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湖北省咸寧市中考2013年數學試卷
一、（共8小題，每小題3分，滿分24分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（3分）（2013?咸寧）如果溫泉河的水位升高0.8m時水位變化記作+0.8m，那么水位下降0.5m時水位變化記作（　�。�
　A．0mB．0.5mC．?0.8mD．?0.5m
考點：正數和負數．
分析：首先根據題意，明確“正”和“負”所表示的意義，再根據題意作答即可．
解答：解：∵水位升高0.8m時水位變化記作+0.8m，
∴水位下降0.5m時水位變化記作?05m；
故選D．
點評：此題考查了正數和負數，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．
　
2．（3分）（2013?咸寧）2014年，咸寧全面推進“省級戰略，咸寧實施”，經濟持續增長，全市人均GDP再攀新高，達到約24000元．將24000用科學記數法表示為（　�。�
　A．2.4×104B．2.4×103C．0.24×105D．2.4×105
考點：科學記數法—表示較大的數．
分析：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
解答：解：將24000用科學記數法表示為2.4×104．
故選A．
點評：此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
3．（3分）（2013?咸寧）下列學習用具中，不是軸對稱圖形的是（　�。�
　A． B． C． D．
考點：軸對稱圖形．
分析：根據軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿著某條直線折疊，兩邊能夠重合的圖形是軸對稱圖形，對各選項判斷即可．
解答：解：A、是軸對稱圖形，不合題意，故本選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，不合題意，故本選項錯誤；
C、不是軸對稱圖形，符合題意，故本選項正確；
D、是軸對稱圖形，不合題意，故本選項錯誤；
故選C．
點評：本題考查了軸對稱圖形的知識，屬于基礎題，判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸．
4．（3分）（2013?咸寧）下列運算正確的是（　　）
　A．a6÷a2=a3B．3a2b?a2b=2C．（?2a3）2=4a6D．（a+b）2=a2+b2
考點：同底數冪的除法；合并同類項；冪的乘方與積的乘方；完全平方公式．
分析：根據同底數冪的除法、合并同類項、冪的乘方及完全平方公式，結合各選項進行判斷即可．
解答：解：A、a6÷a2=a4，原式計算錯誤，故本選線錯誤；
B、3a2b?a2b=2a2b，原式計算錯誤，故本選線錯誤；
C、（?2a3）2=4a6，計算正確，故本選線正確；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，計算錯誤，故本選線錯誤；
故選C．
點評：本題考查了同底數冪的除法、合并同類項、冪的乘方運算，屬于基礎題，掌握各部分的運算法則是關鍵．
　
5．（3分）（2013?咸寧）如圖，過正五邊形ABCDE的頂點A作直線l∥BE，則∠1的度數為（　�。�
　A．30°B．36°C．38°D．45°
考點：平行線的性質；等腰三角形的性質；多邊形內角與外角．
分析：首先根據多邊形內角和計算公式計算出每一個內角的度數，再根據等腰三角形的性質計算出∠AEB，然后根據平行線的性質可得答案．
解答：解：∵ABCDE是正五邊形，
∴∠BAE=（5?2）×180°÷5=108°，
∴∠AEB=（180°?108°）÷2=36°，
∵l∥BE，
∴∠1=36°，
故選：B．
點評：此題主要考查了正多邊形的內角和定理，以及三角形內角和定理，平行線的性質，關鍵是掌握多邊形內角和定理：（n?2）．180° （n≥3）且n為整數）．
　
6．（3分）（2013?咸寧）關于x的一元二次方程（a?1）x2?2x+3=0有實數根，則整數a的最大值是（　　）
　A．2B．1C．0D．?1
考點：根的判別式．
分析：根據方程有實數根，得到根的判別式的值大于等于0，且二次項系數不為0，即可求出整數a的最大值．
解答：解：根據題意得：△=4?12（a?1）≥0，且a?1≠0，
解得：a≤，a≠1，
則整數a的最大值為0．
故選C．
點評：此題考查了根的判別式，一元二次方程的定義，弄清題意是解本題的關鍵．
　
7．（3分）（2013?咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（　�。�
　A． B．
C． D．
