安徽省蚌埠市姚山中學2015屆九年級上學期期末數學試卷
一、選擇題（40分）
1．拋物線y=?3（x?1）2+2的頂點坐標是（）
A． （1，2） B． （1，?2） C． （?1，2） D． （?1，?2）
2．在一幅長60cm，寬40cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是ycm2，設金色紙邊的寬度為xcm2，那么y關于x的函數是（）
A． y=（60+2x）（40+2x） B． y=（60+x）（40+x） C． y=（60+2x）（40+x） D． y=（60+x）（40+2x）
3．某閉合電路中，電源的電壓為定值，電流I（A）與電阻R（Ω）成反比例．如圖所示的是該電路中電流I與電阻R之間的函數關系的圖象，則用電阻R表示電流I的函數解析式為（）
A． I= B． I= C． I= D． I=
4．已知△ABC與△A1B1C1位似，△ABC與△A2B2C2位似，則（）
A． △A1B1C1與△A2B2C2全等
B． △A1B1C1與△A2B2C2位似
C． △A1B1C1與△A2B2C2相似但不一定位似
D． △A1B1C1與△A2B2C2不相似
5．△ABC中，已知∠A=30°，AB=2，AC=4，則△ABC的面積是（）
A． 4 B． 4 C． 2 D． 2
6．下列說法正確的是（）
A． 對應邊都成比例的多邊形相似
B． 對應角都相等的多邊形相似
C． 邊數相同的正多邊形相似
D． 矩形都相似
7．如圖，在▱ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cos∠A的值等于（）
A． B． C． D．
8．如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點（?1，2），且與x軸交點的橫坐標分別為x1、x2，其中?2＜x1＜?1，0＜x2＜1，下列結論：
①4a?2b+c＜0；②2a?b＜0；③a＜?1；④b2+8a＞4ac．
其中正確的有（）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
9．如圖所示的二次函數y=ax2+bx+c的圖象中，劉星同學觀察得出了下面四條信息：
（1）b2?4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a?b＜0；（4）a+b+c＜0．你認為其中錯誤的有（）
A． 2個 B． 3個 C． 4個 D． 1個
10．小翔在如圖1所示的場地上勻速跑步，他從點A出發，沿箭頭所示方向經過點B跑到點C，共用時30秒．他的教練選擇了一個固定的位置觀察小翔的跑步過程．設小翔跑步的時間為t（單位：秒），他與教練的距離為y（單位：米），表示y與t的函數關系的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置可能是圖1中的（）
A． 點M B． 點N C． 點P D． 點Q
二、填空題
11．直角坐標系中，已知點A（?1，2）、點B（5，4），x軸上一點P（x，0）滿足PA+PB最短，則x=．
12．二次函數y=ax2+bx+c的圖象上部分點的對應值如下表：
x ?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3
y 6 0 ?4 ?6 ?6 ?4 0 6
則使y＜0的x的取值范圍是．
13．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC+BC=7（AC＞BC），AB=5，則tanB=．
14．如圖，一條河的兩岸有一段平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹，在北岸邊每隔50米有一根電線桿，小麗站在離南岸邊15米的點P處看北岸，發現北岸相鄰的兩根電線恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則河寬為米．
三、解答題
15．如圖，已知格點△ABC（頂點都在網格線交點處的三角形叫做格點三角形），請在圖中畫出△ABC相似的格點△A1B1C1，并使△A1B1C1與△ABC的相似比等于3．
16．給定拋物線： ．
（1）試寫出拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標；
（2）畫出拋物線的圖象．
