橋梁。向量是處理數學及現實問題的有效工具。在本模塊中，在向量之后安排三角恒等變換，讓學生經歷用向量工具推導兩角差的余弦公式的過程，其目的就是為了讓學生體會向量的這種作用，并進而使學生體會向量與三角函數的聯系、數與形的聯系等。

　　總之，通過本模塊的學習，學生可以從三角函數及其性質與圓及其性質的聯系、向量與代數、幾何以及三角函數的聯系、和（差）公式及倍角公式之間的聯系等，體會不同數學知識在內容與方法上的聯系性，學習數學中發現問題、提出問題和解決問題的基本方法。

　　3．發展運算能力和推理能力。

　　作為代數對象，向量可以進行運算。學生已經熟悉數與式的運算，這里又將運算發展到向量運算，這是運算的一次飛躍。事實上，向量運算的思想和方法具有很強的遷移能力，例如矩陣運算就是向量運算的推廣。

　　與代數恒等變換一樣，三角恒等變換也是“只變其形不變其質”的，變換的目的在于揭示那些形式不同但實質相同的三角函數式的內在聯系，通過簡化三角函數式的表現形式而認識其本質。在三角恒等變換中，學生可以通過探求和（差）角公式、倍角公式，以及運用這些公式推導和差化積、積化和差、半角公式等的實踐，學習怎樣預測變換目標，選擇變換，設計變換途徑等。

　　由上所述可知，通過本模塊的學習，學生可以體會數學運算的意義，學習運算、推理的基本思想，他們的運算能力和推理能力將得到提高。

　　二、編寫中考慮的幾個問題

　　三角函數與三角恒等變換是高中數學課程的傳統內容，平面向量是1996年進入高中數學課程的內容，因此，本模塊的內容屬于“傳統內容”。與以往的教科書相比較，本書在內容、要求以及處理方法上都有新的變化。

　　1．以基本概念為主干內容貫穿本書，削枝強干，建立合理的教材體系。

　　“標準”設定的本模塊課程學習目標是：

　　（1）通過實例，學習三角函數及其基本性質，體會三角函數在解決具有周期變化規律的問題中的作用；

　　（2）了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題，發展運算能力和解決實際問題的能力；

　　（3）運用向量的方法推導基本的三角恒等變換公式，由此出發導出其他的三角恒等變換公式，并運用這些公式進行簡單的三角恒等變換。

　　根據上述學習目標，我們在編寫教科書過程中，特別注意突出主干內容，強調模型思想、數形結合思想。

　　“三角函數”一章，突出了三角函數作為描述周期變化的數學模型這一本質。即通過現實世界的周期現象，在學生感受引入三角函數必要性的基礎上，引出三角函數概念，研究三角函數的基本性質，并用三角函數的基礎知識解決一些實際問題。

　　與傳統的處理方法不同，這里把三角恒等變換從三角函數中獨立出來，其目的也是為了在三角函數一章中突出“函數作為描述客觀世界變化規律的數學模型”這條主線。

　　“平面向量”一章，突出強調了向量的工具特性，充分利用向量的物理背景與幾何背景建立向量及其運算的概念，并在這個過程中強調用向量解決實際問題及幾何問題。其中，特別強調了用向量解決幾何問題的基本思想——“三步曲”，從而比較好地體現了數形結合思想。另外，作為一個應用，用向量方法推導了兩角差的余弦公式。

　　為了實現削枝強干的目標，教科書除了將三角恒等變換獨立成章外，還在具體內容上進行了處理。在三角函數部分刪減了任意角的余切、正割、余割，已知三角函數值求角以及符號等內容，任意角、弧度制概念，同角三角函數的基本關系式，周期函數與最小正周期，三角函數的奇偶性等內容都降低了要求。三角恒等變換中，兩角和與差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原來的掌握減弱為能從兩角差的余弦公式導出。積化和差、和差化積、半角公式都作為三角恒等變換基本訓練的例題，不要求用積化和差、和差化積、半角公式作復雜的恒等變形。平面向量部分將平面兩點間的距離公式，線段定比分點及中點坐標公式，平移公式等內容作為平面向量的應用，也降低了要求。

