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2015中考數學真題分類匯編：圓（6）
一．填空題（共19小題）
1．（2015•北海）用一個圓心角為120°，半徑為6的扇形作一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓的半徑是　　　　　　．
2．（2015•呼和浩特）一個圓錐的側面積為8π，母線長為4，則這個圓錐的全面積為　　　　　　．
3．（2015•揚州）已知一個圓錐的側面積是2πcm2，它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的高為　　　　　　cm（結果保留根號）．
4．（2015•煙臺）如圖，將弧長為6π，圓心角為120°的圓形紙片AOB圍成圓錐形紙帽，使扇形的兩條半徑OA與OB重合（粘連部分忽略不計）則圓錐形紙帽的高是　　　　　　．
 
5．（2015•黃岡）如圖所示的扇形是一個圓錐的側面展開圖，若∠AOB=120°，弧AB的長為12πcm，則該圓錐的側面積為　　　　　　cm2．
 
6．（2015•齊齊哈爾）底面周長為10πcm，高為12cm的圓錐的側面積為　　　　　　．
7．（2015•鄂州）圓錐體的底面周長為6π，側面積為12π，則該圓錐體的高為　　　　　　．
8．（2015•貴港）如圖，已知圓錐的底面⊙O的直徑BC=6，高OA=4，則該圓錐的側面展開圖的面積為　　　　　　．
 
9．（2015•湘潭）小華為參加畢業晚會演出，準備制一頂圓錐形彩色紙帽，如圖所示，如果紙帽的底面半徑為8cm，母線長為25cm，那么制作這頂紙帽至少需要彩色紙板的面積為　　　　　　cm2．（結果保留π）
 
10．（2015•常德）一個圓錐的底面半徑為1厘米，母線長為2厘米，則該圓錐的側面積是　　　　　　厘米2（結果保留π）．
11．（2015•珠海）用半徑為12cm，圓心角為90°的扇形紙片圍成一個圓錐的側面（接縫忽略不計），則該圓錐底面圓的半徑為　　　　　　cm．
12．（2015•徐州）用一個圓心角為90°，半徑為4的扇形圍成一個圓錐的側面，該圓錐底面圓的半徑　　　　　　．
13．（2015•孝感）已知圓錐的側面積等于60πcm2，母線長10cm，則圓錐的高是　　　　　　cm．
14．（2015•黑龍江）如圖，從直徑是2米的圓形鐵皮上剪出一個圓心角是90°的扇形ABC（A、B、C三點在⊙O上），將剪下來的扇形圍成一個圓錐的側面，則該圓錐的底面圓的半徑是　　　　　　米．
 
15．（2015•大慶）底面直徑和高都是1的圓柱側面積為　　　　　　．
16．（2015•福州）一個工件，外部是圓柱體，內部凹槽是正方體，如圖所示，其中，正方體一個面的四個頂點都在圓柱底面的圓周上，若圓柱底面周長為2πcm，則正方體的體積為　　　　　　cm3．
 
17．（2015•嘉興）如圖，在直角坐標系xOy中，已知點A（0，1），點P在線段OA上，以AP為半徑的⊙P周長為1．點M從A開始沿⊙P按逆時針方向轉動，射線AM交x軸于點N（n，0），設點M轉過的路程為m（0＜m＜1）．
（1）當m= 時，n=　　　　　　；
（2）隨著點M的轉動，當m從 變化到 時，點N相應移動的路徑長為　　　　　　．
 
18．（2015•舟山）如圖，在直角坐標系xOy中，已知點A（0，1），點P在線段OA上，以AP為半徑的⊙P周長為1，點M從A開始沿⊙P按逆時針方向轉動，射線AM交x軸于點N（n，0）．設點M轉過的路程為m（0＜m＜1），隨著點M的轉動，當m從 變化到 時，點N相應移動的路經長為　　　　　　．
 
19．（2015•南充）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以AB為直徑作半圓，點P是CD中點，BP與半圓交于點Q，連結PQ，給出如下結論：①DQ=1；② = ；③S△PDQ= ；④cos∠ADQ= ，其中正確結論是　　　　　　（填寫序號）
 

二．解答題（共11小題）
20．（2015•永州）如圖，已知△ABC內接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點E，F是OE上的一點，使CF∥BD．
（1）求證：BE=CE；
（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；
（3）若BC=8，AD=10，求CD的長．
 
21．（2015•煙臺）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點分別為D、E，且 = ．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
（2）已知半圓的半徑為5，BC=12，求sin∠ABD的值．
 