17．身高1.6米的安心同學在某一時刻測得自己的影長為1.4米，此刻她想測量學校旗桿的高度．但當她馬上測量旗桿的影長時，發現因旗桿靠近一幢建筑物，影子一部分落在地面上，一部分落在墻上（如圖）．她先測得留在墻上的影子CD=1.2米，又測地面部分的影長BC=3.5米，你能根據上述數據幫安心同學測出旗桿的高度嗎？
18．小明的筆記本上有一道二次函數的問題：“拋物線y=x2+bx+c的圖象過點A（c，0）且不過原點，…，求證：這個拋物線的對稱軸為直線x=3”；題中省略號部分是一段被墨水污沒了的內容，無法辨認其中的文字．
（1）根據現有信息，你能否求出此二次函數的解析式？若能，請求出；若不能，請說明理由；
（2）請你把這道題補充完整．
19．為保證交通安全，汽車駕駛員必須知道汽車剎車后的停止距離（開始剎車到車輛停止車輛行駛的距離）與汽車行駛速度（開始剎車時的速度）的關系，以便及時剎車．
下表是某款車在平坦道路上路況良好時剎車后的停止距離與汽車行駛速度的對應值表：
行駛速度（千米/時） 40 60 80 …
停止距離（米） 16 30 48 …
（1）設汽車剎車后的停止距離y（米）是關于汽車行駛速度x（千米/時）的函數，給出以下三個函數：①y=ax+b；②y= （k≠0）；③y=ax2+bx，請選擇恰當的函數來描述停止距離y（米）與汽車行駛速度x（千米/時）的關系，說明選擇理由，并求出符合要求的函數的解析式；
（2）根據你所選擇的函數解析式，若汽車剎車后的停止距離為70米，求汽車行駛速度．
20．如圖，已知直線y= x與雙曲線 交于A，B兩點，且點A的橫坐標為4．
（1）求k的值；
（2）若雙曲線 上一點C的縱坐標為8，求△AOC的面積；
（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線 于P，Q兩點（P點在第一象限），若由點 A，B，P，Q為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的坐標．
21．拉桿旅行箱為人們的出行帶來了極大的方便，右圖是一種拉桿旅行箱的側面示意圖，箱體ABCD可視為矩形，其中AB為50cm，BC為30cm，點A到地面的距離AE為4cm，旅行箱與水平面AF成60°角，求箱體的最高點C到地面的距離．
22．某體育用品商店購進一批滑板，每件進價為100元，售價為130元，每星期可賣出80件．商家決定降價促銷，根據市場調查，每降價5元，每星期可多賣出20件．
（1）求商家降價前每星期的銷售利潤為多少元？
（2）降價后，商家要使每星期的銷售利潤最大，應將售價定為多少元？最大銷售利潤是多少？
23．銳角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，兩動點M，N分別在邊AB，AC上滑動，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設其邊長為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y（y＞0）
（1）△ABC中邊BC上高AD=；
（2）當x=時，PQ恰好落在邊BC上（如圖1）；
（3）當PQ在△ABC外部時（如圖2），求y關于x的函數關系式（注明x的取值范圍），并求出x為何值時y最大，最大值是多少？
安徽省蚌埠市姚山中學2015屆九年級上學期期末數學試卷
一、選擇題（40分）
1．拋物線y=?3（x?1）2+ 2的頂點坐標是（）
A． （1，2） B． （1，?2） C． （?1，2） D． （?1，?2）
考點： 二次函數的性質；二次函數的三種形式．
分析： 直接根據頂點公式的特點求頂點坐標．
解答： 解：∵y=?3（x?1）2+2是拋物線的頂點式，
∴頂點坐標為（1，2）．
故選A．
點評： 主要考查了求拋物線的頂點坐標、對稱軸及最值的方法．通常有兩種方法：
（1）公式法：y=ax2+bx+c的頂點坐標為（ ， ），對稱軸是x= ；
（2）配方法：將解析式化為頂點式y=a（x?h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是x=h．
2．在一幅長60cm，寬40cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是ycm2，設金色紙邊的寬度為xcm2，那么y關于x的函數是（）
A． y=（60+2x）（40+2x） B． y=（60+x）（40+x） C． y=（60+2x）（40+x） D． y=（60+x）（40+2x）
