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第一 力 物體的平衡
本概述
本知識(shí)所處的地位：
力是物理學(xué)的基本概念，本內(nèi)容在高中物理中既是基礎(chǔ)又是重點(diǎn)。本的中心內(nèi)容是對(duì)力的基本認(rèn)識(shí)和對(duì)力學(xué)問題的基本處理方法，如“受力分析”、“力的合成和分解”、 隔離體法和整體法等。本中力的平衡問題是力學(xué)基本方法的初步運(yùn)用，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)多加體會(huì)。
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：
專題一 力 重力 彈力
【考點(diǎn)透析】
一 本專題考點(diǎn)：力的基本概念、三種常見的力
二 理解和掌握的內(nèi)容
1．力
（1）力的概念：力是物體對(duì)物體的作用。
理解：力是一種作用，區(qū)別于平常所說的“力氣”。力的作用可以通過物體的直接接觸實(shí)現(xiàn)，也可以通過場(chǎng)實(shí)現(xiàn)。
（2）力的性質(zhì)：
物質(zhì)性力不能脫離物體而獨(dú)立存在
相互性力總是成對(duì)出現(xiàn)的，物體之間的力的作用是相互的
矢量性力既有大小又有方向，遵從矢量運(yùn)算法則
（3）力的描述：力有三要素，即大小、方向、作用點(diǎn)，描述一個(gè)力必須說明這三點(diǎn)。除直接說明外，描述一個(gè)力還可以用做力的圖示的方法。
（4）力的作用效果：①使物體產(chǎn)生形變；②使物體產(chǎn)生加速度。
（5）力的分類：
按力的性質(zhì)（即力的產(chǎn)生機(jī)理）可分為：重力、彈力、摩擦力、分子力、電場(chǎng)力、安培力、洛倫茲力、核力等。
按力的作用效果可分為：拉力、壓力、支持力、動(dòng)力、阻力、浮力、下滑力、向心力、回復(fù)力等。
2．重力
（1）由于地球的吸引而產(chǎn)生的，本質(zhì)上是地球?qū)ξ矬w的萬有引力的一個(gè)分力。
（2）重力的大小：G=mg。重力應(yīng)是萬有引力和物體隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力的矢量差，其大小應(yīng)比萬有引力略小，在通常的計(jì)算中一般可做近似處理，取mg≈F引，g≈G/R2。重力的大小和物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)，在超重、失重和完全失重的狀態(tài)下重力均不會(huì)發(fā)生改變。
（3）重力的方向：豎直向下，即和水平面垂直的方向。不能說成垂直地面。
（4）重心：物體的重力的等效作用點(diǎn)。重心的位置由物體的形狀和質(zhì)量分布決定，質(zhì)量分布均勻的物體其幾何中心就是物體的重心。物體的重心可以在物體上，也可以不在物體上（如均質(zhì)圓環(huán)，木工用的拐尺等）。
3．彈力
（1）概念：發(fā)生彈性形變的物體對(duì)與它相接觸的物體施加的力的作用。產(chǎn)生機(jī)理：發(fā)生彈性形變的物體，由于要恢復(fù)形變，就會(huì)對(duì)阻礙它恢復(fù)形變的物體施加彈力的作用。例如放在桌面上的物體受到彈力是由于桌面發(fā)生了彈性形變。
（2）產(chǎn)生條：①（相互）接觸；②（發(fā)生彈性）形變。
彈力有無的判斷可以用假設(shè)（拿開）法、平衡法或者其他運(yùn)動(dòng)規(guī)律。
（3）大小：在彈性限度內(nèi)，彈力的大小隨形變量的增大而增大。對(duì)彈簧有胡克定律 。
（4）方向：總是指向形變恢復(fù)的方向。①壓力或支持力的方向總是垂直于接觸面；②繩的拉力的方向總是沿繩指向繩收縮的方向；③桿對(duì)物體的彈力不一定沿桿的方向。
【例題精析】
例題1 關(guān)于力的概念,下列說法正確的是：
A.一個(gè)受力物體可以找到兩個(gè)以上的施力物體
B.力可以從一個(gè)物體傳給另一個(gè)物體
C.只有相互接觸的物體之間才可能存在力的作用
D.一個(gè)受力物體可以不對(duì)其它物體施力
分析與解答：一個(gè)物體可以同時(shí)受到幾個(gè)力的作用，故A正確；傳力的概念是錯(cuò)誤的，如圖1-1我們只能說物體由于受到人的推力的作用而對(duì)墻產(chǎn)生壓力，而人的推力并沒有直接作用在墻上，故B錯(cuò)；彈力和摩擦力都是接觸力，但重力、電場(chǎng)力等都是通過場(chǎng)實(shí)現(xiàn)的，相互作用的物體不一定直接接觸，C錯(cuò)；施力物體同時(shí)一定是受力物體，受力物體同時(shí)一定是施力物體，D錯(cuò)。
思考與拓寬：“固體傳遞力”，是同學(xué)們普遍認(rèn)同的經(jīng)驗(yàn)體會(huì)，除了本題中的否定分析之外，你能否通過其他途徑，如利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律等深入分析其錯(cuò)誤性。
例2如圖1-2甲所示，小球和光滑斜面接觸，懸線繃緊且處于豎直方向，則小球受到的作用力是
A.重力和繩的拉力
B.重力、繩的拉力和斜面的支持力
C.重力和斜面的彈力
D.重力、繩的拉力和下滑力
解析：關(guān)鍵是看小球受不受斜面的支持力。
可用拿開法判斷，即假設(shè)撤掉斜面，小球的平衡也不會(huì)受到影響，所以實(shí)際沒有彈力；或根據(jù)力的平衡條直接分析，若有彈力，小球受力如圖1-2乙所示，彈力的水平分力無法平衡。可見,平衡條的利用有時(shí)是分析受力的重要方法。