考點：相似三角形的應用；正方形的性質；幾何概率．
分析：求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥在花圃上的概率；
解答：解：設正方形的ABCD的邊長為a，
則BF=BC=，AN=NM=MC=a，
∴陰影部分的面積為（）2+（a）2= a2，
∴小鳥在花圃上的概率為 =
故選C．
點評：本題考查了正方形的性質及幾何概率，關鍵是表示出大正方形的邊長，從而表示出兩個陰影正方形的邊長，最后表示出面積．
　
8．（3分）（2013?咸寧）如圖，在平面直角坐標系中，以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點P．若點P的坐標為（2a，b+1），則a與b的數量關系為（　　）
　A．a=bB．2a+b=?1C．2a?b=1D．2a+b=1
考點：作圖—基本作圖；坐標與圖形性質；角平分線的性質．
分析：根據作圖過程可得P在第二象限角平分線上，有角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得2a=b+1，再根據P點所在象限可得橫縱坐標的和為0，進而得到a與b的數量關系．
解答：解：根據作圖方法可得點P在第二象限角平分線上，
則P點橫縱坐標的和為0，
故2a+b+1=0，
整理得：2a+b=?1，
故選：B．
點評：此題主要考查了每個象限內點的坐標特點，以及角平分線的性質，關鍵是掌握各象限角平分線上的點的坐標特點橫坐標=縱坐標．
　
二、題（共8小題，每小題3分，滿分24分）
9．（3分）（2013?咸寧）?3的倒數為　? �。�
考點：倒數．
分析：根據倒數的定義：若兩個數的乘積是1，我們就稱這兩個數互為倒數．
解答：解：∵（?3）×（? ）=1，∴?3的倒數是? ．
故答案為? ．
點評：本題主要考查倒數的定義，要求熟練掌握．需要注意的是：
倒數的性質：負數的倒數還是負數，正數的倒數是正數，0沒有倒數．
倒數的定義：若兩個數的乘積是1，我們就稱這兩個數互為倒數．
　
10．（3分）（2013?咸寧）化簡 + 的結果為　x�。�
考點：分式的加減法．
分析：先把兩分數化為同分母的分數，再把分母不變，分子相加減即可．
解答：解：原式= ?
=
=x．
故答案為：x．
點評：本題考查的是分式的加減法，即把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經過通分，異分母分式的加減就轉化為同分母分式的加減．
　
11．（3分）（2013?咸寧）如圖是正方體的一種平面展開圖，它的每個面上都有一個漢字，那么在原正方體的表面上，與漢字“香”相對的面上的漢字是　泉　．
考點：專題：正方體相對兩個面上的文字．
分析：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據這一特點作答．
解答：解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，
“力”與“城”是相對面，
“香”與“泉”是相對面，
“魅”與“都”是相對面．
故答案為泉．
點評：本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．
　
12．（3分）（2013?咸寧）已知 是二元一次方程組 的解，則m+3n的立方根為　2�。�
考點：二元一次方程組的解；立方根．
分析：將 代入方程組 ，可得關于m、n的二元一次方程組，解出m、n的值，代入代數式即可得出m+3n的值，再根據立方根的定義即可求解．
解答：解：把 代入方程組 ，
得： ，解得 ，
則m+3n= +3×=8，
所以 = =2．
故答案為2．
點評：本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組及立方根的定義等知識，屬于基礎題，注意“消元法”的運用．
　
13．（3分）（2013?咸寧）在數軸上，點A（表示整數a）在原點的左側，點B（表示整數b）在原點的右側．若a?b=2013，且AO=2BO，則a+b的值為　?671　．
考點：數軸；絕對值；兩點間的距離．
分析：根據已知條件可以得到a＜0＜b．然后通過取絕對值，根據兩點間的距離定義知b?a=2013，a=?2b，則易求b=671．所以a+b=?2b+b=?b=?671．
解答：解：如圖，a＜0＜b．
∵a?b=2013，且AO=2BO，
∴b?a=2013，①
a=?2b，②
由①②，解得b=671，
∴a+b=?2b+b=?b=?671．
故答案是：?671．
點評：本題考查了數軸、絕對值以及兩點間的距離．根據已知條件得到a＜0＜b是解題的關鍵．
　
