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第2節(jié) 勻變速直線運動規(guī)律
【考綱知識梳理】
一、勻變速直線運動
1.定義:在變速直線運動中,如果在相等的時間內(nèi)速度的改變量相等,這種運動就叫做勻變速直線運動.勻變速直線運動是加速度不變的直線運動.
2.分類
①勻加速直線運動:速度隨時間均勻增加的勻變速直線運動.
②勻減速直線運動:速度隨時間均勻減小的勻變速直線運動.
二、勻變速直線運動的基本規(guī)律
1、兩個基本公式：位移公式： 速度公式：
2、兩個推論：勻變速度運動的判別式：
速度與位移關(guān)系式：
3、兩個特性
可以證明，無論勻加速還是勻減速，都有
4、做勻變速直線運動的物體，如果初速度為零，或者末速度為零，那么公式都可簡化為：
， ， ，
以上各式都是單項式，因此可以方便地找到各
物理量間的比例關(guān)系
5、兩組比例式：對于初速度為零的勻加速直線運動：
（1）按照連續(xù)相等時間間隔分有
1s末、2s末、3s末……即時速度之比為：
前1s、前2s、前3s……內(nèi)的位移之比為
第1s、第2s、第3s……內(nèi)的位移之比為
（2）按照連續(xù)相等的位移分有
1X末、2X末、3X末……速度之比為：
前1m、前2m、前3m……所用的時間之比為
第1m、第2m、第3m……所用的時間之比為
三、自由落體運動和豎直上拋運動
1、自由落體運動：
（1）定義：自由落體運動：物體只在重力作用下，從靜止開始下落的運動，叫做自由落體運動。
（2）性質(zhì)：它是v0=0，a=g的勻加速直線運動。
（3）規(guī)律：基本規(guī)律：
初速度為0的勻加速直線運動的一切規(guī)律對于自由落體運動都適用。
2、豎直上拋運動
（1）定義：有一個豎直向上的初速度υ0；運動過程中只受重力作用，加速度為豎直向下的重力加速度g。
（2）性質(zhì)：是堅直向上的，加速度為重力加速度g的勻減速直線運動。
（3）豎直上拋運動的規(guī)律：豎直上拋運動是加速度恒定的勻變速直線運動，若以拋出點為坐標原點，豎直向上為坐標軸正方向建立坐標系，其位移與速度公式分別為
（4）最大高度 、上升時間
【要點名師透析】
一、對勻變速直線運動公式的理解和應(yīng)用
1.正、負號的規(guī)定
直線運動可以用正、負號表示矢量的方向，一般情況下，我們規(guī)定初速度的方向為正方向，與初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取負值，當v0=0時，一般以a的方向為正方向.
2.物體先做勻減速直線運動，速度減為零后又反向做勻加速直線運動，全程加速度不變，對這種情況可以將全程看做勻變速直線運動，應(yīng)用基本公式求解.
注意： (1)將勻變速運動規(guī)律與實際生活相聯(lián)系時要從情境中抽象出應(yīng)選用的物理規(guī)律.
(2)注意聯(lián)系實際,切忌硬套公式,例如剎車和沿斜面上滑兩類減速問題，應(yīng)首先判斷剎車時間，判斷物體能否返回和上滑時間等.
【例1】在學(xué)習(xí)了伽利略對自由落體運動的研究后，甲同學(xué)給乙同學(xué)出了這樣一道題：一個物體從塔頂落下(不考慮空氣阻力)，物體到達地面前最后一秒內(nèi)通過的位移為整個位移的9/25，求塔高H(取g=10 m/s2).
乙同學(xué)的解法：根據(jù) 得物體在最后1 s內(nèi)的位移 再根據(jù) 得H=13.9 m，乙同學(xué)的解法是否正確？如果正確說明理由，如果不正確請給出正確解析過程和答案.