22．（2015•安徽）在⊙O中，直徑AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，點P在BC上，點Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如圖1，當PQ∥AB時，求PQ的長度；
（2）如圖2，當點P在BC上移動時，求PQ長的最大值．
 
23．（2015•無錫）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．
 
24．（2015•德州）如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判斷△ABC的形狀：　　　　　　；
（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明你的結論；
（3）當點P位于 的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．
 
25．（2015•濱州）如圖，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC的長為5，∠ACB的平分線交⊙O于點D．
（1）求 的長．
（2）求弦BD的長．
 
26．（2015•佛山）如圖，⊙O的內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F．
（1）若∠E=∠F時，求證：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°時，求∠A的度數；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．請你用含有α、β的代數式表示∠A的大小．
 
27．（2015•南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點E，且DC=DE．
（1）求證：∠A=∠AEB；
（2）連接OE，交CD于點F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．
 
28．（2015•杭州）如圖1，⊙O的半徑為r（r＞0），若點P′在射線OP上，滿足OP′•OP=r2，則稱點P′是點P關于⊙O的“反演點”．
如圖2，⊙O的半徑為4，點B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點A′，B′分別是點A，B關于⊙O的反演點，求A′B′的長．
 
29．（2015•菏澤）如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，BC的延長線于⊙O的切線AF交于點F．
（1）求證：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=2 ，CE：EB=1：4，求CE的長．
 
30．（2015•孝感）如圖，AB為⊙O的直徑，P是BA延長線上一點，PC切⊙O于點C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足為D．
（1）求證：∠PCA=∠ABC；
（2）過點A作AE∥PC，交⊙O于點E，交CD于點F，連接BE．若sin∠P= ，CF=5，求BE的長．
 

2015中考數學真題分類匯編：圓（6）
參考答案與試題解析
一．填空題（共19小題）
1．（2015•北海）用一個圓心角為120°，半徑為6的扇形作一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓的半徑是　2　．
考點： 圓錐的計算．
分析： 易得扇形的弧長，除以2π即為圓錐的底面半徑．
解答： 解：扇形的弧長= =4π，
∴圓錐的底面半徑為4π÷2π=2．
故答案為：2．
點評： 考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周長．
2．（2015•呼和浩特）一個圓錐的側面積為8π，母線長為4，則這個圓錐的全面積為　12π　．
考點： 圓錐的計算．
分析： 據扇形的面積公式求出扇形的圓心角，再利用弧長公式求出弧長，再利用圓的面積公式求出底面半徑，求得底面積后即可求得全面積．
解答： 解：∵ =8π，
∴解得n=180
則弧長= =4π
2πr=4π
解得r=2，
∴底面積為4π，
∴全面積為12π．
故答案是：12π．
點評： 本題考查了圓錐的計算，解決本題的關鍵是根據圓錐的側面積公式得到圓錐的底面半徑的求法．
3．（2015•揚州）已知一個圓錐的側面積是2πcm2，它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的高為　 　cm（結果保留根號）．
考點： 圓錐的計算．
分析： 利用扇形的面積公式可得圓錐的母線長，進而求得扇形的弧長，除以2π即為圓錐的底面圓半徑，利用勾股定理求得圓錐的高即可．
解答： 解：設圓錐的母線長為R，
π×R2÷2=2π，
解得：R=2，
∴圓錐側面展開圖的弧長為：2π，
∴圓錐的底面圓半徑是2π÷2π=1，
∴圓錐的高為 ．
故答案為 ．
點評： 考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周長．
4．（2015•煙臺）如圖，將弧長為6π，圓心角為120°的圓形紙片AOB圍成圓錐形紙帽，使扇形的兩條半徑OA與OB重合（粘連部分忽略不計）則圓錐形紙帽的高是　6 　．
 
考點： 圓錐的計算．
分析： 根據弧長求得圓錐的底面半徑和扇形的半徑，利用勾股定理求得圓錐的高即可．
解答： 解：∵弧長為6π，
∴底面半徑為6π÷2π=3，
∵圓心角為120°，
∴ =6π，
解得：R=9，
∴圓錐的高為 =6 ，
故答案為：6 ．
點評： 本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是能夠利用圓錐的底面周長等于側面展開扇形的弧長求得圓錐的底面半徑，難度一般．
5．（2015•黃岡）如圖所示的扇形是一個圓錐的側面展開圖，若∠AOB=120°，弧AB的長為12πcm，則該圓錐的側面積為　108π　cm2．
 