考點： 根據實際問題列二次函數關系式．
分析： 掛圖的面積=長×寬=（ 60+2x）（40+2x）．
解答： 解：長是：60+2x，寬是：40+2x，
由矩形的面積公式得
則y=（60+2x）（40+2x）．
故選A．
點評： 根據題意，找到所求量的等量關系是解決問題的關鍵．本題需注意長和寬的求法．
3．某閉合電路中，電源的電壓為定值，電流I（A）與電阻R（Ω）成反比例．如圖所示的是該電路中電流I與電阻R之間的函數關系的圖象，則用電阻R表示電流I的函數解析式為（）
A． I= B． I= C． I= D． I=
考點： 根據實際問題列反比例函數關系式．
專題： 跨學科．
分析： 觀察圖象，函數經過一定點，將此點坐標代入函數解析式 （k≠0）即可求得k的值．
解答： 解：設反比例函數的解析式為 （k≠0），
由圖象可知，函數經過點B（3，2），
∴2= ，得k=6，
∴反比例函數解析式為y= ．
即用電阻R表示電流I的函數解析式為I= ．
故選D．
點評： 用待定系數法確定反比例函數的比例系數k，求出函數解析式．
4．已知△ABC與△A1B1C1位似，△ABC與△A2B2C2位似，則（）
A． △A1B1C1與△A2B2C2全等
B． △A1B1C1與△A2B2C2位似
C． △A1B1C1與△A2B2C2相似但不一定位似
D． △A1B1C1與△A2B2C2不相似
考點： 位似變換．
分析： △ABC與△A1B1C1位似，△ABC與△A2B2C2位似，位似是特殊的相似，位似的兩個圖形一定形狀相同，因而△A1B1C1與△A2B2C2相似，而△ABC與△A1B1C1的位似中心與，△ABC與△A2B2C2的位似不一定是同一個點，因而△A1B1C1與△A2B2C2相似但不一定位似．
解答： 解：∵△ABC與△A1B1C1位似，△ABC與△A2B2C2位似
∴△A1B1C1與△A2B2C2相似；△A1B1C1與△A2B2C2相似但不一定位似．
故選C．
點評： 本題主要考查了位似的定義，位似是特殊的相似，特殊點是除滿足相似的性質外，還滿足特殊的位置關系．
5．△ABC中，已知∠A=30°，AB=2，AC=4，則△ABC的面積是（）
A． 4 B． 4 C． 2 D． 2
考點： 解直角三角形．
專題： 計算題．
分析： 根據面積公式S= absinC，代入數值可將△ABC的面積求解出來．
解答： 解：在△ABC中，∵∠A=30°，AB=2，AC=4，
∴S△ABC= AB×AC×sin∠A= ×4×2× =2．
故選D．
點評： 此題考查三角形的面積公式S= absinC．
6．下列說法正確的是（）
A． 對應邊都成比例的多邊形相似
B． 對應角都相等的多邊形相似
C． 邊數相同的正多邊形相似
D． 矩形都相似
考點： 相似圖形．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 根據相似圖形的定義，對選項一一分析，排除錯誤答案．
解答： 解：A、對應邊都成比例的多邊形，屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯誤；
B、對應角都相等的多邊形，屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯誤；
C、邊數相同的正多邊形，形狀相同，但大小不一定相同，故正確；
D、矩形屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯誤．
故選C．
點評： 本題考查相似變換的定義，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的是相似形．
7．如圖，在▱ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cos∠A的值等于（）
A． B． C． D．
考點： 解直角三角形；平行四邊形的性質．
專題： 計算題；壓軸題．
分析： 作出輔助線，構造直角三角形，運用三角形面積相等，求出三角形的高，然后運用sin2α+cos2α=1，根據題中所給的條件，在直角三角形中解題，由角的余弦值與三角形邊的關系求解．
解答： 解：作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E．
設DF=x，則AD=2x，
∵∠ADB=60°，
∴AF= x，
又∵AB：AD=3：2，