思考拓寬：如圖1-3所示兩種情況，物體A受物體B的彈力嗎？（接觸面均光滑）
【能力提升】
Ⅰ．知識(shí)與技能
1．下面的說法中正確的是
A.帶電粒子在磁場(chǎng)中受到洛倫茲力作用，而這個(gè)力是脫離施力物體單獨(dú)存在的
B.正在飛行中的炮彈受到重力、空氣阻力和向前的沖力
C.力的大小、方向、作用點(diǎn)相同，性質(zhì)就一定相同
D.放在粗糙水平面上的物體做勻速運(yùn)動(dòng)，也不能說明力是維持物體運(yùn)動(dòng)的原因
2．關(guān)于重力和重心的下列說法，正確的是
A.物體的重力是由于物體受到地球的萬有引力而產(chǎn)生的
B.物體的重心總在物體上
C.正方形物體的重心在它的幾何中心
D.只有物體的重心才受到重力作用
3.下列關(guān)于力的說法中，不正確的是
A.所有物體間力的作用都是相互的
B.施力物體必定也是受力物體
C.汽車發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)，產(chǎn)生了牽引力，可見有的力不是物體施加的
D.力是使物體產(chǎn)生形變和改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因
4. 如圖1-4所示，兩根相同的輕彈簧S1、S2，勁度系數(shù)皆為k=4×102N/m，掛的重物的質(zhì)量分別為m1=2kg，m2=4kg。若不計(jì)彈簧質(zhì)量，取g=10m/s2，則平衡時(shí)彈簧S1、S2的伸長量分別為
A. 、10 　　　 B.10 、
C.15 、10 D.10 、15
5．如圖1-5，水平地面上放著一個(gè)球，一根直桿斜靠在球上，直桿上的 A點(diǎn)和B點(diǎn)受到兩個(gè)彈力，關(guān)于它們的方向，下列說法正確的是
A.A點(diǎn)和B點(diǎn)的彈力都垂直地面向上
B.A點(diǎn)的彈力垂直地面向下，B點(diǎn)的彈力垂直地面向上
C.A 點(diǎn)的彈力垂直地面向上，B點(diǎn)的彈力垂直直桿斜向上
D.A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)的彈力都垂直直桿斜向上
6．關(guān)于彈力和形變，以下說法正確的是
A.兩物體如果相互接觸，就一定會(huì)產(chǎn)生相互作用的彈力
B.兩物體如果相互擠壓而發(fā)生了彈性形變，就會(huì)產(chǎn)生相互作用的彈力
C.兩物體如果不接觸，也有可能有相互作用的彈力
D.兩物體間有彈力作用，物體不一定發(fā)生了形變
Ⅱ．能力與素質(zhì)
7．關(guān)于彈簧的彈力和勁度系數(shù)k，下列說法中正確的是
A.同樣粗細(xì)的金屬絲繞制的彈簧一定具有相同的勁度系數(shù)
B.把勁度系數(shù)為k的彈簧剪成等長的兩段，每段彈簧的勁度系數(shù)仍為k
C.彈簧的彈力和長度成正比
D.在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力和形變量成正比
8.質(zhì)量為m的鐵球在水平推力F的作用下靜止于豎直光滑墻壁和光滑斜面之間。球跟傾角為θ的斜面的接觸點(diǎn)為A，推力的作用線通過球心O，球的半徑為R，如圖1-6，若水平推力緩慢增大，在此過程中
①球?qū)π泵娴淖饔昧�緩慢增大；②墻�?duì)球的作用力始終小于推力F；
③斜面對(duì)球的支持力為mgcosθ；④推力F對(duì)A點(diǎn)的力矩為FRcosθ
上述結(jié)論中正確的是：
A. ①② B. ③④
C. ①③ D. ②④
9．有一根彈簧,受到20N的拉力作用時(shí)長為11cm，再增加40N拉力作用時(shí),彈簧再伸長2cm，求：(1)彈簧的原長。(2)彈簧的勁度是多少N/m？
專題二 摩擦力
【考點(diǎn)透析】
一 本專題考點(diǎn)：靜摩擦力的大小和方向，滑動(dòng)摩擦力的大小和方向
二 理解和掌握的內(nèi)容
1．摩擦力的產(chǎn)生
相互接觸又相互擠壓的物體之間若相對(duì)滑動(dòng)則產(chǎn)生滑動(dòng)摩擦力；若存在相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)則產(chǎn)生靜摩擦力。
注意：（1）無論是滑動(dòng)摩擦力還是靜摩擦力都起著阻礙物體相對(duì)滑動(dòng)的作用，但應(yīng)注意是阻礙相對(duì)滑動(dòng)，并不一定阻礙物體的運(yùn)動(dòng)。無論是滑動(dòng)摩擦力還是靜摩擦力都即可以充當(dāng)動(dòng)力，又可以充當(dāng)阻力（請(qǐng)讀者自己針對(duì)這四種情況各舉一例）；（2）我們通常所說物體運(yùn)動(dòng)與否一般是以地為參照物的，所以不能絕對(duì)的說靜止的物體受到的就是靜摩擦力，運(yùn)動(dòng)的物體受到的就是滑動(dòng)摩擦力；（3）由于靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力規(guī)律不同，分析摩擦力的有無、大小和方向應(yīng)首先明確是靜摩擦力還是滑動(dòng)摩擦力。
2．摩擦力的方向
滑動(dòng)摩擦力的方向一定和相對(duì)滑動(dòng)的方向相反，即A受B的摩擦力和A相對(duì)B滑動(dòng)的方向相反。
靜摩擦力方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反，它的判斷方法有如下幾種：