考點： 圓錐的計算．
分析： 首先求得扇形的母線長，然后求得扇形的面積即可．
解答： 解：設AO=B0=R，
∵∠AOB=120°，弧AB的長為12πcm，
∴ =12π，
解得：R=18，
∴圓錐的側面積為 lR= ×12π×18=108π，
故答案為：108π．
點評： 本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是牢記圓錐的有關計算公式，難度不大．
6．（2015•齊齊哈爾）底面周長為10πcm，高為12cm的圓錐的側面積為　65πcm2　．
考點： 圓錐的計算．
分析： 根據圓錐的側面積公式：S= al，直接代入數據求出即可．
解答： 解：設圓錐的底面半徑為r，母線為a，
∴r= =5，
∴a= =13，
∴圓錐的側面積= ×10π×13=65π，
故答案為：65πcm2．
點評： 此題主要考查了圓錐側面積公式，熟練地應用圓錐側面積公式求出是解決問題的關鍵．
7．（2015•鄂州）圓錐體的底面周長為6π，側面積為12π，則該圓錐體的高為　 　．
考點： 圓錐的計算．
分析： 讓周長除以2π即為圓錐的底面半徑；根據圓錐的側面積= ×側面展開圖的弧長×母線長可得圓錐的母線長，利用勾股定理可得圓錐的高．
解答： 解：∵圓錐的底面周長為6π，
∴圓錐的底面半徑為6π÷2π=3，
∵圓錐的側面積= ×側面展開圖的弧長×母線長，
∴母線長=2×12π÷（6π）=4，
∴這個圓錐的高是 = ，
故答案為： ．
點評： 考查圓錐的計算，用到的知識點為：圓錐的底面周長等于側面展開圖的弧長；圓錐的側面積= ×側面展開圖的弧長×母線長．
8．（2015•貴港）如圖，已知圓錐的底面⊙O的直徑BC=6，高OA=4，則該圓錐的側面展開圖的面積為　15π　．
 
考點： 圓錐的計算．
分析： 根據已知和勾股定理求出AB的長，根據扇形面積公式求出側面展開圖的面積．
解答： 解：∵OB= BC=3，OA=4，
由勾股定理，AB=5，
側面展開圖的面積為： ×6π×5=15π．
故答案為：15π．
點評： 本題考查的是圓錐的計算，理解圓錐的側面展開圖是扇形，掌握扇形的面積的計算公式是解題的關鍵．
9．（2015•湘潭）小華為參加畢業晚會演出，準備制一頂圓錐形彩色紙帽，如圖所示，如果紙帽的底面半徑為8cm，母線長為25cm，那么制作這頂紙帽至少需要彩色紙板的面積為　200π　cm2．（結果保留π）
 
考點： 圓錐的計算．
分析： 圓錐的側面積=底面周長×母線長÷2．
解答： 解：底面半徑為8cm，
則底面周長=16π，
側面面積= ×16π×25=200πcm2．
故答案為200π．
點評： 本題考查了圓錐的計算，利用了圓的周長公式和扇形面積公式，熟練記憶圓錐的側面積計算公式是解決本題的關鍵．
10．（2015•常德）一個圓錐的底面半徑為1厘米，母線長為2厘米，則該圓錐的側面積是　2π　厘米2（結果保留π）．
考點： 圓錐的計算．
分析： 根據圓錐側面積的求法：S側= •2πr•l=πrl，把r=1厘米，l=2厘米代入圓錐的側面積公式，求出該圓錐的側面積是多少即可．
解答： 解：該圓錐的側面積是：
S側= •2πr•l=πrl=π×1×2=2π（厘米2）．
故答案為：2π．
點評： 此題主要考查了圓錐的側面積的計算，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：S側= •2πr•l=πrl．
11．（2015•珠海）用半徑為12cm，圓心角為90°的扇形紙片圍成一個圓錐的側面（接縫忽略不計），則該圓錐底面圓的半徑為　3　cm．
考點： 圓錐的計算．
分析： 根據扇形的弧長等于圓錐的底面周長，利用扇形的弧長公式即可求得圓錐的底面周長，然后根據圓的周長公式即可求解．
解答： 解：圓錐的底面周長是： =6π．
設圓錐底面圓的半徑是r，則2πr=6π．
解得：r=3．
故答案是：3．
點評： 本題考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．
12．（2015•徐州）用一個圓心角為90°，半徑為4的扇形圍成一個圓錐的側面，該圓錐底面圓的半徑　1　．
考點： 圓錐的計算．
分析： 正確理解圓錐側面與其展開得到的扇形的關系：圓錐的底面周長等于扇形的弧長．
解答： 解：根據扇形的弧長公式l= = =2π，
設底面圓的半徑是r，
則2π=2πr
∴r=1．
故答案為：1．
點評： 本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：（1）圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關系的記憶是解題的關鍵．
13．（2015•孝感）已知圓錐的側面積等于60πcm2，母線長10cm，則圓錐的高是　8　cm．
考點： 圓錐的計算．
專題： 計算題．
分析： 設圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形面積公式得到 •2π•r•10=60π，解得r=6，然后根據勾股定理計算圓錐的高．
解答： 解：設圓錐的底面圓的半徑為r，
根據題意得 •2π•r•10=60π，
解得r=6，
所以圓錐的高= =8（cm）．
故答案為8．
點評： 本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
14．（2015•黑龍江）如圖，從直徑是2米的圓形鐵皮上剪出一個圓心角是90°的扇形ABC（A、B、C三點在⊙O上），將剪下來的扇形圍成一個圓錐的側面，則該圓錐的底面圓的半徑是　 　米．
 