14．（3分）（2013?咸寧）跳遠運動員李剛對訓練效果進行測試，6次跳遠的成績如下：7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9．（單位：m）這六次成績的平均數為7.8，方差為 ．如果李剛再跳兩次，成績分別為7.7，7.9．則李剛這8次跳遠成績的方差　變大　（填“變大”、“不變”或“變小”）．
考點：方差．
分析：根據平均數的定義先求出這組數據的平均數，再根據方差公式求出這組數據的方差，然后進行比較即可求出答案．
解答：解：∵李剛再跳兩次，成績分別為7.7，7.9，
∴這組數據的平均數是 =7.8，
∴這8次跳遠成績的方差是：
S2= [（7.6?7.8）2+（7.8?7.8）2+2×（7.7?7.8）2+（7.8?7.8）2+（8.0?7.8）2+2×（7.9?7.8）2]= ，
，
∴方差變大；
故答案為：變大．
點評：本題考查方差的定義，一般地設n個數據，x1，x2，…xn的平均數為，則方差S2= [（x1?）2+（x2?）2+…+（xn?）2]，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．
　
15．（3分）（2013?咸寧）如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，⊙O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為　2 �。�
考點：切線的性質；等腰直角三角形．
分析：首先連接OP、OQ，根據勾股定理知PQ2=OP2?OQ2，可得當OP⊥AB時，線段OP最短，即線段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
解答：解：連接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切線，
∴OQ⊥PQ；
根據勾股定理知PQ2=OP2?OQ2，
∴當PO⊥AB時，線段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，
∴AB= OA=6，
∴OP= =3，
∴PQ= = =2 ．
故答案為：2 ．
點評：本題考查了切線的性質、等腰直角三角形的性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當PO⊥AB時，線段PQ最短是關鍵．
　
16．（3分）（2013?咸寧）“龜兔首次賽跑”之后，輸了比賽的兔子沒有氣餒，總結反思后，和烏龜約定再賽一場．圖中的函數圖象刻畫了“龜兔再次賽跑”的故事（x表示烏龜從起點出發所行的時間，y1表示烏龜所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列說法：
①“龜兔再次賽跑”的路程為1000米；
②兔子和烏龜同時從起點出發；
③烏龜在途中休息了10分鐘；
④兔子在途中750米處追上烏龜．
其中正確的說法是�、佗邰堋。�（把你認為正確說法的序號都填上）
考點：函數的圖象．
分析：結合函數圖象及選項說法進行判斷即可．
解答：解：根據圖象可知：
龜兔再次賽跑的路程為1000米，故①正確；
兔子在烏龜跑了40分鐘之后開始跑，故②錯誤；
烏龜在30??40分鐘時的路程為0，故這10分鐘烏龜沒有跑在休息，故③正確；
y1=20x?200（40≤x≤60），y2=100x?4000（40≤x≤50），當y1=y2時，兔子追上烏龜，
此時20x?200=100x?4000，
解得：x=47.5，
y1=y2=750米，即兔子在途中750米處追上烏龜，故④正確．
綜上可得①③④正確．
故答案為：①③④．
點評：本題考查了函數的圖象，讀函數的圖象時首先要理解橫縱坐標表示的含義，理解問題敘述的過程，有一定難度．
　
三、解答題（共8小題，滿分72分）
17．（10分）（2013?咸寧）（1）計算： +2? ?（ ）?1
（2）解不等式組： ．
考點：解一元一次不等式組；實數的運算；負整數指數冪．
分析：（1）此題涉及到二次根式的化簡、絕對值、負整數指數冪，根據各知識點計算后，再計算有理數的加減即可；
（2）分別計算出兩個不等式的解集，再根據大小小大中間找確定不等式組的解集即可．
解答：解：（1）原式=2 +2? ?2= ．
（2）解不等式x+6≤3x+4，得；x≥1．
解不等式 ＞x?1，得：x＜4．
原不等式組的解集為：1≤x＜4．
點評：此題主要考查了二次根式的化簡、絕對值、負整數指數冪，以及解一元一次不等式組，關鍵是掌握解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．
　
18．（7分）（2013?咸寧）在咸寧創建”國家衛生城市“的活動中，市園林公司加大了對市區主干道兩旁植“景觀樹”的力度，平均每天比原計劃多植5棵，現在植60棵所需的時間與原計劃植45棵所需的時間相同，問現在平均每天植多少棵樹？
考點：分式方程的應用．