　　根據上述考慮，本模塊先安排三角函數，再安排平面向量，然后再把三角恒等變換作為平面向量的一個應用，安排在第3章，緊接著再安排解三角形的內容（放在數學5的第1章）。這樣的教材體系的合理性在于：

　　（1）以已有的集合與函數、指數函數與對數函數的知識為基礎，三角函數置于其上位概念（即函數）之下，使三角函數的學習有一個好的“先行組織者”，找到一個有力的“固著點”。三角函數的學習是一種“逐漸分化”式的學習。

　　（2）三角函數的學習為平面向量的學習作了必要的準備，因為平面向量的某些內容(向量的數量積)需要用到鈍角的三角函數。

　　（3）將三角恒等變換安排在平面向量之后，使學生能夠切實感受到平面向量的威力（用向量為工具推導三角變換公式非常簡捷，而用其他方法都比較繁瑣）。另外，由于三角恒等變換與“函數”討論的主題關系較遠，作為平面向量的一個應用而獨立成章，對三角函數的系統性沒有破壞。

　　（4）將解三角形的內容安排在平面向量之后，可以使正弦定理、余弦定理的證明獲得更多途徑，能更好地體現向量的工具性作用。

　　2．強調聯系、類比等思想方法的應用，強調教科書的思想性，加強思維能力的培養。

　　在討論三角函數及其性質時，經常提醒學生注意用數學1中獲得的一般函數概念及其思想方法作指導。例如，教科書中有這樣的話：

　　“遇到一個新的函數，非常自然的是畫出它的圖象，觀察圖象的形狀，看看有沒有特殊點，并借助圖象研究一下它的性質，如：單調性、奇偶性、最大值、最小值等。特別的，三角函數具有‘周而復始’的特性到底應當如何描述？”

　　這段話實際上是提示學生，在思考三角函數性質到底研究的是哪些問題以及應當如何研究時，應當與自己在數學1中建立的關于函數性質的已有經驗聯系起來，顯然，這對學生把握三角函數基本性質的討論方向是非常有用的。

　　向量的討論特別注意了與數的類比，包括向量的線性運算（加、減、數乘）及運算律與數的加減及其運算律的類比，平面向量的坐標表示與數軸上的點表示數的類比，關于向量數量積的運算律與數的乘法運算律的類比，等等。這種類比對于學生學習如何提出問題（應當研究那些問題），怎樣尋找解決問題的突破口，研究問題的過程中應當注意哪些問題等等，都是非常有好處的，通過這樣的過程，學生的思維能力一定可以得到大的提高。

　　下面以用向量表示幾何元素（點、直線、平面）為例，對本書體現的“思想性”作一個說明。

　　用向量表示幾何元素是容易的，并且很直接。選一個定點，那么，任何一個點都可以用一個向量來表示。對于一條直線l，如果我們的興趣只在于它的方向，那么用一個與l平行的（非0）向量a就行了；如果想確定該直線的位置，則還要在l上任選一點。這樣，一個點A，一個向量a就在原則上確定了直線l。這是對直線l的一種定性刻畫。如果想具體地表示l上的每一個點，我們需要實數k和向量a的乘法ka。這時，l上的任意一點X都可以通過點A和某個ka來表示（如圖1）。希望在“實際”上控制直線l，可以看作是引入ka的一個原因。