考點： 圓錐的計算．
分析： 圓的半徑為1，那么過圓心向AC引垂線，利用相應的三角函數可得AC的一半的長度，進而求得AC的長度，利用弧長公式可求得弧BC的長度，圓錐的底面圓的半徑=圓錐的弧長÷2π．
解答： 解：作OD⊥AC于點D，連接OA，
∴∠OAD=45°，AC=2AD，
∴AC=2（OA×cos45°）=
∴ = π
∴圓錐的底面圓的半徑= π÷（2π）= ．
故答案為： ．
 
點評： 本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：（1）圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關系的記憶是解題的關鍵．
15．（2015•大慶）底面直徑和高都是1的圓柱側面積為　π　．
考點： 圓柱的計算．
分析： 圓柱的側面積=底面周長×高．
解答： 解：圓柱的底面周長=π×1=π．
圓柱的側面積=底面周長×高=π×1=π．
故答案是：π．
點評： 本題考查了圓柱的計算，熟記公式即可解答該題．
16．（2015•福州）一個工件，外部是圓柱體，內部凹槽是正方體，如圖所示，其中，正方體一個面的四個頂點都在圓柱底面的圓周上，若圓柱底面周長為2πcm，則正方體的體積為　2 　cm3．
 
考點： 圓柱的計算．
分析： 作出該幾何體的俯視圖，然后確定底面圓的半徑，從而求得正方體的棱長，最后求得體積．
解答： 解：該幾何體的俯視圖如圖：
∵圓柱底面周長為2πcm，
∴OA=OB=1cm，
∵∠AOB=90°，
∴AB= OA= ，
∴該正方體的體積為（ ）3=2 ，
故答案為：2 ．
 
點評： 本題考查了圓柱的計算，解題的關鍵是確定底面圓的半徑，這是確定正方體的棱長的關鍵，難度不大．
17．（2015•嘉興）如圖，在直角坐標系xOy中，已知點A（0，1），點P在線段OA上，以AP為半徑的⊙P周長為1．點M從A開始沿⊙P按逆時針方向轉動，射線AM交x軸于點N（n，0），設點M轉過的路程為m（0＜m＜1）．
（1）當m= 時，n=　?1　；
（2）隨著點M的轉動，當m從 變化到 時，點N相應移動的路徑長為　 　．
 
考點： 圓的綜合題；等腰三角形的性質；銳角三角函數的定義．
分析： （1）當m= 時，連接PM，如圖1，點M從點A繞著點P逆時針旋轉了一周的 ，從而可得到旋轉角∠APM為90°，根據PA=PM可得∠PAM=∠PMA=45°，則有NO=AO=1，即可得到n=?1；
（2）當m從 變化到 時，點N相應移動的路經是一條線段，只需考慮始點和終點位置即可解決問題．當m= 時，連接PM，如圖2，點M從點A繞著點P逆時針旋轉了一周的 ，從而可得到旋轉角為120°，則∠APM=120°，根據PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中運用三角函數可求出ON的長；當m= 時，連接PM，如圖3，點M從點A繞著點P逆時針旋轉了一周的 ，從而可得到旋轉角為240°，則∠APM=120°，同理可求出ON的長，問題得以解決．
解答： 解：（1）當m= 時，連接PM，如圖1，
 