【答案】見詳解
【詳解】乙同學(xué)的解法不正確.根據(jù)題意畫出運動過程示意圖，設(shè)物體從塔頂落到地面所經(jīng)歷時間為t，通過位移為H，物體在(t-1)秒內(nèi)的位移為h.據(jù)自由落體運動規(guī)律，有 (3分)
(3分)
由題意得 (3分)
聯(lián)立以上各式解得H=125 m (3分)
規(guī)律：對物理過程分析思路
解決物理問題時不注重物理情景的分析，常會造成亂套公式的現(xiàn)象，因此要培養(yǎng)正確的物理過程的分析習(xí)慣，做好以下幾個方面的思維訓(xùn)練：
(1)要養(yǎng)成根據(jù)題意畫出物體運動示意圖的習(xí)慣.特別對較復(fù)雜的運動，畫出運動示意圖可使運動過程直觀、物理情景清晰，便于分析研究.
(2)要分析研究對象的運動過程，搞清楚整個運動過程按運動性質(zhì)可分為哪幾個階段，各個階段遵循什么規(guī)律，各個階段間存在什么聯(lián)系.
(3)根據(jù)各階段的運動性質(zhì)列相應(yīng)方程進行求解.
二、解決勻變速直線運動的常用方法
運動學(xué)問題的求解一般有多種方法，除了直接套用基本公式求解外，還有其他一些方法，具體如下：
【例2】(2011年蕪湖市模擬)一個勻加速直線運動的物體，在前4 s內(nèi)經(jīng)過的位移為24 m，在第二個4 s內(nèi)經(jīng)過的位移是60 m．求這個物體的加速度和初速度各是多少？
【答案】2.25 m/s2　1.5 m/s
【詳解】由公式Δx＝aT2，得a＝ΔxT2＝60－2442 m/s2＝2.25 m/s2.
根據(jù)v＝vt2得24＋608 m/s＝v0＋4a，
所以v0＝1.5 m/s.
三、豎直上拋運動的理解
1、
對公式 的理解
當 時， ，表示物體正在向下運動。
當 時， ，表示物體正在最高點。
當 時， ，表示物體正在向上運動。
對公式 的理解
當 時， ，表示物體在拋出點下方。
當 時， ，表示物體回到拋出點。
當 時， ，表示物體在拋出點上方。
2、豎直上拋運動的特征：豎直上拋運動可分為“上升階段”和“下落階段”。前一階段是勻減速直線運動，后一階段則是初速度為零的勻加速直線運動（自由落體運動），具備的特征主要有：
（1）時間對稱――“上升階段”和“下落階段”通過同一段大小相等，方向相反的位移所經(jīng)歷的時間相等
（2）速率對稱――“上升階段”和“下落階段”通過同一位置時的速率大小相等
（3）能量對稱――“上升階段”和“下落階段”通過同一位置時重力勢能大小變化相等
3、豎直上拋的處理方法：
（1）對于運動過程可以分段來研究
（2）也可以把把整個過程看成一個勻減速運動來處理。這樣比較方便，即全程做初速度為 加速度為 的勻變速直線運動。注意有關(guān)物理量的矢量性，習(xí)慣取 的方向為正。
【例3】將一小物體以初速度v0豎直上拋，由于受到空氣阻力使物體上升的加速度大于下落的加速度，則小物體到達最高點的最后一秒和離開最高點的第一秒時間內(nèi)通過的路程x1和x2，速度的變化量Δv1和Δv2的大小關(guān)系為( )
A.x1>x2 B.x1C.Δv1>Δv2 D.Δv1<Δv2
【答案】選A、C.
【詳解】由于上升的加速度a1大于下落的加速度a2，根據(jù)逆向轉(zhuǎn)換的方法，上升的最后一秒可以看成以加速度a1從零下降的第一秒，故有：Δv1＝a1t， 而以加速度a2下降的第一秒內(nèi)有：Δv2＝a2t， 因a1>a2，所以x1>x2，Δv1>Δv2，即A、C正確.