∴AB=3x，于是BF= x，
∴3x•DE=（ +1）x• x，
DE= x，sin∠A= ，
cos∠A= = ．
故選A．
點評： 考查三角函數的定義及三角形面積公式．
8．如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點（?1，2），且與x軸交點的橫坐標分別為x1、x2，其中?2＜x1＜?1，0＜x2＜1，下列結論：
①4a?2b+c＜0；②2a?b＜0；③a＜?1；④b2+8a＞4ac．
其中正確的有（）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
考點： 二次函數圖象與系數的關系．
分析： 首先根據拋物線的開口方向得到a＜0，拋物線交y軸于正半軸，則c＞0，而拋物線與x軸的交點中，?2＜x1＜?1，0＜x2＜1，說明拋物線的對稱軸在?1～0之間，即x=? ＞?1，根據這些條件以及函數圖象上一些特殊點的坐標來進行判斷．
解答： 解：由圖知：拋物線的開口向下，則a＜0；拋物線的對稱軸x=? ＞?1，且c＞0．
①由圖可得：當x=?2時，y＜0，即4a?2b+c＜0，故①正確；
②已知x=? ＞?1，且a＜0，所以2a?b＜0，故②正確 ；
③已知拋物線經過（?1，2），即a?b+c=2（1），由圖知：當x=1時，y＜0，即a+b+c＜0（2），由①知：4a?2b+c＜0（3）；
聯立（1）（2），得：a+c＜1；聯立（1）（3）得：2a?c＜?4；
故3a＜?3，即a＜?1；所以③正確；
④由于拋物線的對稱軸大于?1，所以拋物線的頂點縱坐標應該大于2，即： ＞2，
由于a＜0，所以4ac?b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正確；
因此正確的結論是①②③④．
故選D．
點評： 本題主要考查對二次函數圖象與系數的關系，拋物線與x軸的交點，二次函數圖象上點的坐標特征等知識點的理解和掌握，能根據圖象確定與系數有關的式子的正負是解此題的關鍵．
9．如圖所示的二次函數y=ax2+bx+c的圖象中，劉星同學觀察得出了下面四條信息：
（1）b2?4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a?b＜0；（4）a+b+c＜0．你認為其中錯誤的有（）
A． 2個 B． 3個 C． 4個 D． 1個
考點： 二次函數圖象與系數的關系．
專題： 壓軸題；函數思想．
分析： 由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與1的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
解答： 解：（1）根據圖示知，該函數圖象與x軸有兩個交點，
∴△=b2?4ac＞0；
故本選項正確；
（2）由圖象知，該函數圖象與y軸的交點在點（0，1）以下，
∴c＜1；
故本選項錯誤；
（3）由圖示，知
對稱軸x=? ＞?1；
又函數圖象的開口方向向下，
∴a＜0，
∴?b＜?2a，即2a?b＜0，
故本選項正確；
（4）根據圖示可知，當x=1，即y=a+b+c＜0，
∴a+b+c＜0；
故本選項正確；
綜上所述，我認為其中錯誤的是（2），共有1個；
故選D．
點評： 主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用．
10．小翔在如圖1所示的場地上勻速跑步，他從點A出發，沿箭頭所示方向經過點B跑到點C，共用時30秒．他的教練選擇了一個固定的位置觀察小翔的跑步過程．設小翔跑步的時間為t（單位：秒），他與教練的距離為y（單位：米），表示y與t的函數關系的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置可能是圖1中的（）
A． 點M B． 點N C． 點P D． 點Q
考點： 動點問題的函數圖象．
專題： 應用題；壓軸題．
分析： 分別假設這個位置在點M、N、P、Q，然后結合函數圖象進行判斷．利用排除法即可得出答案．
解答： 解：A、假設這個位置在點M，則從A至B這段時間，y不隨時間的變化改變，與函數圖象不符，故本選項錯誤；
B、假設這個位置在點N，則從A至C這段時間，A點與C點對應y的大小應該相同，與函數圖象不符，故本選項錯誤；
C、 ，
假設這個位置在點P，則由函數圖象可得，從A到C的過程中，會有一個時刻，教練到小翔的距離等于經過30秒時教練到小翔的距離，而點P不符合這個條件，故本選項錯誤；