分析：設現在平均每天植樹x棵，則原計劃平均每天植樹（x?5）棵．根據現在植60棵所需的時間與原計劃植45棵所需的時間相同建立方程求出其解即可．
解答：解：設現在平均每天植樹x棵，則原計劃平均每天植樹（x?5）棵．依題意得：
，
解得：x=20，
經檢驗，x=20是方程的解，且符合題意．
答：現在平均每天植樹20棵．
點評：本題是一道工程問題的運用題，考查了工作總量÷工作效率=工作時間的運用，列分式方程解實際問題的運用，解答時根據植60棵所需的時間與原計劃植45棵所需的時間相同建立方程是關鍵．
　
19．（8分）（2013?咸寧）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x+b（b＜0）與坐標軸交于A，B兩點，與雙曲線y=（x＞0）交于D點，過點D作DC⊥x軸，垂足為G，連接OD．已知△AOB≌△ACD．
（1）如果b=?2，求k的值；
（2）試探究k與b的數量關系，并寫出直線OD的解析式．
考點：反比例函數綜合題．
分析：（1）首先求出直線y=2x?2與坐標軸交點的坐標，然后由△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐標，由點D在雙曲線y=（ x＞0）的圖象上求出k的值；
（2）首先直線y=2x+b與坐標軸交點的坐標為A（?，0），B（0，b），再根據△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐標，把D點坐標代入反比例函數解析式求出k和b之間的關系，進而也可以求出直線OD的解析式．
解答：解：（1）當b=?2時，
直線y=2x?2與坐標軸交點的坐標為A（1，0），B（0，?2）．
∵△AOB≌△ACD，
∴CD=DB，AO=AC，
∴點D的坐標為（2，2）．
∵點D在雙曲線y=（ x＞0）的圖象上，
∴k=2×2=4．
（2）直線y=2x+b與坐標軸交點的坐標為A（?，0），B（0，b）．
∵△AOB≌△ACD，
∴CD=OB，AO=AC，
∴點D的坐標為（?b，?b）．
∵點D在雙曲線y=（ x＞0）的圖象上，
∴k=（?b）?（?b）=b2．
即k與b的數量關系為：k=b2．
直線OD的解析式為：y=x．
點評：本題主要考查反比例函數的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質以及反比例函數圖象的特征，此題難度不大，是一道不錯的中考試題．
　
20．（8分）（2013?咸寧）如圖，△ABC內接于⊙O，OC和AB相交于點E，點D在OC的延長線上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．
（1）試判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）AB=6 ，求⊙O的半徑．
考點：切線的判定；解直角三角形．
分析：（1）連接OA，求出∠AOC=2∠B=60°，根據三角形內角和定理求出∠OAD，根據切線判定推出即可；
（2）求出∠AEC=90°，根據垂徑定理求出AE，根據銳角三角函數的定義即可求出AC，根據等邊三角形的性質推出即可．
解答：解：（1）直線AD與⊙O相切．理由如下：
如圖，連接OA．
∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°，
∴∠OAD=180°?∠AOD?∠D=90°，
即OA⊥AD，
∵OA為半徑，
∴AD是⊙O的切線．
（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠ACO=60°，AC=OA，
∴∠AEC=180°?∠EAC?∠ACE=90°，
∴OC⊥AB，
又∵OC是⊙O的半徑，
∴AE=AB= 6 =3 ，
在Rt△ACE中，sin∠ACE= =sin 60°，
∴AC=6，
∴⊙O的半徑為6．
點評：本題考查了切線的判定，含30度角的直角三角形，銳角三角函數的定義，等邊三角形的性質和判定的應用，主要考查了學生綜合運用性質進行推理的能力．
　
21．（8分）（2013?咸寧）在對全市初中生進行的體質健康測試中，青少年體質研究中心隨機抽取的10名學生的坐位體前屈的成績（單位：厘米）如下：
11.2，10.5，11.4，10.2，11.4，11.4，11.2，9.5，12.0，10.2
（1）通過計算，樣本數據（10名學生的成績）的平均數是10.9，中位數是　11.2　，眾數是　11.4　；
（2）一個學生的成績是11.3厘米，你認為他的成績如何？說明理由；
（3）研究中心確定了一個標準成績，等于或大于這個成績的學生該項素質被評定為“優秀”等級，如果全市有一半左右的學生能夠達到“優秀”等級，你認為標準成績定為多少？說明理由．
考點：用樣本估計總體；加權平均數；中位數；眾數．
分析：（1）利用中位數、眾數的定義進行解答即可；
（2）將其成績與中位數比較即可得到答案；