（1）直接根據(jù)相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)判斷。一般采用“假設(shè)光滑法”，即先假設(shè)接觸面光滑，不存在摩擦力，分析物體將會(huì)發(fā)生怎樣的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，從而判斷相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向。
（2）根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，通過牛頓第二定律分析。關(guān)鍵是先搞清物體的加速度方向，再根據(jù)牛頓第二定律確定合外力，然后做受力分析確定摩擦力方向。如圖1-7滑塊隨水平轉(zhuǎn)臺(tái)一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，需要指向圓心的向心力，受力分析知，這個(gè)力只能由靜摩擦力提供，由此得到靜摩擦力的方向。當(dāng)物體處在平衡態(tài)時(shí)則可根據(jù)力的平衡條判斷。
（3）通過牛頓第三定律判斷。
（4）如果物體處于平衡態(tài)，可以根據(jù)力的平衡（各個(gè)方向的合外力為零）判斷。
3．摩擦力的大小
如果是滑動(dòng)摩擦力，可直接由摩擦力定律計(jì)算，即f=μN(yùn)，注意其中N不一定等于物體的重力。
如是靜摩擦力，則不能用摩擦力定律計(jì)算，而應(yīng)根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，運(yùn)用共點(diǎn)力的平衡條或牛頓第二定律求解。
在彈力相同的情況下，兩個(gè)物體之間的最大靜摩擦力一般大于滑動(dòng)摩擦力，但在有的計(jì)算中往往認(rèn)為近似相等。
【例題精析】
例題1 如圖1-8，物體被皮帶向上傳送,皮帶的速度為V1 =5m/s,物體的速度為V2 =3m/s, 下列有關(guān)物體和皮帶所受摩擦力的說法正確的是
　 A.物體所受摩擦力方向向下
B.物體所受摩擦力方向向上
C.皮帶所受摩擦力方向向下
D.皮帶所受摩擦力方向向上
解析：本題要考查的是對(duì)滑動(dòng)摩擦力方向的認(rèn)識(shí), 因?yàn)榛瑒?dòng)摩擦力的方向是與物體間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反，不一定與物體運(yùn)動(dòng)方向相反，而現(xiàn)在所指的相對(duì)性是針對(duì)某一摩擦力的施力者和受力者而言。在本例中，物體所受摩擦力的施力者是皮帶，雖然物體向上運(yùn)動(dòng)，但這個(gè)向上運(yùn)動(dòng)是相對(duì)地面的，而地面對(duì)物體是沒有摩擦力的，因?yàn)樗鼈冎�間并不接觸。由于物體相對(duì)皮帶是向下運(yùn)動(dòng)的，它受到皮帶的摩擦力當(dāng)然方向是向上的，。確答案是BC。
例題2 下列關(guān)于摩擦力的敘述中，正確的有
A.滑動(dòng)摩擦力的方向總是跟物體運(yùn)動(dòng)方向相反
B.靜摩擦力既能做正功，又能做負(fù)功
C.滑動(dòng)摩擦力只能做運(yùn)動(dòng)物體的阻力
D.物體靜止時(shí)一定受到靜摩擦力作用
解析：本題重在考察對(duì)摩擦力概念的辨析。滑動(dòng)摩擦力的方向與物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反，這里的“相對(duì)”是對(duì)與其相接觸的存在摩擦的物體而言，而物體的運(yùn)動(dòng)在中學(xué)階段一般是指相對(duì)地球的，所以二者的方向不總是相同的。故A錯(cuò)。靜摩擦力與物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反，與物體的運(yùn)動(dòng)方向可能相同，也可能相反，所以可能做正功，也可能做負(fù)功。滑動(dòng)摩擦力的方向可能和物體的運(yùn)動(dòng)方向一致（你能舉例碼？），這時(shí)它是動(dòng)力，注意滑動(dòng)摩擦力是和相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反，跟物體的運(yùn)動(dòng)方向沒有必然聯(lián)系。故C錯(cuò)。靜摩擦力產(chǎn)生在物體有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，雖然這時(shí)的物體處于相對(duì)靜止，但不是等同于靜止（通常說的靜止是以地面為參照物）。故D錯(cuò)。所以正確選B。
【能力提升】
Ⅰ．知識(shí)與技能
１．關(guān)于摩擦力下面說法中正確的是
A.摩擦力的大小隨正壓力的增大而增大
B.兩個(gè)物體之間有彈力不一定有摩擦力，有摩擦力不一定有彈力
C.摩擦力一定與速度方向在同一直線上，或者與速度方向相同，或者與速度方向相反
D.兩個(gè)物體間的正壓力減小時(shí)，靜摩擦力可能反而增大
2．如圖1-9所示，在粗糙的水平面上疊放著物體A和B，A和B間的接觸面也是粗糙的，如果將水平拉力F施于A，而A、B仍保持靜止,，則下面的說法中正確的是
①物體A與地面間的靜摩擦力的大小等于F
②物體A與地面間的靜摩擦力的大小等于零
③物體A與B間的靜摩擦力的大小等于F
④物體A與B間的靜摩擦力的大小等于零
A.①②③B.②④C.①④D.②③④
3．由摩擦力定律可推出 ，下面說法正確的是
A.動(dòng)摩擦因數(shù)μ與摩擦力f成正比，f越大，μ越大
B.動(dòng)摩擦因數(shù)μ與正壓力N成反比，N越大，μ越小