則有∠APM= ×360°=90°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=45°．
∴NO=AO=1，
∴n=?1．
故答案為?1；
（2）①當m= 時，連接PM，如圖2，
 
∠APM= 360°=120°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．
在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1× = ；
②當m= 時，連接PM，如圖3，
 
∠APM=360°? ×360°=120°，
同理可得：NO= ．
綜合①、②可得：點N相應移動的路經長為 + = ．
故答案為  ．新 課 標 第 一  網
點評： 本題主要考查了旋轉角、等腰三角形的性質、三角函數等知識，若動點的運動路徑是一條線段，常常可通過考慮臨界位置（動點的始點和終點）來解決．
18．（2015•舟山）如圖，在直角坐標系xOy中，已知點A（0，1），點P在線段OA上，以AP為半徑的⊙P周長為1，點M從A開始沿⊙P按逆時針方向轉動，射線AM交x軸于點N（n，0）．設點M轉過的路程為m（0＜m＜1），隨著點M的轉動，當m從 變化到 時，點N相應移動的路經長為　 　．
 
考點： 圓的綜合題；軌跡．
分析： 當m從 變化到 時，點N相應移動的路經是一條線段，只需考慮始點和終點位置即可解決問題．當m= 時，連接PM，如圖1，點M從點A繞著點P逆時針旋轉了一周的 ，從而可得到旋轉角為120°，則∠APM=120°，根據PA=PM可得∠PAM=30°，在Rt△AON中運用三角函數可求出ON的長；當m= 時，連接PM，如圖2，點M從點A繞著點P逆時針旋轉了一周的 ，從而可得到旋轉角為240°，則∠APM=120°，同理可求出ON的長，問題得以解決．
解答： 解：①當m= 時，連接PM，如圖1，
 
∠APM= ×360°=120°．
∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．
在Rt△AON中，NO=AO•tan∠OAN=1× = ．
②當m= 時，連接PM，如圖2，
 
∠APM=360°? ×360°=120°，
同理可得：NO= ．
綜合①、②可得：點N相應移動的路經長為 + = ．
故答案為  ．
點評： 本題主要考查了旋轉角、等腰三角形的性質、三角函數等知識，若動點的運動路徑是一條線段，常常可通過考慮臨界位置（動點的始點和終點）來解決．
19．（2015•南充）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以AB為直徑作半圓，點P是CD中點，BP與半圓交于點Q，連結PQ，給出如下結論：①DQ=1；② = ；③S△PDQ= ；④cos∠ADQ= ，其中正確結論是　①②④　（填寫序號）
 
考點： 圓的綜合題；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質；平行線分線段成比例；相似三角形的判定與性質；銳角三角函數的定義．
專題： 推理填空題．
分析： ①連接OQ，OD，如圖1．易證四邊形DOBP是平行四邊形，從而可得DO∥BP．結合OQ=OB，可證到∠AOD=∠QOD，從而證到△AOD≌△QOD，則有DQ=DA=1；
②連接AQ，如圖2，根據勾股定理可求出BP．易證Rt△AQB∽Rt△BCP，運用相似三角形的性質可求出BQ，從而求出PQ的值，就可得到 的值；
③過點Q作QH⊥DC于H，如圖3．易證△PHQ∽△PCB，運用相似三角形的性質可求出QH，從而可求出S△DPQ的值；
④過點Q作QN⊥AD于N，如圖4．易得DP∥NQ∥AB，根據平行線分線段成比例可得 = = ，把AN=1?DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中運用三角函數的定義，就可求出cos∠ADQ的值．
解答： 解：正確結論是①②④．
提示：①連接OQ，OD，如圖1．
 
易證四邊形DOBP是平行四邊形，從而可得DO∥BP．
結合OQ=OB，可證到∠AOD=∠QOD，從而證到△AOD≌△QOD，
則有DQ=DA=1．
故①正確；
②連接AQ，如圖2．
 
則有CP= ，BP= = ．
易證Rt△AQB∽Rt△BCP，
運用相似三角形的性質可求得BQ= ，
則PQ= ? = ，
∴ = ．
故②正確；
③過點Q作QH⊥DC于H，如圖3．
 
