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內蒙古包頭市2013年中考數學試卷

一、（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分。每小題只有一個正確選項，請將答題卡上對應題目的答案標號涂黑）
1．（3分）（2013•包頭）計算（+2）+（?3）所得的結果是（　　）
　A．1B．?1C．5D．?5

考點：有理數的加法．
分析：運用有理數的加法法則直接計算．
解答：解：原式=?（3?2）=?1．故選B．
點評：解此題關鍵是記住加法法則進行計算．
　
2．（3分）（2013•包頭）3tan30°的值等于（　　）
　A． B．3 C． D．

考點：特殊角的三角函數值．
分析：直接把tan30°= 代入進行計算即可．
解答：解：原式=3× = ．
故選A．
點評：本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記各特殊角度的三角函數值是解答此題的關鍵．
　
3．（3分）（2013•包頭）函數y= 中，自變量x的取值范圍是（　　）
　A．x＞?1B．x＜?1C．x≠?1D．x≠0

考點：函數自變量的取值范圍．
分析：根據分母不等于0列式計算即可得解．
解答：解：根據題意得，x+1≠0，
解得x≠?1．
故選C．
點評：本題考查了函數自變量的范圍，一般從三個方面考慮：
（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；
（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數非負．
　
4．（3分）（2013•包頭）若a=?a，則實數a在數軸上的對應點一定在（　　）
　A．原點左側B．原點或原點左側C．原點右側D．原點或原點右側

考點：實數與數軸；絕對值
分析：根據a=?a，求出a的取值范圍，再根據數軸的特點進行解答即可求出答案．
解答：解：∵a=?a，
∴a一定是非正數，
∴實數a在數軸上的對應點一定在原點或原點左側；
故選B．
點評：此題考查了絕對值與數軸，根據a≥0，然后利用熟知數軸的知識即可解答，是一道基礎題．
　
5．（3分）（2013•包頭）已知方程x2?2x?1=0，則此方程（　　）
　A．無實數根B．兩根之和為?2C．兩根之積為?1D．有一根為?1+

考點：根與系數的關系；根的判別式．
分析：根據已知方程的根的判別式符號確定該方程的根的情況．由根與系數的關系確定兩根之積、兩根之和的值；通過求根公式即可求得方程的根．
解答：解：A、△=（?2）2?4×1×（?1）=8＞0，則該方程有兩個不相等的實數根．故本選項錯誤；
B、設該方程的兩根分別是α、β，則α+β=2．即兩根之和為2，故本選項錯誤；
C、設該方程的兩根分別是α、β，則αβ=?1．即兩根之積為?1，故本選項正確；
D、根據求根公式x= =1± 知，原方程的兩根是（1+ ）和（1? ）．故本選項錯誤；
故選C．
點評：本題綜合考查了根與系數的關系、根的判別式以及求根公式的應用．利用根與系數的關系、求根公式解題時，務必清楚公式中的字母所表示的含義．
　
6．（3分）（2013•包頭）一組數據按從大到小排列為2，4，8，x，10，14．若這組數據的中位數為9，則這組數據的眾數為（　　）
　A．6B．8C．9D．10

考點：眾數；中位數．
分析：根據中位數為9，可求出x的值，繼而可判斷出眾數．
解答：解：由題意得，（8+x）÷2=9，
解得：x=10，
則這組數據中出現次數最多的是10，故眾數為10．
故選D．
點評：本題考查了中位數及眾數的知識，屬于基礎題，掌握中位數及眾數的定義是關鍵．
　
7．（3分）（2013•包頭）下列事件中是必然事件的是（　　）
　A．在一個等式兩邊同時除以同一個數，結果仍為等式
　B．兩個相似圖形一定是位似圖形
　C．平移后的圖形與原來圖形對應線段相等
　D．隨機拋擲一枚質地均勻的硬幣，落地后正面一定朝上