　　現在來看平面。兩條相交直線確定一個平面P，因而一個定點，兩個不平行的（非0）向量a，b便在“原則”上確定了平面P。這是對平面的一種定性刻畫。但在討論幾何問題時，常常涉及平面P上的某一點X，為了具體地表示它，我們需要引入向量的加法a+b。這時，平面P上的點X就可以表示為k1a+k2b（以及定點A），而成為可操縱的對象了（如圖2）。在解決幾何問題時，這種表示能發揮很重要的作用。雖然向量的加法、數乘向量有非常堅實的物理背景，但當我們舍棄了這種背景而只從純粹數學的角度來看問題的話，上述考慮可使我們看到引進相應的向量運算的理由，這可以使我們更容易接受并喜愛向量運算。

　　這樣，一個定點，一個向量a以及數乘向量ka便給出直線l的“坐標系”；而一個定點，兩個不共線向量a，b，以及數乘向量和向量加法這兩個運算，就給出了平面P的一個“坐標系”。類似的，空間的一個“坐標系”可以由一個定點，三個不共面的向量，以及數乘向量和向量加法這兩個運算來給出。在這樣的“坐標系”中，幾何元素及其關系不但可以得到定性刻畫，而且還能定量地表示。另外，我們可以根據面臨問題的具體條件，根據解決問題的需要（自由地）選擇“坐標系”，并且還可以在同一個平面上選擇多個“坐標系”。

　　3．加強幾何直觀，強調數形結合思想。

　　本書的內容為加強幾何直觀，引導學生用數學結合的思想方法研究數學問題提供了很好的條件，同時，幾何直觀對學生理解三角函數、向量等概念也發揮了重要作用。三角函數一章，特別強調了單位圓的直觀作用，借助單位圓直觀地認識任意角、任意角的三角函數，理解三角函數的周期性、誘導公式、同角三角函數關系式以及三角函數的圖象，借助三角函數的圖象理解三角函數在一個周期上的單調性、最大和最小值、圖象與x軸的交點等性質；平面向量一章，強調向量概念的幾何背景，強調理解向量運算（加、減、數乘、數量積）及其性質的幾何意義。

　　這里我們特別說明一下用單位圓上點的坐標定義正弦函數、余弦函數的意義。這樣來定義三角函數，除了考慮到使學生在三角函數學習之初就能感受到單位圓的重要性，為后續借助單位圓的直觀討論三角函數的圖象與性質奠定堅實的基礎外，主要還是為了這樣的定義能夠更好地反映三角函數的本質。

　　事實上，任意角的三角函數可以有不同的定義方法。過去習慣于用角的終邊上點的坐標及它到原點的距離的“比值”來定義，這種定義的一個基本理由是可以反映從銳角三角函數到任意角三角函數的推廣，有利于引導學生從自己已有認知基礎出發學習三角函數。但它對準確把握三角函數的本質也有一定的不利影響，因為銳角三角函數與解三角形是直接相關的，而任意角的三角函數與解三角形卻沒有任何關系，它是一個最基本的、最有表現力的周期函數，這才是三角函數最本質的地方。

　　本章利用單位圓上點的坐標定義任意角的正弦函數、余弦函數。這樣定義的好處就是直接用（弧度制下）任意角的集合到區間[－1，1]上的映射來定義，去掉了“求比值”這一中間過程，有利于學生理解任意角的三角函數中自變量與函數值之間的對應關系。

　　事實上，在弧度制（用半徑來度量角）下，角度和長度的單位是統一的，這樣，我們可以用下述方式來描述這兩個函數的對應關系：

　　把實數軸想象為一條柔軟的細線，原點固定在單位點A（1，0），數軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數軸上的任意一個實數（點）t被纏繞到單位圓上的點P（cost，sint），也即是正弦函數把R中的實數t對應到區間[－1，1]上的實數y，y= sint；余弦函數把R中的實數t對應到區間[－1，1]上的實數x，x= cost。

　　上述定義可以很容易地讓我們看到三角函數的“周而復始”的變化規律。因此，我們認為這樣的定義可以更好地反映三角函數的本質，也正是三角函數的這種形式決定了它們在數學（特別是應用數學）中的重要性。事實上，后續的內容，特別是在微積分中，最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函數。