【感悟高考真題】
1.（2011.安徽高考?T16）一物體做勻加速直線運動，通過一段位移 所用的時間為 ，緊接著通過下一段位移 所用時間為 。則物體運動的加速度為
A. B. C. D.
【答案】選A。
【詳解】第一個 內(nèi)平均速度 ，第二個 內(nèi)的平均速度 ，則物體的加速度 ，故A正確
解答本題時應(yīng)明確以下兩點
某段位移內(nèi)的平均速度等于其中間時刻的速度
利用 進行分析求解
2.（2011?天津理綜?T3）質(zhì)點做直線運動的位移 與時間 的關(guān)系為 （各物理量均采用國際單位制單位），則該質(zhì)點（ ）
A. 第1s內(nèi)的位移是5m B. 前2s內(nèi)的平均速度是6m/s
C. 任意相鄰的1s 內(nèi)位移差都是1m D. 任意1s內(nèi)的速度增量都是2m/s
【答案】選D．
【詳解】根據(jù)質(zhì)點直線運動的位移與時間的關(guān)系式 可知，質(zhì)點做勻加速直線運動，初速度為5m/s，加速度為 ，在第1s內(nèi)的位移是x=6m，選項A錯誤，前2s內(nèi)的平均速度為 ，選項B錯誤，因為是勻變速直線運動，應(yīng)該滿足公式 ，任意相鄰的1s內(nèi)的位移差都是2m，選項C錯誤，任意1s內(nèi)的速度增量實質(zhì)就是指加速度大小，選項D正確。
解答本題時可按以下思路分析：根據(jù)位移與時間的關(guān)系式分析出運動物體的初速度和加速度，代入時間求出位移，平均速度等物理量。
3.（2011?重慶理綜T14）某人估測一豎直枯井深度，從井口靜止釋放一石頭并開始計時，經(jīng)2s聽到石頭落地聲，由此可知井深約為（不計聲音傳播時間，重力加速度g取10m/s2）
A.10m B. 20m C. 30m D. 40m
【答案】選B.
【詳解】 ，由此可知井深約為20m
解答本題時可按以下思路分析：從井口靜止釋放到聽到石頭落地的時間就是石頭做自由落體運動的時間。
4.（2010?新課標全國卷）短跑名將博爾特在北京奧運會上創(chuàng)造了100m和200m短跑項目的新世界紀錄，他的成績分別是9.69s和l9.30s。假定他在100m比賽時從發(fā)令到起跑的反應(yīng)時間是0.15s，起跑后做勻加速運動，達到最大速率后做勻速運動。200m比賽時，反應(yīng)時間及起跑后加速階段的加速度和加速時間與l00m比賽時相同，但由于彎道和體力等因素的影響，以后的平均速率只有跑l00m時最大速率的96％。求：
（1）加速所用時間和達到的最大速率；
（2）起跑后做勻加速運動的加速度。（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
【答案】（1） （2）
【詳解】（1）設(shè)加速所用時間t和勻速運動達到的最大速率v，則有
①
②
由①②式聯(lián)立解得： ③
④
（2）設(shè)起跑后做勻加速運動的加速度大小為a，則
⑤
解得： ⑥
5.（09?江蘇物理?7）如圖所示，以 勻速行駛的汽車即將通過路口，綠燈還有2 s將熄滅，此時汽車距離停車線18m。該車加速時最大加速度大小為 ，減速時最大加速度大小為 。此路段允許行駛的最大速度為 ，下列說法中正確的有 （ AC ）
A．如果立即做勻加速運動，在綠燈熄滅前汽車可能通過停車線
B．如果立即做勻加速運動，在綠燈熄滅前通過停車線汽車一定超速
C．如果立即做勻減速運動，在綠燈熄滅前汽車一定不能通過停車線
D．如果距停車線 處減速，汽車能停在停車線處
解析：熟練應(yīng)用勻變速直線運動的公式，是處理問題的關(guān)鍵，對汽車運動的問題一定要注意所求解的問題是否與實際情況相符。如果立即做勻加速直線運動，t1=2s內(nèi)的位移 =20m>18m，此時汽車的速度為 12m/s<12.5m/s，汽車沒有超速，A項正確；如果立即做勻減速運動，速度減為零需要時間 s，此過程通過的位移為 6.4m，C項正確、D項錯誤。