考點：隨機事件．
分析：必然事件就是一定發生的事件，即發生的概率是1的事件．
解答：解：A、當除數為0時，結論不成立，是隨機事件；
B、兩個相似圖形不一定是位似圖形，是隨機事件；
C、平移后的圖形與原來圖形對應線段相等，是必然事件；
D、隨機拋出一枚質地均勻的硬幣，落地后正面可能朝上，是隨機事件．
故選C．
點評：本題考查了必然事件、隨機事件的概念，理解概念是解決基礎題的主要方法．用到的知識點為：
必然事件指在一定條件下一定發生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．
　
8．（3分）（2013•包頭）用一個圓心角為120°，半徑為2的扇形作一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面圓半徑為（　　）
　A． B． C． D．

考點：圓錐的計算．
分析：設圓錐底面的半徑為r，由于圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，則2πr= ，然后解方程即可．
解答：解：設圓錐底面的半徑為r，
根據題意得2πr= ，解得：r= ．
故選D．
點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
　
9．（3分）（2013•包頭）化簡 ÷ • ，其結果是（　　）
　A．?2B．2C．? D．

考點：分式的乘除法．
專題：．
分析：原式先利用除以一個數等于乘以這個數的倒數將除法運算化為運算，約分即可得到結果．
解答：解：原式=? • • =?2．
故選A
點評：此題考查了分式的乘除法，分式的乘除法運算的關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式．
　
10．（3分）（2013•包頭）如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1、S2的大小關系是（　　）

　A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S2

考點：矩形的性質．
分析：由于矩形ABCD的面積等于2個△ABC的面積，而△ABC的面積又等于矩形AEFC的一半，所以可得兩個矩形的面積關系．
解答：解：矩形ABCD的面積S=2S△ABC，而S△ABC= S矩形AEFC，即S1=S2，
故選B．
點評：本題主要考查了矩形的性質及面積的計算，能夠熟練運用矩形的性質進行一些面積的計算問題．
　
11．（3分）（2013•包頭）已知下列命題：
①若a＞b，則c?a＜c?b；
②若a＞0，則 =a；
③對角線互相平行且相等的四邊形是菱形；
④如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等．
其中原命題與逆命題均為真命題的個數是（　　）
　A．4個B．3個C．2個D．1個

考點：命題與定理．
分析：根據矩形的判定以及圓周角定理、不等式的性質和二次根式的性質分別判斷得出即可．
解答：解：①若a＞b，則c?a＜c?b；原命題與逆命題都是真命題；
②若a＞0，則 =a；逆命題：若 =a，則a＞0，是假命題，故此選項錯誤；
③對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；原命題是假命題，故此選項錯誤；
④如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，逆命題：相等的圓心角所對的弧相等，是假命題，故此選項錯誤，
故原命題與逆命題均為真命題的個數是1個．
故選：D．
點評：此題主要考查了矩形、圓周角定理、二次根式、不等式的性質，熟練掌握相關性質是解題關鍵．
　
12．（3分）（2013•包頭）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論：①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a?b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正確的結論是（　　）

　A．①②B．①③C．①③④D．①②③④

考點：二次函數圖象與系數的關系．
分析：由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，利用圖象將x=1，?1，2代入函數解析式判斷y的值，進而對所得結論進行判斷．
解答：解：①圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，能得到：a＞0，? ＞0，則b＜0，正確；
②∵對稱軸為直線x=1，∴x=2與x=0時的函數值相等，∴當x=2時，y=4a+2b+c＞0，錯誤；
③當x=?1時，y=a?b+c＞0，正確；
④∵a?b+c＞0，∴a+c＞b；∵當x=1時，y=a+b+c＜0，∴a+c＜?b；∴b＜a+c＜?b，∴a+c＜b，∴（a+c）2＜b2，正確．
所以正確的結論是①③④．
故選C．
點評：本題主要考查二次函數圖象與系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，將x=1，?1，2代入函數解析式判斷y的值是解題關鍵，得出b＜a+c＜?b是本題的難點．
　
二、題（共8小題，每小題3分，滿分24分。請把答案填在各題對應的橫線上）
13．（3分）（2013•包頭）計算： =　 　．

考點：二次根式的加減法．
分析：先進行二次根式的化簡，然后合并同類二次根式即可．
解答：解：原式=2 ? +
= ．
故答案為： ．
點評：本題考查了二次根式的加減運算，屬于基礎題，關鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并．
　
14．（3分）（2013•包頭）某次射擊訓練中，一小組的成績如表所示：已知該小組的平均成績為8環，那么成績為9環的人數是　3　．