　　4．改進呈現方式，用恰時恰點的問題引導學生學習。

　　編寫像三角函數、向量這些在以往高中課程中已經出現的內容，我們主要考慮的是通過改進呈現方式，提供直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維活動的載體，達到體現數學教育新理念，促使學生采取積極主動、勇于探索的學習方式進行學習，引導教師改進教學方式，提高教學質量，使學生打好數學基礎，提高數學思維能力。

　　在改進呈現方式這個問題上我們是這樣考慮的：在保證內容體系的合理性、科學性的前提下，加強教材的問題性和思想性，在知識的發生發展過程中，利用“觀察”“思考”“探究”等欄目，提出恰時恰點的問題，把數學概念的概括過程和數學思想方法的形成過程設計成為一系列的問題，啟發學生的積極主動思維。這樣，可以使學生感到概念的發展和數學思想方法的形成是自然的，不是強加于人的。

　　例如，三角函數的誘導公式是通過這樣兩個問題情景引出的：

　　思考：我們利用單位圓定義了三角函數，而圓具有很好的對稱性。能否利用圓的這種對稱性來研究三角函數的性質呢？例如，能否從單位圓關于x軸、y軸、直線y=x的軸對稱性以及關于原點O的中心對稱性等出發，獲得一些三角函數的性質呢？

　　探究：給定一個角α。

　　終邊與角α的終邊關于原點對稱的角與α有什么關系？它們的三角函數之間有什么關系？

　　終邊與角α的終邊關于x軸或y軸對稱的角與α有什么關系？它們的三角函數之間有什么關系？

　　終邊與角α的終邊關于直線y=x對稱的角與α有什么關系？它們的三角函數之間有什么關系？

　　其中，“思考”中的問題是上位的，它對利用單位圓的性質討論三角函數的性質具有一般思想方法的引導作用；“探究”中的問題比較具體，可以直接引起學生對誘導公式的探究活動。設計這樣的問題系列，就是希望學生在問題的引導下，開展積極主動的思維活動，自己獨立推導出三角函數的誘導公式，相信有這樣的問題引導，是可以做到這一點的。另外，這樣的做法對于學生思考“應當從哪些方面來研究三角函數”，即應當如何提出問題，也是有啟發的。

　　又如，在向量的運算及運算律的內容中，提出了“數能進行運算，因為有了運算而使數的威力無窮。與數的運算類比，向量是否也能進行運算呢？”“數的運算和運算律緊密聯系，運算律可以有效地簡化運算。類似的，向量的加法是否也有運算律呢？”“我們知道，減去一個數等于加上這個數的相反數。向量的減法是否也有類似的法則？”……來引導學生學習。

　　5．使用信息技術的考慮。

　　本模塊中，比較適合用信息技術的內容是三角函數及其性質的研究。“標準”中明確提出了“借助計算器或計算機畫出 的圖象，觀察參數A，對函數圖象變化的影響”的要求，在“說明與建議”中提出“應鼓勵學生使用計算器和計算機探索和解決問題。例如，求三角函數值，求解測量問題，分析中參數變化對函數的影響等”。根據“標準”的要求和建議，本模塊對使用信息技術問題作了如下處理：

　　（1）用計算器進行角度制與弧度制的互換；

　　（2）用計算器求三角函數的值；

　　（3）用計算器的sin－1、cos－1、tan－1鍵求角；

　　（4）討論的圖象時，在邊空中提示，“可以用‘五點法’作圖，有條件的也可以用計算器或計算機作圖。在計算機的幫助下，A，對函數的圖象變化的影響能直觀地得到反映”；

　　（5）在用三角函數模型解決問題的過程中，提倡使用計算機進行函數擬合等。

　　相應的，在角的兩種度量制的互換、求三角函數值、做函數圖象等方面都降低了要求，這樣做可以為學生借助信息技術探索數學規律，從事一些富有探索性和創造性的數學活動提供時間和空間。因為有了信息技術，教科書中引進了一些計算量大、需要根據數據選擇和修正函數模型才能解決的問題。