C.μ與f成正比，與N成反比
D.μ的大小由兩物體接觸面的情況及其材料決定
4．置于水平地面上的物體受到水平作用力F而保持靜止，如圖1-10所示。今在大小不變的條下將作用力F沿逆時(shí)針方向緩緩轉(zhuǎn)過180°，則在此過程中物體對(duì)地面的正壓力N和地面給物體的摩擦力f的變化是
A.N先變小后變大，f不變
B.N不變，f先變小后變大
C.N、f都是先變大后變小
D.N、f都是先變小后變大
5．汽車的發(fā)動(dòng)機(jī)通過變速器與后輪相連，當(dāng)汽車由靜止開始向前開動(dòng)時(shí)，前輪和后輪所受的摩擦力的方向
A.前后輪受到的摩擦力方向都向后
B.前后輪受到的摩擦力方向都向前
C.前輪受到摩擦力向前，后輪向后
D.前輪受到摩擦力向后，后輪向前
Ⅱ．能力與素質(zhì)
6．A、B、C為三個(gè)質(zhì)量相同的木塊，疊放于水平桌面上。水平恒力F作用于木塊B，三木塊以共同速度v沿水平桌面做勻速直線運(yùn)動(dòng)，如圖1-11所示，則在運(yùn)動(dòng)過程中
A . B作用于A的靜摩擦力為F/2
B . B作用于A的靜摩擦力為F/3
C . B作用于C的靜摩擦力為 2F/3
D . B作用于C的靜摩擦力為F
7．如圖1-12所示，甲、乙、丙三個(gè)物體，質(zhì)量相同，與地面摩擦因數(shù)相同，受到三個(gè)大小相同的作用力F, 它們受到的摩擦力的大小關(guān)系是
A.三者相同 B.乙最大
C.丙最大 D.已知條不夠，無法判斷誰最大
8．如圖1-13所示, 物體A置于傾角為θ的斜面體 B上, A與B、B與水平地面間接觸面均粗糙。現(xiàn)對(duì)物體A施加一水平向右的恒力F ( F≠0 )后，A、B都保持靜止不動(dòng), 則下面判斷正確的是
A.A、B之間，B與水平地面之間一定存在摩擦力
B.B對(duì)A的摩擦力方向一定沿斜面向下，地面對(duì)B的摩擦力方向一定沿水平向右
C.B對(duì)A的摩擦力方向可能沿斜面向上或沿斜面向下，地面對(duì)B的摩擦力方向可能向左也可能向右
D.B對(duì)A的摩擦力可能為零也可能不為零，方向可能沿斜面向上也可能沿斜面向下；地面對(duì)B的摩擦力一定不為零，且方向只能是水平向左
9．在傾角為30o的斜面上，有一重為10N的物塊，被平行于斜面大小為8N的恒力推著沿斜面勻速上行，如圖1-14所示。在突然撤去力F的瞬間，物塊受到的摩擦力大小為________。
專題三 受力分析
【考點(diǎn)透析】
一 本專題考點(diǎn)：受力分析及其應(yīng)用
二 理解和掌握的內(nèi)容
受力情況決定運(yùn)動(dòng)情況，要研究物體的運(yùn)動(dòng)，必須首先搞清物體的受力情況。正確分析物體的受力情況，是研究力學(xué)問題的關(guān)鍵，是必須掌握的基本功。
1．分析方法：
進(jìn)行受力分析的基本方法是隔離體法，即將所選定的研究對(duì)象（一般是一個(gè)物體，也可以是幾個(gè)物體構(gòu)成的整體）從它所處的環(huán)境中隔離出，然后依次分析環(huán)境中的物體對(duì)所選定的研究對(duì)象施加的力。分析的依據(jù)，一是力的性質(zhì)和各種力的產(chǎn)生條；二是物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即從共點(diǎn)力的平衡條和牛頓第二定律入手分析。下邊是受力分析常用的一些輔助方法。
（1）整體法：即選擇幾個(gè)物體構(gòu)成的整體作為研究對(duì)象，既可用于研究整體的受力，也可作為分析某個(gè)物體受力情況的輔助方法。如（例一）。
（2）假設(shè)法：即在某個(gè)力的有無或方向不容易判斷時(shí)，可先假設(shè)這個(gè)力不存在，看物體的運(yùn)動(dòng)會(huì)受什么樣的影響，從而得出結(jié)論。如分析彈力可用假設(shè)拿開法，分析靜摩擦力可用假設(shè)光滑法等。
（3）利用牛頓第三定律分析。
（4）畫出物體的受力示意圖，這樣會(huì)使問題形象直觀。在不涉及轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí)，一般要將力的作用點(diǎn)平移到物體的重心上，示意圖不但要表示力的方向，還要定性表示力的大小。圖畫的越準(zhǔn)確，越便于分析解決問題。
2．一般步驟：
（1）選定研究對(duì)象；（2）依次分析重力、已知力（外界施加的拉力、推力等）、場(chǎng)力；（3）利用隔離體法依次分析和研究與對(duì)象相接觸的物體對(duì)它是否施加彈力或摩擦力。
之所以這樣安排分析順序，主要考慮到“2”中的力是主動(dòng)力，而彈力和摩擦力是被動(dòng)力。
注意事項(xiàng)：
（1）合力和分力不能重復(fù)的列為物體所受的力。分析物體的受力情況一般只分析實(shí)際力，在分析具體問題列方程時(shí)，合力和分力作為一種等效替代的手段不能重復(fù)考慮。
（2）要把握好研究對(duì)象，不要將研究對(duì)象對(duì)其它物體的力納入,即只研究它的受力情況。
（3）摒棄傳力的概念。如圖1-15甲，我們只能說A由于受到推力F而對(duì)墻產(chǎn)生彈力，而不能說推力F作用在墻上；在1-15乙圖中，由于C的存在使B對(duì)A的壓力大于B的重力，但C對(duì)A并沒施加力。
（4）然后要做一番檢查，看每個(gè)力是否存在施力物體，受力情況是否和物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相矛盾。
【例題精析】
例1 如圖1-16所示，斜面體A靜止在地面上，物塊B靜止在斜面上，A是否受到地面的摩擦力?