環數789
人數34

考點：加權平均數．
分析：先設成績為9環的人數是x，根據加權平均數的計算公式列出方程，求出x的值即可．
解答：解：設成績為9環的人數是x，根據題意得：
（7×3+8×4+9•x）÷（3+4+x）=8，
解得：x=3，
則成績為9環的人數是3；
故答案為：3．
點評：此題考查了加權平均數，關鍵是根據加權平均數的計算公式和已知條件列出方程，是一道基礎題．
　
15．（3分）（2013•包頭）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，則∠ADB=　28　度．

考點：圓周角定理；垂徑定理．
分析：根據垂徑定理可得點B是 中點，由圓周角定理可得∠ADB= ∠BOC，繼而得出答案．
解答：解：∵OB⊥AC，
∴ = ，
∴∠ADB= ∠BOC=28°．
故答案為：28．
點評：此題考查了圓周角定理，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．
　
16．（3分）（2013•包頭）不等式 （x?）＞3?的解集為x＞1，則的值為　4　．

考點：解一元一次不等式．
分析：先根據不等式的基本性質把不等式去分母、去括號、再移項、合并同類項求出x的取值范圍，再與已知解集相比較即可求出的取值范圍．
解答：解：去分母得，x?＞3（3?），
去括號得，x?＞9?3，
移項，合并同類項得，x＞9?2，
∵此不等式的解集為x＞1，
∴9?2=1，
解得=4．
故答案為：4．
點評：考查了解一元一次不等式，解答此題的關鍵是掌握不等式的性質，
（1）不等式兩邊同加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；
（2）不等式兩邊同乘（或同除以）同一個正數，不等號的方向不變；
（2）不等式兩邊同乘（或同除以）同一個負數，不等號的方向改變．
　
17．（3分）（2013•包頭）設有反比例函數y= ，（x1，y1），（x2，y2）為其圖象上兩點，若x1＜0＜x2，y1＞y2，則k的取值范圍　k＜2　．

考點：反比例函數圖象上點的坐標特征．
分析：根據已知條件“x1＜0＜x2，y1＞y2”可以推知該反比例函數的圖象位于第二、四象限，則k?2＜0．
解答：解：∵（x1，y1），（x2，y2）為函數y= 圖象上兩點，若x1＜0＜x2，y1＞y2，
∴該反比例函數的圖象位于第二、四象限，
∴k?2＜0．
解得，k＜2．
故填：k＜2．
點評：本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征．根據已知條件推知已知反比例函數圖象所經過的象限是解題的難點．
　
18．（3分）（2013•包頭）如圖，在三角形紙片ABC中，∠C=90°，AC=6，折疊該紙片，使點C落在AB邊上的D點處，折痕BE與AC交于點E，若AD=BD，則折痕BE的長為　4　．

考點：翻折變換（折疊問題）．
專題：探究型．
分析：先根據圖形翻折變換的性質得出BC=BD，∠BDE=∠C=90°，再根據AD=BD可知AB=2BC，AE=BE，故∠A=30°，由銳角三角函數的定義可求出BC的長，設BE=x，則CE=6?x，在Rt△BCE中根據勾股定理即可得出BE的長．
解答：解：∵△BDE△BCE反折而成，
∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°，
∵AD=BD，
∴AB=2BC，AE=BE，
∴∠A=30°，
在Rt△ABC中，
∵AC=6，
∴BC=AC•tan30°=6× =2 ，
設BE=x，則CE=6?x，
在Rt△BCE中，
∵BC=2 ，BE=x，CE=6?x，
∴BE2=CE2+BC2，即x2=（6?x）2+（2 ）2，解得x=4．
故答案為：4．
點評：本題考查的是圖形的翻折變換，熟知圖形反折不變性的性質是解答此題的關鍵．
　
19．（3分）（2013•包頭）如圖，已知一條直線經過點A（0，2）、點B（1，0），將這條直線向左平移與x軸、y軸分別交與點C、點D．若DB=DC，則直線CD的函數解析式為　y=?2x?2　．