（3）用中位數作為一個標準即可衡量是否有一半學生達到優秀等級．
解答：解：（1）中位數是11.2，眾數是11.4．
（2）方法1：根據（1）中得到的樣本數據的結論，可以估計，在這次坐位體前屈的成績測試中，全市大約有一半學生的成績大于11.2厘米，有一半學生的成績小于11.2厘米，這位學生的成績是11.3厘米，大于中位數11.2厘米，可以推測他的成績比一半以上學生的成績好．（5分）
方法2：根據（1）中得到的樣本數據的結論，可以估計，在這次坐位體前屈的成績測試中，全市學生的平均成績是10.9厘米，這位學生的成績是11.3厘米，大于平均成績10.9厘米，可以推測他的成績比全市學生的平均成績好．（5分）
（3）如果全市有一半左右的學生評定為“優秀”等級，標準成績應定為11.2厘米（中位數）．因為從樣本情況看，成績在11.2厘米以上（含11.2厘米）的學生占總人數的一半左右．可以估計，如果標準成績定為11.2厘米，全市將有一半左右的學生能夠評定為“優秀”等級．（8分）
點評：本題考查了加權平均數、中位數及眾數的定義，屬于統計中的基本題型，需重點掌握．
22．（9分）（2013?咸寧）為鼓勵大學畢業生自主創業，某市政府出臺了相關政策：由政府協調，本市企業按成本價提供產品給大學畢業生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔．李明按照相關政策投資銷售本市生產的一種新型節能燈．已知這種節能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系近似滿足一次函數：y=?10x+500．
（1）李明在開始創業的第一個月將銷售單價定為20元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元？
（2）設李明獲得的利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？
（3）物價部門規定，這種節能燈的銷售單價不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于300元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？
考點：二次函數的應用．
分析：（1）把x=20代入y=?10x+500求出銷售的件數，然后求出政府承擔的成本價與出廠價之間的差價；
（2）由利潤=銷售價?成本價，得w=（x?10）（?10x+500），把函數轉化成頂點坐標式，根據二次函數的性質求出最大利潤；
（3）令?10x2+600x?5000=3000，求出x的值，結合圖象求出利潤的范圍，然后設設政府每個月為他承擔的總差價為p元，根據一次函數的性質求出總差價的最小值．
解答：解：（1）當x=20時，y=?10x+500=?10×20+500=300，
300×（12?10）=300×2=600，
即政府這個月為他承擔的總差價為600元．
（2）依題意得，w=（x?10）（?10x+500）
=?10x2+600x?5000
=?10（x?30）2+4000
∵a=?10＜0，∴當x=30時，w有最大值4000．
即當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000．
（3）由題意得：?10x2+600x?5000=3000，
解得：x1=20，x2=40．
∵a=?10＜0，拋物線開口向下，
∴結合圖象可知：當20≤x≤40時，w≥3000．
又∵x≤25，
∴當20≤x≤25時，w≥3000．
設政府每個月為他承擔的總差價為p元，
∴p=（12?10）×（?10x+500）
=?20x+1000．
∵k=?20＜0．
∴p隨x的增大而減小，
∴當x=25時，p有最小值500．
即銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500元．
點評：本題主要考查了二次函數的應用的知識點，解答本題的關鍵熟練掌握二次函數的性質以及二次函數最大值的求解，此題難度不大．
　
23．（10分）（2013?咸寧）理解：
如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點．解決問題：
（1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網格（網格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E；
拓展探究：
（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處．若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，試探究AB和BC的數量關系．