6. （09?江蘇?13）（15分）航模興趣小組設(shè)計出一架遙控飛行器，其質(zhì)量m =2?，動力系統(tǒng)提供的恒定升力F =28 N。試飛時，飛行器從地面由靜止開始豎直上升。設(shè)飛行器飛行時所受的阻力大小不變，g取10m/s2。
（1）第一次試飛，飛行器飛行t1 = 8 s 時到達高度H = 64 m。求飛行器所阻力f的大小；
（2）第二次試飛，飛行器飛行t2 = 6 s 時遙控器出現(xiàn)故障，飛行器立即失去升力。求飛行器能達到的最大高度h；（3）為了使飛行器不致墜落到地面，求飛行器從開始下落到恢復(fù)升力的最長時間t3 。
解析：（1）第一次飛行中，設(shè)加速度為
勻加速運動
由牛頓第二定律
解得
（2）第二次飛行中，設(shè)失去升力時的速度為 ，上升的高度為
勻加速運動
設(shè)失去升力后的速度為 ，上升的高度為
由牛頓第二定律
解得
（3）設(shè)失去升力下降階段加速度為 ；恢復(fù)升力后加速度為 ，恢復(fù)升力時速度為
由牛頓第二定律
F+f-mg=ma4
且
V3=a3t3
解得t3= (s)(或2.1s)
7.（09?海南物理?15）（9分）一卡車拖掛一相同質(zhì)量的車廂，在水平直道上以 的速度勻速行駛，其所受阻力可視為與車重成正比，與速度無關(guān)。某時刻，車廂脫落，并以大小為 的加速度減速滑行。在車廂脫落 后，司機才發(fā)覺并緊急剎車，剎車時阻力為正常行駛時的3倍。假設(shè)剎車前牽引力不變，求卡車和車廂都停下后兩者之間的距離。
解析：設(shè)卡車的質(zhì)量為M，車所受阻力與車重之比為 ；剎車前卡車牽引力的大小為 ，
卡車剎車前后加速度的大小分別為 和 。重力加速度大小為g。由牛頓第二定律有
設(shè)車廂脫落后， 內(nèi)卡車行駛的路程為 ，末速度為 ，根據(jù)運動學(xué)公式有
⑤
⑥
⑦
式中， 是卡車在剎車后減速行駛的路程。設(shè)車廂脫落后滑行的路程為 ，有
⑧
卡車和車廂都停下來后相距
⑨
由①至⑨式得
○10
帶入題給數(shù)據(jù)得
○11
評分參考：本題9分。①至⑧式各1分，○11式1分
【考點模擬演練】
1.下列關(guān)于勻變速運動的說法正確的是（）
A.勻變速運動就是指勻變速直線運動
B.勻變速運動的軌跡一定不是曲線
C.勻變速運動的軌跡可能是曲線
D.勻變速運動是指加速度不變的運動,軌跡可能是直線
【答案】CD
【詳解】勻變速運動就是加速度不變的運動,包括加速度的大小和方向都不變.如果加速度和初速度的方向有夾角,物體的運動軌跡為曲線,如平拋運動;如果加速度和初速度的方向在同一直線上,物體的運動軌跡為直線.
2.汽車進行剎車試驗，若速度從8m/s勻減速到零所用的時間為1s，按規(guī)定速率為8m/s的汽車剎車后位移不得超過5.9m，那么上述剎車試驗是否符合規(guī)定()
A.位移為8m，符合規(guī)定
B.位移為8m，不符合規(guī)定
C.位移為4m，符合規(guī)定
D.位移為4m，不符合規(guī)定
【答案】C
【詳解】由公式x= t得x=4m<5.9m，所以該剎車試驗符合規(guī)定，選項C正確.
3.(2011?聊城模擬)物體沿一直線運動，在t時間內(nèi)通過的位移是x，它在中間位置處的速度為v1，在中間時刻的速度為v2，則v1和v2的關(guān)系為( )
A.當物體做勻加速直線運動時，v1>v2
B.當物體做勻減速直線運動時，v1>v2
C.當物體做勻速直線運動時，v1=v2
D.當物體做勻減速直線運動時，v1【答案】選A、B、C.