考點：一次函數圖象與幾何變換．
分析：先求出直線AB的解析式，再根據平移的性質求直線CD的解析式．
解答：解：設直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（0，2）、點B（1，0）代入，
得 ，解得 ，
故直線AB的解析式為y=?2x+2；
將這直線向左平移與x軸負半軸、y軸負半軸分別交于點C、點D，使DB=DC時，
因為平移后的圖形與原圖形平行，故平移以后的函數解析式為：y=?2x?2．
故答案為y=?2x?2．
點評：本題考查了一次函數圖象與幾何變換，要注意利用一次函數的特點，列出方程組，求出未知數的值從而求得其解析式；求直線平移后的解析式時要注意平移時k的值不變，只有b發生變化．
　
20．（3分）（2013•包頭）如圖，點E是正方形ABCD內的一點，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點B順時針旋轉90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C=　135　度．

考點：勾股定理的逆定理；正方形的性質；旋轉的性質．
分析：首先根據旋轉的性質得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，進而根據勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，進而得出答案．
解答：解：連接EE′，
∵將△ABE繞點B順時針旋轉90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，
∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，
∴EE′=2 ，∠BE′E=45°，
∵E′E2+E′C2=8+1=9，
EC2=9，
∴E′E2+E′C2=EC2，
∴△EE′C是直角三角形，
∴∠EE′C=90°，
∴∠BE′C=135°．
故答案為：135．

點評：此題主要考查了勾股定理以及逆定理，根據已知得出△EE′C是直角三角形是解題關鍵．
　
三、解答題（本大題共6小題，共60分。請將必要的文字說明、計算過程或推理過程寫在對應位置）
21．（8分）（2013•包頭）甲、乙兩人在玩轉盤游戲時，把兩個可以自由轉動的轉盤A、B分成4等份、3等份的扇形區域，并在每一小區域內標上數字（如圖所示），指針的位置固定．游戲規則：同時轉動兩個轉盤，當轉盤停止后，若指針所指兩個區域的數字之和為3的倍數，甲勝；若指針所指兩個區域的數字之和為4的倍數時，乙勝．如果指針落在分割線上，則需要重新轉動轉盤．
（1）試用列表或畫樹形圖的方法，求甲獲勝的概率；
（2）請問這個游戲規則對甲、乙雙方公平嗎？試說明理由．

考點：游戲公平性；列表法與樹狀圖法．
分析：（1）根據題意列出圖表，得出數字之和共有12種結果，其中“和是3的倍數”的結果有4種，再根據概率公式求出甲獲勝的概率；
（2）根據圖表（1）得出）“和是4的倍數”的結果有3種，根據概率公式求出乙的概率，再與甲的概率進行比較，得出游戲是否公平．
解答：解：（1）列表如下：

∵數字之和共有12種結果，其中“和是3的倍數”的結果有4種，
∴P（甲）= = ；

（2）∵“和是4的倍數”的結果有3種，
∴P（乙）= = ；
∵ ，即P（甲）≠P（乙），
∴這個游戲規則對甲、乙雙方不公平．
點評：此題考查了游戲的公平性，判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．
　
22．（8分）（2013•包頭）如圖，一根長6 米的木棒（AB），斜靠在與地面（O）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60°．當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′．
（1）求OB的長；
（2）當AA′=1米時，求BB′的長．

考點：勾股定理的應用；解直角三角形的應用．
分析：（1）由已知數據解直角三角形AOB即可；
（2）首先求出OA的長和OA′的長，再根據勾股定理求出OB′的長即可．
解答：解：（1）根據題意可知：AB=6 ，∠ABO=60°，∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，∵cos∠ABO= ，
∴OB=ABcos∠ABO=6 cos60°=3 米，
∴OB的長為3 米；