易證△PHQ∽△PCB，
運用相似三角形的性質可求得QH= ，
∴S△DPQ= DP•QH= × × = ．
故③錯誤；
④過點Q作QN⊥AD于N，如圖4．
 
易得DP∥NQ∥AB，
根據平行線分線段成比例可得 = = ，
則有 = ，
解得：DN= ．
由DQ=1，得cos∠ADQ= = ．
故④正確．
綜上所述：正確結論是①②④．
故答案為：①②④．
點評： 本題主要考查了圓周角定理、平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行線分線段成比例、等腰三角形的性質、平行線的性質、銳角三角函數的定義、勾股定理等知識，綜合性比較強，常用相似三角形的性質、勾股定理、三角函數的定義來建立等量關系，應靈活運用．
二．解答題（共11小題）
20．（2015•永州）如圖，已知△ABC內接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點E，F是OE上的一點，使CF∥BD．
（1）求證：BE=CE；
（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；
（3）若BC=8，AD=10，求CD的長．
 
考點： 垂徑定理；勾股定理；菱形的判定．
分析： （1）證明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根據等腰三角形的性質即可證明；
（2）菱形，證明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四邊形BFCD是平行四邊形，易證BD=CD，可證明結論；
（3）設DE=x，則根據CE2=DE•AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．
解答： （1）證明：∵AD是直徑，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
 ，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴BE=CE；
（2）四邊形BFCD是菱形．
證明：∵AD是直徑，AB=AC，
∴AD⊥BC，BE=CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE=∠DBE，
在△BED和△CEF中
 ，
∴△BED≌△CEF，
∴CF=BD，
∴四邊形BFCD是平行四邊形，
∵∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴四邊形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直徑，AD⊥BC，BE=CE，
∴CE2=DE•AE，
設DE=x，
∵BC=8，AD=10，
∴42=x（10?x），
解得：x=2或x=8（舍去）
在Rt△CED中，
CD= = =2 ．
 
點評： 本題主要考查了圓的有關性質：垂徑定理、圓周角定理，三角形全等的判定與性質，菱形的判定與性質，勾股定理，三角形相似的判定與性質，熟悉圓的有關性質是解決問題的關鍵．
21．（2015•煙臺）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點分別為D、E，且 = ．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
（2）已知半圓的半徑為5，BC=12，求sin∠ABD的值．
 
考點： 圓周角定理；等腰三角形的判定與性質；勾股定理．
專題： 計算題．
分析： （1）連結AE，如圖，根據圓周角定理，由 = 得∠DAE=∠BAE，由AB為直徑得∠AEB=90°，根據等腰三角形的判定方法即可得△ABC為等腰三角形；
（2）由等腰三角形的性質得BE=CE= BC=6，再在Rt△ABE中利用勾股定理計算出AE=8，接著由AB為直徑得到∠ADB=90°，則可利用面積法計算出BD= ，然后在Rt△ABD中利用勾股定理計算出AD= ，再根據正弦的定義求解．
解答： 解：（1）△ABC為等腰三角形．理由如下：
連結AE，如圖，
∵ = ，
∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∴△ABC為等腰三角形；
（2）∵△ABC為等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE=CE= BC= ×12=6，
在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，
∴AE= =8，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴ AE•BC= BD•AC，
∴BD= = ，
在Rt△ABD中，∵AB=10，BD= ，
∴AD= = ，
∴sin∠ABD= = = ．
 
點評： 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰三角形的判定與性質和勾股定理．
22．（2015•安徽）在⊙O中，直徑AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，點P在BC上，點Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如圖1，當PQ∥AB時，求PQ的長度；
（2）如圖2，當點P在BC上移動時，求PQ長的最大值．
 
考點： 圓周角定理；勾股定理；解直角三角形．
專題： 計算題．
分析： （1）連結OQ，如圖1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定義可計算出OP=3tan30°= ，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可計算出PQ= ；
（2）連結OQ，如圖2，在Rt△OPQ中，根據勾股定理得到PQ= ，則當OP的長最小時，PQ的長最大，根據垂線段最短得到OP⊥BC，則OP= OB= ，所以PQ長的最大值= ．
解答： 解：（1）連結OQ，如圖1，
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，新-課 -標 -第-一-網
∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，∵tan∠B= ，
∴OP=3tan30°= ，
在Rt△OPQ中，∵OP= ，OQ=3，
∴PQ= = ；
（2）連結OQ，如圖2，
在Rt△OPQ中，PQ= = ，
當OP的長最小時，PQ的長最大，
此時OP⊥BC，則OP= OB= ，
∴PQ長的最大值為 = ．
 