考點：相似形綜合題．
分析：（1）要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解．
（2）根據兩個直角三角形相似得到強相似點的兩種情況即可．
（3）因為點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強相似點，所以就有相似三角形出現，根據相似三角形的對應線段成比例，可以判斷出AE和BE的數量關系，從而可求出解．
解答：解：（1）點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．
理由：∵∠A=55°，
∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，
∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．（2分）
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點．
（2）作圖如下：
（3）∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折疊可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=∠BCD=30°，
∴BE=CE=AB．
在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°，
∴ ，
∴ ．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，梯形的性質以及理解相似點和強相似點的概念等，從而可得到結論．
　
24．（12分）（2013?咸寧）如圖，已知直線y=x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉90°后得到△COD．
（1）點C的坐標是　（0，3）　線段AD的長等于　4��；
（2）點M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x2+bx+c經過點G，M，求拋物線的解析式；
（3）如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點P，使得以C，E，F，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長l；若不存在，請說明理由．
考點：二次函數綜合題．
分析：（1）首先求出圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B的坐標，進而得出C點坐標以及線段AD的長；
（2）首先得出點M是CD的中點，即可得出M點坐標，進而利用待定系數法求二次函數解析式；
（3）分別根據當點F在點C的左邊時以及當點F在點C的右邊時，分析四邊形CFPE為菱形得出即可．
解答：（1）點C的坐標是（0,3），線段AD的長等于4；3分
（說明：前一個空為1分，后一個空為2分）
（2）∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴點 是 的中點，4分
∴點 的坐標為 .5分
（說明：由CM＝OM得到點M在OC在垂直平分線上，所以點M的縱坐標為 ，再求出直線CD的解析式，進而求出點M的坐標也可.）
∵拋物線 經過點C，M，
∴ ，解得： .6分
∴拋物線 的解析式為： .7分
（3）拋物線上存在點P，使得以C，E，F，P為頂點的四邊形是菱形. 8分
情形1：如圖1，當點 在點 的左邊時，四邊形 為菱形.
　　　　　　∴ ,
　　　　　　由題意可知，
　　　　　　∴ ,
　　　　　　∴ ,
　　　　　　∴菱形 為正方形.
　　　　　　 過點 作 ,垂足為 ,
則Rt△ 為等腰直角三角形.
∴ .9分
設點 為（ ， ），則 , ，
∵ ,
∴3-( )= ，
解得：
∴ ，
∴菱形 的周長為： .10分
情形2：如圖2，當點 在點 的右邊時，四邊形CFPE為菱形.
　　　　　　 ∴ ， ∥ .
　　　　　　∵直線 過點 （-3,0），點 （0,3），
　　　　　　 ∴直線 的解析式為： .
　　　　　　過點 作 ，垂足為 ,
　　　　　　則Rt△CMF為等腰直角三角形, .
　　　　　　延長 交x軸于點 ,
　　　　　　 則 x軸, ∴ .11分
設點 為（ ， ），則點 為（ ， ），
∴ ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴菱形 的周長為：（ ） .
綜上所述，這樣的菱形存在，它的周長為 或 . 12分


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