【詳解】如圖所示，
物體由A沿直線運動到B，C點為AB的中點，速度為v1，若物體做勻加速直線運動，A到B的中間時刻應(yīng)在C點左側(cè)，有v1>v2，若物體做勻減速直線運動，A到B的中間時刻應(yīng)在C點右側(cè)，仍有v1>v2，故A、B正確，D錯誤；若物體做勻速直線運動，中間時刻的位置恰在中點C處，有v1=v2,
C正確.
4. (2011?長治模擬)一個從靜止開始做勻加速直線運動的物體，從開始運動起，連續(xù)通過三段位移的時間分別是1 s、2 s、3 s，這三段位移的長度之比和這三段位移上的平均速度之比分別是( )
A.1∶22∶32，1∶2∶3
B.1∶23∶33，1∶22∶32
C.1∶2∶3，1∶1∶1
D.1∶3∶5，1∶2∶3
【答案】選B.
【詳解】物體從靜止開始做勻加速直線運動，相等時間位移的比是1∶3∶5∶…∶(2n-1),2 s通過的位移可看成第2 s與第3 s的位移之和，3 s通過的位移可看成第4 s、第5 s與第6 s的位移之和，因此這三段位移的長度之比為1∶8∶27，這三段位移上的平均速度之比為1∶4∶9，故選B.
5. 1971年7月26號發(fā)射的阿波羅―15號飛船首次把一輛月球車送上月球，美國宇航員科特駕駛月球車行駛28千米，并做了一個落體實驗：在月球上的同一高度同時釋放羽毛和鐵錘，如圖所示，出現(xiàn)的現(xiàn)象是( )
A.羽毛先落地，鐵錘后落地
B.鐵錘先落地，羽毛后落地
C.鐵錘和羽毛都做自由落體運動，重力加速度為9.8 m/s2
D.鐵錘和羽毛都做自由落體運動，同時落地
【答案】選D.
【詳解】由題圖可知鐵錘和羽毛同時落地，在月球上兩物體只受到由于月球的吸引而產(chǎn)生的重力，因此重力加速度不等于9.8 m/s2，故選D.
6.(2011?福州模擬)一輛公共汽車進站后開始剎車，做勻減速直線運動.開始剎車后的第1 s內(nèi)和第2 s內(nèi)位移大小依次為9 m和7 m.則剎車后6 s內(nèi)的位移是( )
A.20 m B.24 m C.25 m D.75 m
【答案】選C.
【詳解】由Δs＝aT2得a＝2 m/s2，由 得v0＝10 m/s，汽車剎車時間 故剎車后6 s內(nèi)的位移為 C對.
7.一個小球從斜面上的A點由靜止開始做勻加速直線運動，經(jīng)過3s后到斜面底端B點，并開始在水平地面做勻減速直線運動，又經(jīng)過9s停止于C點，如圖所示，設(shè)小球經(jīng)過B點時速度大小不變，則小球在斜面上運動的距離與水平面上的運動的距離之比是()
A.1：1
B.1：2
C.1：3
D.3：1
【答案】C
【詳解】由題意知，小球在AB段的平均速度大小和在BC段上的平均速度大小相等，設(shè)為 ，則AB段上距離s1= t1=3 ，BC段上距離s2= t2=9 ,所以s1：s2=3 ?9 =1：3，故選C.本題巧用平均速度求解使問題簡化.
8. 中國北方航空公司某架客機安全準時降落在規(guī)定跑道上，假設(shè)該客機停止運動之前在跑道上一直做勻減速直線運動，客機在跑道上滑行距離為s，從降落到停下所需時間為t，由此可知客機降落時的速度為
D.條件不足，無法確定
【答案】B
【詳解】勻減速直線運動的平均速度等于這段時間中間時刻的瞬時速度，因此有 ，B正確，考查勻變速直線運動的規(guī)律，由平均速度求解最簡便.