點評： 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形．
23．（2015•無錫）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．
 
考點： 圓周角定理；勾股定理；扇形面積的計算．
分析： （1）由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得AB，OB=5cm．連OD，得到等腰直角三角形，根據勾股定理即可得到結論；
（2）根據S陰影=S扇形?S△OBD即可得到結論．
解答： 解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10cm．
∴OB=5cm．
連OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD=45°．
∴∠BOD=90°．
∴BD= =5 cm．
（2）S陰影=S扇形?S△OBD= π•52? ×5×5= cm2．
 
點評： 本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質，扇形的面積，三角形的面積，連接OD構造直角三角形是解題的關鍵．
24．（2015•德州）如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判斷△ABC的形狀：　等邊三角形　；
（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明你的結論；
（3）當點P位于 的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．
 
考點： 圓周角定理；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；垂徑定理．
分析： （1）利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀；
（2）在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得；
（3）過點P作PE⊥AB，垂足為E，過點C作CF⊥AB，垂足為F，把四邊形的面積轉化為兩個三角形的面積進行計算，當點P為 的中點時，PE+CF=PC從而得出最大面積．
解答： 證明：（1）△ABC是等邊三角形．
證明如下：在⊙O中
∵∠BAC與∠CPB是 所對的圓周角，∠ABC與∠APC是 所對的圓周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形；
（2）在PC上截取PD=AP，如圖1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
 ，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP；
（3）當點P為 的中點時，四邊形APBC的面積最大．
理由如下，如圖2，過點P作PE⊥AB，垂足為E．
過點C作CF⊥AB，垂足為F．
∵S△APE= AB•PE，S△ABC= AB•CF，
∴S四邊形APBC= AB•（PE+CF），
當點P為 的中點時，PE+CF=PC，PC為⊙O的直徑，
∴此時四邊形APBC的面積最大．
又∵⊙O的半徑為1，
∴其內接正三角形的邊長AB= ，
∴S四邊形APBC= ×2× = ．
 
 
點評： 本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式以及三角形的全等的判定與性質，正確作出輔助線，證明△APB≌△ADC是關鍵．
25．（2015•濱州）如圖，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC的長為5，∠ACB的平分線交⊙O于點D．
（1）求 的長．
（2）求弦BD的長．
 
考點： 圓周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧長的計算．
分析： （1）首先根據AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度數，即可求出∠BOC的度數；最后根據弧長公式，求出 的長即可．
（2）首先根據CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根據圓周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的長是多少即可．
解答： 解：（1）如圖，連接OC，OD， ，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∵ ，
∴∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
∴ 的長= ．
（2）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
在Rt△ABD中，
BD=AB×sin45°=10× ．
點評： （1）此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，要熟練掌握．
（2）此題還考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性質和應用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了弧長的求法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①弧長公式：l= （弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為R）．②在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數，n和180都不要帶單位．
26．（2015•佛山）如圖，⊙O的內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F．
（1）若∠E=∠F時，求證：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°時，求∠A的度數；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．請你用含有α、β的代數式表示∠A的大小．
 
考點： 圓內接四邊形的性質；圓周角定理．
分析： （1）根據外角的性質即可得到結論；
（2）根據圓內接四邊形的性質和等量代換即可求得結果；
（3）連結EF，如圖，根據圓內接四邊形的性質得∠ECD=∠A，再根據三角形外角性質得∠ECD=∠1+∠2，則∠A=∠1+∠2，然后根據三角形內角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．
解答： 解：（1）∠E=∠F，
∵∠DCE=∠BCF，
∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，
∴∠ADC=∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，
∵∠EDC=∠ABC，
∴∠EDC=∠ADC，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°?42°=48°；
（3）連結EF，如圖，
∵四邊形ABCD為圓的內接四邊形，
∴∠ECD=∠A，
∵∠ECD=∠1+∠2，
∴∠A=∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，
∴2∠A+α+β=180°，
∴∠A=90°? ．
 
點評： 本題考查了圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補；圓內接四邊形的性質是溝通角相等關系的重要依據，在應用此性質時，要注意與圓周角定理結合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補．
27．（2015•南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點E，且DC=DE．
（1）求證：∠A=∠AEB；
（2）連接OE，交CD于點F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．
 