　　三、使用本書的幾個建議

　　1．充分利用三角函數、向量與學生已有經驗的聯系創設問題情景。

　　三角函數是描述周期現象的重要數學模型，向量也有豐富的物理與幾何背景。

　　在學生的已有經驗中，像日出日落，月圓月缺，春夏秋冬，24節氣，時針旋轉……都是日常經驗，對于這些周期變化現象及出現的原因，學生在地理課中都接觸過、學習過；單擺，圓周運動，彈簧振子……是學生在物理中學習過的，這些都是認識周期現象的變化規律，體會三角函數模型的意義的很好載體，教學中可以充分利用它們來創設三角函數的學習情境。

　　在學生的生活經驗和已有知識中，力、速度、加速度以及幾何中的有向線段等概念都是向量概念的原型，向量的運算的物理背景有力的合成、力的分解、運動做功等。教學中可利用這些背景創設情境，引導學生認識向量是物理、數學中的有力工具。

　　2．充分利用相關知識的聯系性，引導學生用類比的方法進行學習，加強教學的“思想性”。

　　三角函數與《數學1》的函數概念是一般與特殊的關系，教學中應當注意發揮學生頭腦中函數概念及在指數函數、對數函數的學習中建立的經驗的指導作用。通過聯系和類比，使學生明確三角函數與已有函數概念的共通性，同時認識三角函數的特殊性——描述周期現象的最有力的數學模型，從而明確需要研究的問題及其研究方法。

　　與學生熟悉的數量一樣，向量也是一個量，不過這個量有些特別，它既有大小又有方向。因為有大小，所以向量可以運算；因為有方向，所以向量可以用來刻畫點、直線、平面等幾何元素，也是研究幾何問題的有力工具——幾何中的向量法。因此，向量及其方法有非常強有力的類比對象——數量、解析法。教學中應當通過與數及其運算律的類比，讓學生明確平面向量中研究的基本問題及其研究方法，為向量的學習提供一個有力的知識、方法的認知固著點。

　　3．充分發揮幾何直觀的作用，注重數形結合思想方法的運用。

　　在三角函數的教學中，要充分發揮單位圓的作用，并且要注意逐漸使學生形成用單位圓討論三角函數問題的意識和習慣，引導學生自主地用單位圓探索三角函數的有關性質，提高分析和解決問題的能力。向量的教學中，應當充分關注到向量既是代數的對象，又是幾何的對象的特點，利用向量的物理背景與幾何背景，加強幾何直觀，引導學生在代數、幾何和三角函數的聯系中學習向量知識。

　　4．把握教學要求，不搞復雜的、技巧性強的三角變換訓練。

　　弧度是學生比較難接受的概念，教學中應使學生體會弧度也是一種度量角的單位（圓周的1/2π所對的圓心角或周角的1/2π），隨著后續課程的學習，他們將會逐步理解這一概念，在此不必深究。

　　在三角恒等變換的教學中，兩角差的余弦公式的推導思路的獲得是一個難點。為此，“標準”明確提出利用向量的數量積推導兩角差的余弦公式，并由此公式推導出兩角和的余弦、兩角和與差的正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，教學中應當把握這種要求，不要因為用其他方法推導兩角差的余弦公式有較好的思維教育價值而作過多擴展（對于學有余力的學生，可以作為課外學習素材）。另外，教學中應鼓勵學生通過獨立探索和討論交流，推導積化和差、和差化積、半角公式，以此作為三角恒等變換的基本訓練，不要進行復雜的、技巧性強的三角恒等變換訓練。

　　另外，在三角函數中被刪減的內容（如任意角的余切、正割、余割，三角函數的奇偶性，已知三角函數求角，反三角函數符號等）以及降低要求的內容（如任意角概念，弧度制概念，同角三角函數的基本關系式，誘導公式等）都不要隨意補充或提高要求。