9.我國是一個能源消耗的大國，節(jié)約能源刻不容緩．設(shè)有一架直升機以加速度a從地面由靜止開始豎直向上起飛，已知飛機在上升過程中每秒鐘的耗油量V0＝pa＋q(p、q均為常數(shù))．若直升機欲上升到某一定高度處，且耗油量最小，則其加速度大小應(yīng)為
(　　)
A．p/q B．q/p
C.p＋qp D.p＋qq
【答案】B
【詳解】直升飛機以恒定加速度上升到某一高度，所用時間和加速度的表達式為h＝12at2，t＝2ha，總耗油量V＝V0t＝p2ha＋q2ha＝q2hpqa＋1a，當pqa＝1a時總耗油量最小，此時a＝qp，B正確．
10. 滴水法測重力加速度的過程是這樣的：讓水龍頭的水一滴一滴地滴在正下方的盤子里，調(diào)節(jié)水龍頭，讓前一滴水滴到盤子而聽到聲音時后一滴水恰好離開水龍頭，測出n次聽到水擊盤聲的總時間為t，用刻度尺量出水龍頭到盤子的高度差為h，即可算出重力加速度．設(shè)人耳區(qū)別兩個聲音的時間間隔為0.1 s，聲速度為340 m/s，則
(　　)
A．水龍頭距人耳的距離34 m
B．水龍頭距盤子的距離為34 m
C．重力加速度的計算式為2hn2t2
D．重力加速度的計算式為2h?n－1?2t2
【答案】D
【詳解】設(shè)聽到兩次聲音的時間間隔為Δt，此即每滴水下落的運動時間Δt＝tn－1，又因為h＝12gΔt2，則g＝2hΔt2＝2h?n－1?2t2.注意，人耳距水龍頭及水龍頭距盤子的距離對測量都沒有影響，故選項D正確．
11. (2011?德州模擬)在豎直的井底，將一物塊以11 m/s的速度豎直地向上拋出，物塊沖過井口時被人接住，在被人接住前1 s內(nèi)物塊的位移是4 m，位移方向向上，不計空氣阻力，g取10 m/s2，求：
(1)物塊從拋出到被人接住所經(jīng)歷的時間；
(2)此豎直井的深度.
【答案】 (1)1.2 s (2)6 m
【詳解】(1)設(shè)被人接住前1 s時刻物塊的速度為v，則有：
即 解得v=9 m/s.
則物塊從拋出到被人接住所用總時間為
(2)豎直井的深度為
12. 在北京奧運會上，一跳水運動員從離水面10 m高的平臺上向上躍起，舉雙臂直體離開臺面，此時重心位于從手到腳全長的中點，躍起后重心升高0.45 m達到最高點，落水時身體豎直，手先入水，從離開平臺到手接觸水面，運動員可以用于完成動作的時間為多長？在此過程中，運動員水平方向的運動忽略不計，運動員可視作全部質(zhì)量集中在重心的一個質(zhì)點，取g＝10 m/s2.
【答案】1.7 s
【詳解】如圖9所示，從平臺躍起，到手接觸水面，運動員重心的高度變化為h＝10 m
解法1：將整個過程分上升和下降兩個階段考慮，設(shè)運動員躍起的初速度為v0，則v202g＝H
v0＝2gH＝2×10×0.45 m/s＝3 m/s
故上升時間為：t1＝v0g＝0.3 s
設(shè)運動員從最高點到手接觸水面所用時間為t2，則：
12gt22＝h＋H
t2＝2?H＋h?g＝2?10＋0.45?10 s＝1.4 s
故用于完成動作的時間t為t＝t1＋t2＝1.7 s
綜上所述，本題正確的答案為1.7 s
解法2：運動員的整個運動過程為豎直上拋運動，設(shè)總時間為t，由于運動員入水時位于躍起位置下方10 m處，故該過程中位移為x＝－h(huán)，即：
x＝v0t－12gt2＝－h(huán)
其中v0＝3 m/s
代入數(shù)據(jù)得：5t2－t－10＝0


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