解析：B和A的受力情況分別如圖1-17，由B可知，N和f的合力和mBg構(gòu)成平衡力；對(duì)A，N′和f′的合力應(yīng)豎直向下，大小等于mBg，所以A不受地面的摩擦力。
思考拓寬：
解法二，取A、B整體為研究對(duì)象，因?yàn)檎�體在水平方向不受其它力，所以它也不受地面的摩擦力。
若A靜止而B勻速下滑，A是否受到地面的摩擦力?(不受)
若A靜止而B加速下滑，A是否受到地面的摩擦力?(受，方向向左)
例2如圖1-18，輕質(zhì)三腳架固定在小車上，其傾斜的一邊與豎直方向的夾角為θ，質(zhì)量為m的小球固定在桿的一端，當(dāng)小車在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)于桿對(duì)小球的作用力F，下列說法正確的是：
A.小車靜止時(shí)，F(xiàn)豎直向上
B.小車向右加速時(shí)，F(xiàn)可能沿桿的方向
C.小車向左加速時(shí)，F(xiàn)可能沿桿的方向
D.小車向右加速時(shí)，F(xiàn)可能沿水平方向
分析與解：小球受重力和桿對(duì)球的作用力F兩個(gè)力的作用，當(dāng)向右加速時(shí)， 。若 ，則F沿桿的方向，a越大，F(xiàn)與豎直方向的夾角越大，但F不可能水平。答案（AB）。
思考拓寬：線對(duì)物體的作用力一定沿線的方向，且只能是拉力；輕桿既可以對(duì)物體施加沿桿的拉力又可以對(duì)物體施加沿桿的支持力，桿對(duì)物體的力還可以不沿桿。
【能力提升】
Ⅰ．知識(shí)與技能
1．如圖1-19，A、B、C三個(gè)物體疊放在桌面上，在A的上面再加一個(gè)豎直向下的力F，則C物體受到豎直向下的作用力有：
A.1個(gè)力 B.2個(gè)力C.3個(gè)力 D.4個(gè)力
2．如圖1-20所示，用輕細(xì)線把兩個(gè)質(zhì)量未知的小球懸掛起。今對(duì)小球ａ施一左偏下30°的恒力，并同時(shí)對(duì)小球ｂ施一右偏上30°的等大恒力，最后達(dá)到平衡。下列圖中可能表示平衡狀態(tài)的圖是：

3．圖示1-21，ABCD是一個(gè)正方形木箱的截面，輕彈簧P將木塊Q壓在木箱的側(cè)壁上，開始時(shí)整個(gè)裝置均靜止。現(xiàn)讓裝置開始做自由落體運(yùn)動(dòng)，而在運(yùn)動(dòng)過程中木箱底面保持水平，則此過程中木塊的受力情況為
A.受重力、摩擦力、彈簧彈力和側(cè)壁支持力四個(gè)力作用
B.受重力、彈簧彈力和側(cè)壁支持力三個(gè)力作用
C.受彈簧彈力和側(cè)壁支持力兩個(gè)力作用
D.處在完全失重狀態(tài)，不受任何力
4．如圖1-22所示，在粗糙的水平地面上放有一斜劈a，木塊b在沿斜面向上的拉力的F作用下，沿斜面勻速上滑，而a在此過程中保持不動(dòng)，則：
A.地面對(duì)a有向左的摩擦力B.地面對(duì)a有向右的摩擦力
C.地面對(duì)a沒有摩擦力D.以上三種情況都有可能
Ⅱ.能力與素質(zhì)
5．如圖1-23，木塊放在水平桌面上，在水平方向共受三個(gè)力作用，即F 1 、F 2 和摩擦力，木塊處于靜止?fàn)顟B(tài)，其中F 1 =10N，F(xiàn) 2 =2N，若撤去力F 1 ，則木塊受到的摩擦力是：
A . 8N，方向向右 B . 8N，方向向左 C . 2N，方向向右 D . 2N，方向向左
6．如圖1-24所示，兩木塊A、B疊放在斜面上且均保持靜止，則木塊A受　　　　　個(gè)力作用，畫出A的受力示意圖。
7．如圖1-25，各接觸面都是粗糙的，A在拉力F作用下被勻速拉出，在A完全拉出前，B在繩子的束縛下始終靜止，試分析此過程中A、B的受力情況。

8．如圖1－26所示，質(zhì)量為m、橫截面為直角三角形的物塊ABC，∠BAC＝α，AB邊靠在豎直墻上，F(xiàn)是垂直于斜面AC的推力，現(xiàn)物塊靜止不動(dòng)，則摩擦力大小為＿＿＿＿。

專題四 力的合成和分解
【考點(diǎn)透析】
一 本專題考點(diǎn)：矢量,分力和合力，平行四邊形法則
二 理解和掌握的內(nèi)容
1．矢量：有大小有方向，同時(shí)遵從矢量合成法則的物理量。電流既有大小又有方向，但卻是標(biāo)量。
標(biāo)量：只有大小沒有方向的物理量。標(biāo)量運(yùn)算遵從代數(shù)法則。
請(qǐng)讀者考慮，高中物理涉及到的物理量那些是矢量，那些是標(biāo)量？
２．分力和合力：如果一個(gè)力作用在物體上，它產(chǎn)生的效果跟幾個(gè)力共同作用的效果相同，這個(gè)力叫做那幾個(gè)力的合力，而那幾個(gè)力叫做這個(gè)力的分力。
應(yīng)用合力和分力的思想解題，要緊緊依據(jù)等效替換的原則，分力和合力不能同時(shí)考慮。分析物體的受力情況只分析物體實(shí)際受到的力，而不要分析它們的分力和合力。例如，圖1－27示小木塊沿斜面勻速下滑，小木塊受幾個(gè)力呢？它當(dāng)然只受重力、支持力和摩擦力三個(gè)作用。下滑力是重力的分力，不應(yīng)作為物體受到的力。
３．平行四邊形法則
平行四邊形法則是矢量運(yùn)算的普適法則；為方便運(yùn)算，我們通常將解四邊形的問題轉(zhuǎn)化成解三角形。
４．力的合成
已知F1、F2和它們的夾角θ，如圖1-28，則它們的合力
大小: F＝
　 方向: tgα＝
由公式知，當(dāng)θ在00到1800之間變化時(shí)，F(xiàn)隨θ的增大而減小。
5．力的分解
分解原則：（1）力的作用效果分解；（2）方便性原則分解，即滿足解題方便的原則。
在復(fù)習(xí)時(shí)我們應(yīng)當(dāng)特別明確一個(gè)問題, 力的合成和分解是由受力分析到建立力學(xué)方程的過程所采取的一種手段, 是處理復(fù)雜受力情況的一種方法。合成和分解不是機(jī)械的、死板的，在有明確的目的前提下要靈活運(yùn)用。在以后的例題中會(huì)有所說明。