（2）根據題意可知A′B′=AB=6 米，
在Rt△AOB中，∵sin∠ABO= ，
∴OA=ABsin∠ABO=6 sin60°=9米，
∵OA′=OA?AA′，AA′=1米，
∴OA′=8米，
在Rt△A′OB′中，OB′=2 米，
∴BB′=OB′?OB=（2 ?3 ）米．
點評：本題考查了勾股定理的應用和特殊角的銳角三角函數，是中考常見題型．
　
23．（10分）（2013•包頭）某產品生產車間有工人10名．已知每名工人每天可生產甲種產品12個或乙種產品10個，且每生產一個甲種產品可獲得利潤100元，每生產一個乙種產品可獲得利潤180元．在這10名工人中，車間每天安排x名工人生產甲種產品，其余工人生產乙種產品．
（1）請寫出此車間每天獲取利潤y（元）與x（人）之間的函數關系式；
（2）若要使此車間每天獲取利潤為14400元，要派多少名工人去生產甲種產品？
（3）若要使此車間每天獲取利潤不低于15600元，你認為至少要派多少名工人去生產乙種產品才合適？

考點：一次函數的應用．
分析：（1）根據每個工人每天生產的產品個數以及每個產品的利潤，表示出總利潤即可；
（2）根據每天獲取利潤為14400元，則y=14400，求出即可；
（3）根據每天獲取利潤不低于15600元即y≥15600，求出即可．
解答：解：（1）根據題意得出：
y=12x×100+10（10?x）×180
=?600x+18000；

（2）當y=14400時，有14400=?600x+18000，
解得：x=6，
故要派6名工人去生產甲種產品；

（3）根據題意可得，
y≥15600，
即?600x+18000≥15600，
解得：x≤4，
則10?x≥6，
故至少要派6名工人去生產乙種產品才合適．
點評：此題主要考查了一次函數的應用以及一元一次不等式的應用等知識，根據已知得出y與x之間的函數關系是解題關鍵．
　
24．（10分）（2013•包頭）如圖，已知在△ABP中，C是BP邊上一點，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點E．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）過點C作CF⊥AD，垂足為點F，延長CF交AB于點G，若AG•AB=12，求AC的長；
（3）在滿足（2）的條件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半徑及sin∠ACE的值．

考點：圓的綜合題．
分析：（1）根據圓周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°進而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，進而得出AC2=AG•AB，求出AC即可；
（3）先求出AF的長，根據勾股定理得：AG= ，即可得出sin∠ADB= ，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．
解答：（1）證明：連接CD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，
∴∠PAC=∠ADC，
∴∠CAD+∠PAC=90°，
∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直徑，
∴PA是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，
∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，
∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，
∴△CAG∽△BAC，
∴ = ，
即AC2=AG•AB，
∵AG•AB=12，
∴AC2=12，
∴AC=2 ；

（3）解：設AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，
∴AD=AF+FD=3x，
在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF•AD，
即3x2=12，
解得；x=2，
∴AF=2，AD=6，∴⊙O半徑為3，
在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，
根據勾股定理得：AG= = = ，
由（2）知，AG•AB=12，
∴AB= = ，
連接BD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB= ，AD=6，
∴sin∠ADB= ，
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，
∴sin∠ACE= ．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及勾股定理和銳角三角函數關系等知識，根據已知得出AG的長以及AB的長是解題關鍵．
　
25．（12分）（2013•包頭）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F．
（1）如圖①，當 時，求 的值；
（2）如圖②當DE平分∠CDB時，求證：AF= OA；
（3）如圖③，當點E是BC的中點時，過點F作FG⊥BC于點G，求證：CG= BG．

考點：相似形綜合題．
分析：（1）利用相似三角形的性質求得EF于DF的比值，依據△CEF和△CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理證得∠ADF=∠AFD，可以證得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以證得；
（3）連接OE，易證OE是△BCD的中位線，然后根據△FGC是等腰直角三角形，易證△EGF∽△ECD，利用相似三角形的對應邊的比相等即可證得．
解答：（1）解：∵ = ，
∴ = ．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴ = ，
∴ = = ，
∴ = = ；

（2）證明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的對角線．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
在直角△AOD中，根據勾股定理得：AD= = OA，
∴AF= OA．

（3）證明：連接OE．
∵點O是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點．
∴點O是BD的中點．
又∵點E是BC的中點，
∴OE是△BCD的中位線，
∴OE∥CD，OE= CD，
∴△OFE∽△CFD．
∴ = = ，
∴ = ．
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴ = = ．
在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．
∴CG=GF，
又∵CD=BC，
∴ = = ，
∴ = ．
∴CG= BG．