考點： 圓內接四邊形的性質；等邊三角形的判定與性質；圓周角定理．
分析： （1）根據圓內接四邊形的性質可得∠A+∠BCD=180°，根據鄰補角互補可得∠DCE+∠BCD=180°，進而得到∠A=∠DCE，然后利用等邊對等角可得∠DCE=∠AEB，進而可得∠A=∠AEB；
（2）首先證明△DCE是等邊三角形，進而可得∠AEB=60°，再根據∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，進而可得△ABE是等邊三角形．
解答： 證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE，
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠AEB，
∴∠A=∠AEB；
（2）∵∠A=∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF=DF，
∴EO是CD的垂直平分線，
∴ED=EC，
∵DC=DE，
∴DC=DE=EC，
∴△DCE是等邊三角形，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等邊三角形．
點評： 此題主要考查了等邊三角形的判定和性質，以及圓內接四邊形的性質，關鍵是掌握圓內接四邊形對角互補．
28．（2015•杭州）如圖1，⊙O的半徑為r（r＞0），若點P′在射線OP上，滿足OP′•OP=r2，則稱點P′是點P關于⊙O的“反演點”．
如圖2，⊙O的半徑為4，點B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點A′，B′分別是點A，B關于⊙O的反演點，求A′B′的長．
 
考點： 點與圓的位置關系；勾股定理．
專題： 新定義．
分析： 設OA交⊙O于C，連結B′C，如圖2，根據新定義計算出OA′=2，OB′=4，則點A′為OC的中點，點B和B′重合，再證明△OBC為等邊三角形，則B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定義可求A′B′的長．
解答： 解：設OA交⊙O于C，連結B′C，如圖2，
∵OA′•OA=42，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′•OB=42，
∴OB′=4，即點B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC為等邊三角形，
而點A′為OC的中點，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′= ，
∴A′B′=4sin60°=2 ．
 
點評： 本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．也考查了閱讀理解能力．
29．（2015•菏澤）如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，BC的延長線于⊙O的切線AF交于點F．
（1）求證：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=2 ，CE：EB=1：4，求CE的長．
 
考點： 切線的性質；相似三角形的判定與性質．
分析： （1）首先連接BD，由AB為直徑，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切線，易證得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，證得：∠ABC=2∠CAF；
（2）首先連接AE，設CE=x，由勾股定理可得方程：（2 ）2=x2+（3x）2求得答案．
解答： （1）證明：如圖，連接BD．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵AF是⊙O的切線，
∴∠FAB=90°，
即∠DAB+∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ABD．
∵BA=BC，∠ADB=90°，
∴∠ABC=2∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF．
（2）解：如圖，連接AE，
∴∠AEB=90°，
設CE=x，
∵CE：EB=1：4，
∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，
在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2，
即（2 ）2=x2+（3x）2，
∴x=2．
∴CE=2．
 
點評： 本題主要考查了切線的性質、三角函數以及勾股定理，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用是解答此題大關鍵．
30．（2015•孝感）如圖，AB為⊙O的直徑，P是BA延長線上一點，PC切⊙O于點C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足為D．
（1）求證：∠PCA=∠ABC；
（2）過點A作AE∥PC，交⊙O于點E，交CD于點F，連接BE．若sin∠P= ，CF=5，求BE的長．
 
考點： 切線的性質；勾股定理；解直角三角形．
分析： （1）連接OC，由PC切⊙O于點C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB為⊙O的直徑，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，證得∠OCA=∠OAC，于是得到結論；
（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根據垂徑定理得到 ，于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根據等腰三角形的性質得到CF=AF，在Rt△AFD中，AF=5，sin∠FAD= ，求得FD=3，AD=4，CD=8，在Rt△OCD中，設OC=r，根據勾股定理得到方程r2=（r?4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB為⊙O的直徑，得到∠AEB=90°，在Rt△ABE中，由sin∠EAD= ，得到 于是求得結論．
解答： （1）證明：連接OC，
∵PC切⊙O于點C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠OCA=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC；
（2）解：∵AE∥PC，
∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴ ，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠PCA=∠ABC，
∴∠ACF=∠CAF，
∴CF=AF，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，
∵sin∠P= ，
∴sin∠FAD= ，
在Rt△AFD中，AF?5，sin∠FAD= ，
∴FD=3，AD=4，∴CD=8，
在Rt△OCD中，設OC=r，
∴r2=（r?4）2+82，
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，
∵sin∠EAD= ，∴ ，
∵AB=20，
∴BE=12．
 
點評： 本題考查了切線的性質，銳角三角函數，圓周角定理，等腰三角形的性質，連接OC構造直角三角形是解題的關鍵．