唯一分解條：（1）知兩個(gè)分力的方向；（2）知一個(gè)分力。請(qǐng)讀者考慮，在已知兩個(gè)分力的大小，或已知一個(gè)分力的大小和另一個(gè)分力的方向的條下，將已知力分解，會(huì)有那些可能性。
【例題透析】
例1 三段不可伸長的細(xì)繩OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它們共同懸掛一重物，如圖1-29甲所示。其中OB是水平的，A端、B端固定，若逐漸增加端所掛物體的質(zhì)量，則先斷的繩子是
A.必定是OA B.必定是OB
C.必定是OC D.可能是OB，也可能是OC
解析：結(jié)點(diǎn)O受力如圖1-29乙，其中Tc等于物重，而Ta、Tb的合力F和Tc構(gòu)成平衡力，顯然當(dāng)物重增加時(shí)，在Ta、Tb、Tc中總是Ta最大，故選A。
思考拓寬：若已知OA與豎直方向的夾角為300，OA能承受的最大拉力為 ，BO能承受的最大拉力為60N，而ＣＯ的強(qiáng)度足夠大，則所掛重物的重力最大為多大？（90N）
例題二 如圖1-30，在半徑為Ｒ的光滑半球面上距地面高ｈ處懸掛一定滑輪，重力為G的小球用繞過滑輪的繩子被站在地上的人拉住。人拉住繩子，在與球面相切的某點(diǎn)緩緩運(yùn)動(dòng)到接近頂點(diǎn)的過程中，試分析小球?qū)Π肭虻膲毫�和繩子拉力如何變化。
解析：小球緩慢移動(dòng)，認(rèn)為處在平衡態(tài)，將重力分解，它的兩個(gè)分力分別和N、T構(gòu)成平衡力。由三角形相似： ，顯然mg、h一定，R不變則N不變，而L減小則T減小。
思考拓寬：解此類問題關(guān)鍵是找力的三角形，找到三角形后，若不能利用三角函數(shù)求解，一般可考慮三角形相似。
【能力提升】
Ⅰ．知識(shí)與技能
1．作用在物體上的兩個(gè)共點(diǎn)力分別為5N和4N，則它們的合力不可能為
A.9N 　　　B.5N 　 　　C.2N　　　 D.10N
2．下面是一個(gè)直角支架掛住重物G的三種裝置，其中水平棒AB(可繞B點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng))和繩AC所受重力不計(jì)，三種情況下繩AC與棒的夾角α＞β＞ν，如圖1-31所示，則繩AC上拉力依大小的順序排列是
A.Ta＞Tb＞Tc B.Tc＞Tb＞TaC.Tb＞Tc＞Ta D.Tc＞Ta＞Tb
3．兩個(gè)共點(diǎn)力的合力為F，保持它們的夾角不變，其中一個(gè)分力的大小也不變，而增大另一個(gè)分力，則F
A.一定變大B.可能變大
C.當(dāng)它們的夾角小于900時(shí)，不一定變大
D.當(dāng)它們的夾角大于等于900時(shí)，一定變大
4．用兩根等長的繩子勻速向上提起重為G的鋼板如圖1-32，若繩子能承受的最大拉力也為G，則繩與鋼板之間的夾角α應(yīng)為
　　 A.α≥30° B.α≤30°
C.α≥60° D.α≤60°
Ⅱ．能力與素質(zhì)
5．物體m恰好沿靜止的斜面勻速下滑，現(xiàn)用一個(gè)力F作用在m上，力F過m的重心，且方向豎直向下，如圖1－33所示，則錯(cuò)誤的是：
A.斜面對(duì)物體的壓力增大了B.斜面對(duì)物體的摩擦力增大了
C.物體將不能沿斜面勻速下滑D.物體仍保持勻速下滑
6．如圖1-34所示，F(xiàn)1、F2、F3、F4、F5、F6六個(gè)力共點(diǎn)，它們的大小分別為1N、2N、3N、4N、5N、6N，相鄰兩力的夾角均為60°，則六個(gè)力的合力大小為　　　　N，方向　　　　　　　　。　
7．如圖1-35所示，物體受F1、F2和F3而處于靜止?fàn)顟B(tài)，其中F3＝10N，則F1、F2的大小各為多少？
8．如圖1-36所示，質(zhì)量為m的小球置于固定圓環(huán)的中心O，兩等長細(xì)繩一端拴著一球，另一端分別系在環(huán)上A、B兩點(diǎn)，繩OA與豎直方向夾角為θ，繩OB水平，當(dāng)繩OB的B端沿逆時(shí)針緩緩移動(dòng)到C的過程中，繩OB在何處張力最小，最小值是多少？
專題五 共點(diǎn)力的平衡
【考點(diǎn)透析】
一 本專題考點(diǎn)：共點(diǎn)力共點(diǎn)力的平衡條
二 理解和掌握的內(nèi)容
1．共點(diǎn)力：各力的作用點(diǎn)相同或力的作用線交于一點(diǎn)。在不涉及物體轉(zhuǎn)動(dòng)的問題中，可把非共點(diǎn)力經(jīng)平移轉(zhuǎn)化成共點(diǎn)力。
2．共點(diǎn)力的平衡條
（1）衡狀態(tài)：靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。注意速度為零加速度不為零不是平衡狀態(tài)，例如做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)不是平衡狀態(tài)。
（2）衡條：物體所受合外力為零，即∑F=0。由牛頓第二定律F=ma，當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)=0。我們可把共點(diǎn)力的平衡條理解成牛頓第二定律的一個(gè)推論。
（3）點(diǎn)力平衡條的推論：
幾個(gè)力構(gòu)成平衡力，其中一個(gè)力和其余力的合力構(gòu)成平衡力；
幾個(gè)力構(gòu)成平衡力，其中幾個(gè)力的合力和其余力的合力構(gòu)成平衡力；
三個(gè)非平行力作用下物體處于平衡狀態(tài)，則這三個(gè)力是共點(diǎn)力。
3．求解共點(diǎn)力平衡的問題常用法：
（1）交分解法，此時(shí)平衡條應(yīng)表述為：∑FX=0 ∑FY=0。在建立坐標(biāo)系時(shí)，要考慮盡量減少力的分解。
（2）的三角形法，物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)互不平行的力的作用時(shí)，將這三個(gè)力經(jīng)平移必得到一個(gè)閉合三角形。