點評：本題是勾股定理、三角形的中位線定理、以及相似三角形的判定與性質的綜合應用，理解正方形的性質是關鍵．
　
26．（12分）（2013•包頭）已知拋物線y=x2?3x? 的頂點為點D，并與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C．
（1）求點A、B、C、D的坐標；
（2）在y軸的正半軸上是否存在點P，使以點P、O、A為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）取點E（? ，0）和點F（0，? ），直線l經過E、F兩點，點G是線段BD的中點．
①點G是否在直線l上，請說明理由；
②在拋物線上是否存在點，使點關于直線l的對稱點在x軸上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

考點：二次函數綜合題．
專題：代數幾何綜合題．
分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程求出A、B的坐標，令x=0求出點C的坐標，再根據頂點坐標公式計算即可求出頂點D的坐標；
（2）根據點A、C的坐標求出OA、OC的長，再分OA和OA是對應邊，OA和OC是對應邊兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列式求出OP的長，從而得解；
（3）①設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數法求一次函數解析式求出直線l的解析式，再利用中點公式求出點G的坐標，然后根據直線上點的坐標特征驗證即可；
②設拋物線的對稱軸與x軸交點為H，求出OE、OF、HD、HB的長，然后求出△OEF和△HDB相似，根據相似三角形對應角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質點D關于直線l的對稱點就是B，從而判斷出點就是直線DE與拋物線的交點，再設直線DE的解析式為yx+n，利用待定系數法求一次函數解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯立求解即可得到符合條件的點．
解答：解：（1）令y=0，則x2?3x? =0，整理得，4x2?12x?7=0，
解得x1=? ，x2= ，
所以，A（? ，0），B（ ，0），
令x=0，則y=? ，
所以，C（0，? ），
∵? =? = ， = =?4，
∴頂點D（ ，?4）；

（2）在y軸正半軸上存在符合條件的點P，設點P的坐標為（0，y），
∵A（? ，0），C（0，? ），
∴OA= ，OC= ，OP=y，
①若OA和OA是對應邊，則△AOP∽△AOC，
∴ = ，
y=OC= ，
此時點P（0， ），
②若OA和OC是對應邊，則△POA∽△AOC，
∴ = ，
即 = ，
解得y= ，
此時點P（0， ），
所以，符合條件的點P有兩個，P（0， ）或（0， ）；

（3）①設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線l經過點E（? ，0）和點F（0，? ），
∴ ，
解得 ，
所以，直線l的解析式為y=? x? ，
∵B（ ，0），D（ ，?4），
（ + ）= ， [0+（?4）]=?2，
∴線段BD的中點G的坐標為（ ，?2），
當x= 時，y=? × ? =?2，
所以，點G在直線l上；

②在拋物線上存在符合條件的點．
設拋物線的對稱軸與x軸交點為H，則點H的坐標為（ ，0），
∵E（? ，0）、F（0，? ），B（ ，0）、D（ ，?4），
∴OE= ，OF= ，HD=4，HB= ? =2，
∵ = = ，∠OEF=∠HDB，
∴△OEF∽△HDB，
∴∠OFE=∠HBD，
∵∠OEF+∠OFE=90°，
∴∠OEF+∠HBD=90°，
∴∠EGB=180°?（∠OEF+∠HBD）=180°?90°=90°，
∴直線l是線段BD的垂直平分線，
∴點D關于直線l的對稱點就是點B，
∴點就是直線DE與拋物線的交點，
設直線DE的解析式為y=x+n，
∵D（ ，?4），（? ，0），
∴ ，
解得 ，
所以，直線DE的解析式為y=? x?2，
聯立 ，
解得 ， ，
∴符合條件的點有兩個，是（ ，?4）或（ ，? ）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了拋物線與坐標軸的交點的求解，求頂點坐標，待定系數法求一次函數解析式，點在直線上的驗證，相似三角形的判定與性質，聯立兩函數解析式求交點坐標的方法，綜合性較強，難度較大，（2）要根據對應邊的不同分情況討論，（3）求出直線l是線段BD的垂直平分線是解題的關鍵．