（3）體法。
【例題精析】
例1 重力為10N的小球被輕繩a、b懸掛在天花板和墻壁上，其中繩b水平，繩a與豎直方向成30°角，如圖1-37所示。求繩a、b的拉力。
解析：方法一：對(duì)小球進(jìn)行受力分析如圖。小球受三個(gè)力的作用，
根據(jù)平衡條，這三個(gè)力中的任意兩個(gè)力的合力跟第三力必然等大反向。
將Ta 、Tb合成，其合力為F，如圖1-38，根據(jù)平衡條F=G=10N
在直角三角形中，


這種先把某些力合成再建立力學(xué)方程的方法稱為合成法，在物體受力不多，比如三個(gè)力時(shí)采用此種方法比較方便。.這種方法不但在平衡問題中經(jīng)常可以采用，在動(dòng)力學(xué)問題中也經(jīng)常可以用到。
方法二：對(duì)小球進(jìn)行受力分析并建立平面直角坐標(biāo)系，將不在坐標(biāo)軸上的力向坐標(biāo)軸上進(jìn)行正交分解，如圖1-39。
根據(jù)平衡條 ΣFx =0 ΣFy =0
有 Ta sin30°－Tb = 0 ………… ①
Ta cos30°－G = 0 ………… ②
由②解得
代入①解得
這種方法稱為正交分解法，它是解決力學(xué)問題的重要方法，特別適合在物體受力比較復(fù)雜的情況下。
從以上兩種方法中可以看到，解決力學(xué)問題，首先要在明確了研究對(duì)象的前提下，對(duì)研究對(duì)象做出準(zhǔn)確、清晰的受力分析，而力的合成和分解是建立力學(xué)方程的重要手段和步驟。
例2 如圖1-40所示，質(zhì)量為ｍ的物體放在傾角為θ的斜面上，在水平恒定的推力F的作用下，物體沿斜面勻速向上運(yùn)動(dòng)，則物體與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為　　　　　。
解析：分析物體受力情況，建立直角坐標(biāo)系如圖1-41。根據(jù)共點(diǎn)力平衡條：
在X軸方向　 ①
在Y軸方向 ②
又　　　　　 ③
由以上三式，　
思考拓寬：我們實(shí)際沿斜面方向建立X軸，解題時(shí)，也可取F的方向?yàn)閄軸，這樣需分解兩個(gè)力。若在其它方向建立坐標(biāo)，則四個(gè)力都要分解，造成運(yùn)算麻煩。因此，在建立坐標(biāo)系時(shí)，要盡量讓更多的力落在坐標(biāo)軸上。
例3 有一直角架AOB，AO水平放置，表面粗糙。OB豎直向下，表面光滑。AO上套有一個(gè)小環(huán)P，OB上套有一個(gè)小環(huán)Q，兩環(huán)質(zhì)量均為m，兩環(huán)間由一根質(zhì)量可忽略、不可伸長的細(xì)繩相連，并在某一位置平衡（如圖1-42）。現(xiàn)將P環(huán)向左移一小段距離，兩環(huán)再次達(dá)到平衡，移動(dòng)后和移動(dòng)前比較，AO桿對(duì)P環(huán)的支持力N　　　　；細(xì)繩的拉力T 　　 。（以上兩空填“變大”、“變小”、“不變”）
解析：分析P、Q的受力情況如圖1-43，取Q為研究對(duì)象，P左移時(shí)，繩與豎直方向夾角變大，拉力變大；取整體為研究對(duì)象，N2=2mg，AO對(duì)P的支持力不變。
思考與拓寬：求解N2，可取P為研究對(duì)象，利用正交分解法，同樣可得正確結(jié)果，但不如整體法得直接。運(yùn)用整體法，可避免分析求解物體間的相互作用力，應(yīng)為解題首選。
【能力提升】
Ⅰ．知識(shí)與技能
1．將某種材料的長方體鋸成A、B兩塊放在水平桌面上，并緊靠在一起，如圖1-44所示，物體A的角度如圖中所示。現(xiàn)用水平方向的力F推物體，使A、B保持矩形整體沿力F方向勻速運(yùn)動(dòng)，則
A.物體A在水平方向受兩個(gè)力作用，合力為零
B.作用于A的摩擦力不止一個(gè)
C.物體B對(duì)A的壓力大小等于桌面對(duì)A的摩擦力大小
D.物體B在水平方向受五個(gè)力作用
2．如圖1-45所示，用繩子牽引小船使之勻速向岸運(yùn)動(dòng)，設(shè)水的阻力不變，在小船靠岸前
A.繩子的拉力不斷增大　B.繩子的拉力不變
C.船所受浮力不變　　　D.船所受浮力增大
3．如圖1-46，物體A恰能在斜面上保持靜止
A.如在A上輕放一物體，A將勻速下滑
B.如在A上輕放一物體，A將加速下滑
C.若在A的上表面加一豎直向下壓力，A仍靜止
D.若在A的上表面加一豎直向下壓力，A將勻速下滑
4．如圖1-47所示，AB為可繞B轉(zhuǎn)動(dòng)的擋板，G為圓柱體。夾于斜面與擋板之間。若不計(jì)一切摩擦，使夾角β由開始時(shí)較小逐漸增大到90°的過程中，擋板AB受到的壓力
A.不斷增大　　　　　B.不斷減小
C.先增大后減小　　　D.先減小后增大
Ⅱ．能力與素質(zhì)
5．如圖1-48所示，A、B兩物體的重力分別為3N、4N，A用繩懸掛在天花板上，B放在水平地面上， A、B間的輕彈簧的彈力為2N。則繩的拉力的可能值為 ____ 。B對(duì)地面的壓力的可能值為 。
6．如圖1-49所示，人重600N，平板重400N，如果人要拉住木板，它應(yīng)施加的拉力為　　　　N。若人重不變，平板重力超過　　　　N時(shí)，人無論如何也拉不住木板。
7．如圖1-50所示，一個(gè)體積為V=1m3，質(zhì)量m=0.29kg的氫氣球，用一根長度等于氣球半徑的細(xì)繩系住，繩的另一端固定在光滑豎直墻上，試求氣球平衡時(shí)，墻受到的壓力和繩中的張力。已知空氣密度ρ=1.29kg/m3
8．如圖1-51所示，水平放置的兩固定光滑硬桿OA、OB成θ角，在兩桿上分別套有輕環(huán)P、Q，并用輕繩連接兩環(huán)。現(xiàn)用恒力F沿OB方向拉環(huán)Q，當(dāng)兩環(huán)達(dá)到平衡時(shí)繩子的張力多大？
效果驗(yàn)收
一、選擇題
1．如圖1-52所示，A、B、C的質(zhì)量分別為mA、mB、mC，整個(gè)系統(tǒng)相對(duì)于地處于靜止?fàn)顟B(tài)，則B對(duì)C和地面對(duì)C的摩擦力的大小分別為
A．mAg，mBgB．mBg，mAg
C．mAg，0D．mBg，0
2．如圖1-53所示，放置在水平地面上的物塊受到力F的作用保持靜止。現(xiàn)在使力F增大，物塊仍然靜止。
A 物塊受到的摩擦力一定減小B 物塊受到的摩擦力一定不變
C 物塊對(duì)地面的壓力一定減小D 物塊受到的合力一定增加
3．三個(gè)在同一平面上的力，作用在一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，三個(gè)力的方向在平面內(nèi)任意調(diào)節(jié)，欲使質(zhì)點(diǎn)所受合力大小能在0.14N到17.5N的范圍內(nèi)，這三力的大小可以是
①4N，6N，8N②2.5N,10N,15N③0.14N,9N,17.5N④30N,40N,60N
A．①③B．②④C．①④D．①③④
4．如圖1-54所示，物體重100N，放在水平地面上，物體右端與一輕彈簧連接，物體與地面的最大靜摩擦力為40N。用一水平向左的30N的力作用在物體左端，物體仍靜止，則物體所受彈簧的彈力不可能的是：
A.20N B.40N
C.60N D.80N
5．有兩個(gè)互成角度的共點(diǎn)力，夾角為θ，它們的合力的大小隨θ的變化關(guān)系如圖1-55所示。那么，這兩個(gè)力的大小分別是
A. 3N、4N B.2N、5N
C. 1N、6N　　 D.3.5N、3.5N
6．如圖1-56所示，一根輕繩跨過定滑輪后系在大重球上，球的大小不能忽略。在輕繩的另一端加一豎直向下的力F，使球沿斜面由底端緩慢拉上頂端，各處的摩擦不計(jì)，在這個(gè)過程中拉力F
A．保持不變B．逐漸增大
C．先增大后減少D．先減少后增大
7．如圖1-57所示，在粗糙水平面上有一個(gè)三角形木塊abc，在它的兩個(gè)粗糙斜面上分別放有質(zhì)量為m1和m2的木塊。當(dāng)兩木塊沿三角形木塊勻速下滑時(shí)，粗糙水平面對(duì)三角形木塊
A.有摩擦力作用
B.沒有摩擦力作用
C.由于m1 、θ1、m2、θ2均未知，故無法確定是否存在摩擦力
D.勻速下滑比靜止時(shí)的支持力要小
8．有一直角V形槽，固定放在水平面上，槽的兩側(cè)壁與水平面夾角均為45°，如圖1-58所示，有一質(zhì)量為m的正方體均勻木塊放在槽內(nèi)，木塊與槽兩側(cè)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為 和 （ > ）。現(xiàn)用水平力推木塊使之沿槽運(yùn)動(dòng)，則木塊受到的摩擦力為
A． B．
C． D．
二、填空題
9．如圖1-59所示，表面光滑、重力不計(jì)的尖劈插在縫AB間，在尖劈背上加一壓力F，則尖劈對(duì)A側(cè)的壓力為 ，對(duì)B側(cè)的壓力為 ，已知尖劈的夾角為 。
10．在驗(yàn)證“互成角度的兩個(gè)力的合成”的實(shí)驗(yàn)中，某小組得出如圖1-60所示的圖（F與A、O共線），其中A為固定橡皮條的圖釘，O為橡皮條與細(xì)繩套的結(jié)點(diǎn)，（1）圖中_____是F1與F2合成的理論值；_____是F1與F2合力的實(shí)際值.（2）驗(yàn)證力的合成與分解遵循平行四邊形定則，最終表現(xiàn)為驗(yàn)證________。
11．用精密儀器測(cè)量一物體的長度，得其長度為1.63812cm，如果用最小刻度為mm的米尺測(cè)量，則其長度讀數(shù)應(yīng)為___________cm，如果用50分度的卡尺測(cè)量，則其長度應(yīng)讀為___________cm，如果用千分尺測(cè)量，則其長度應(yīng)讀為_________cm。
三、計(jì)算題
12．一質(zhì)量為m的物體，在傾角為θ的斜面體上恰好能沿斜面勻速下滑，這時(shí)斜面體在水平地面上靜止不動(dòng)，現(xiàn)用力沿斜面向上的方向拉該物體，使它沿斜面勻速上升，斜面體仍靜止不動(dòng)。求此時(shí)地面對(duì)斜面體的靜摩擦力多大？
13．如圖1-61所示，一個(gè)圓球半徑為R，重量為G，其重心不在球心O上，現(xiàn)把它放在槽、N上，平衡時(shí)重心在球心的正上方R/3處，支點(diǎn)、N在同一水平面，相距也為R。摩擦力不計(jì)。則平衡時(shí)支點(diǎn)對(duì)圓球的支持力的大小為多少？
14．如圖1-62所示，兩木塊的質(zhì)量分別為m1和m2，兩輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，上面的木塊壓在上面的彈簧上（但不拴接），整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。現(xiàn)緩慢向上提上面的木塊，直到它剛離開上面的彈簧，在這過程中下面木塊移動(dòng)的距離為多少，上面木塊移動(dòng)的距離為多少。

第一 力 物體的平衡參考答案
專題一 1.D 2.A 3.C 4.C 5.C 6.B 7.D 8.D 9.10cm；2×103
專題二 1.D 2.C 3.D 4.D 5.D 6.D 7.D 8.D 9.3N
專題三 1.B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.5；圖略 7.略 8.
專題四 1.D 2.B 3.B 4.A 5.C 6.6；與F5同向 7.5.18；7.32 8.繩OB與水平方向夾角為θ處，張力最小；
專題五 1.B 2.A 3.C 4.B 5.1N或5N；6N或2N 6.250；1800 7. ； 8.
效果驗(yàn)收： 1.C 2.C 3.C 4.D 5.A 6.B 7.B 8.A 9. ； 10.F′；F ；F與F′大小相等方向一致 11.1.64；1.638；1.6381 12. 13.
14.

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