D、經判斷點Q符合函數圖象，故本選項正確；
故選：D．
點評： 此題考查了動點問題的函數圖象，解答本題要注意依次判斷各點位置的可能性，點P的位置不好排除，同學們要注意仔細觀察．
二、填空題
11．直角坐標系中，已知點A（?1，2）、點B（5，4），x軸上一點P（x，0）滿足PA+PB最短，則x=1．
考點： 軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質．
專題： 待定系數法．
分析： 先畫出直角坐標系，標出A、B點的坐標，再求出A點關于x軸的對稱點A′，連接A′B ，交x軸于點P，則P即為所求點，用待定系數法求出過A′B兩點的直線解析式，求出此解析式與x軸的交點坐標即可．
解答： 解：作點A關于x軸的對稱點A′，連接A′B，設過A′B的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
則 ，
解得 ，
故此直線的解析式 為：y=x?1，
當y=0時，x=1．
故答案為：1．
點評： 本題考查的是最短線路問題及用待定系數法求一次函數的解析式，熟知軸對稱的性質及一次函數的相關知識是解答此題的關鍵．
12．二次函數y=ax2+bx+c的圖象上部分點的對應值如下表：
x ?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3
y 6 0 ?4 ?6 ?6 ?4 0 6
則使y＜0的x的取值范圍是?3＜x＜2．
考點： 二次函數與不等式（組）．
分析： 根據圖表信息判斷出二次函數圖象開口向下，然后寫出函數值小于0的x的取值范圍即可．
解答： 解：由表可知，拋物線開口向下，
∵x=?3，x=2時，y=0，
∴使y＜0的x的取值范圍是?3＜x＜2．
故答案為：?3＜x＜2．
點評： 本題考查了二次函數與不等式，熟練掌握二次函數的性質并準確識別數據信息是解題的關鍵．
13．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC+BC=7（AC＞BC），AB=5，則tanB= ．
考點： 勾股定理；銳角三角函數的定義．
分析： 由勾股定理及AC+BC=7可求出AC、BC的值，根據三角函數定義求解．
解答： 解：∵△ABC中，∠C=90°，AC+BC=7，
∴AC=7?BC．
∵AB2=AC2+BC2
∴25=（7?BC）2+BC2
∴BC=3或BC=4．
∵AC＞BC，
∴BC=3，AC=4．tanB= ．
點評： 本題需仔細分析圖形，利用勾股定理結合方程即可解決問題．
14．如圖，一條河的兩岸有一段平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹，在北岸邊每隔50米有一根電線桿，小麗站在離南岸邊15米的點P處看北岸，發現北岸相鄰的兩根電線恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則河寬為22.5米．
考點： 相似三角形的應用．
分析： 根據題意，河兩岸平行，故可根據平行線分線段成比例來解決問題，列出方程，求解即可．
解答： 解：如圖，設河寬為h，
∵AB∥CD
由平行線分線段成比例定理得： = ，
解得：h=22.5，
∴河寬為22.5米．
故答案為：22.5．
點評： 本題考查的是相似三角形的應用，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．
三、解答題
15．如圖，已知格點△ABC（頂點都在網格線交點處的三角形叫做格點三角形），請在圖中畫出△ABC相似的格點△A1B1C1，并使△A1B1C1與△ABC的相似比等于3．
考點： 作圖—相似變換．
專題： 作圖題；網格型．
分析： 利用相似三角形的性質，對應邊的相似比相等，對應角相等，可以讓各邊長都放大到原來的3倍，得到新三角形．當然也可以縮小到原來3倍．
解答： 解：
點評： 本題主要考查了相似三角形的畫法，注意做這類題時的關鍵是對應邊相似比相等，對應角 相等．
16．給定拋物線： ．
（1）試寫出拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標；
（2） 畫出拋物線的圖象．
考點： 二次函數的性質；二次函數的圖象．
分析： （1）此題既可以利用y=ax2+bx+c的頂點坐標公式求得頂點坐標，也可以利用配方法求出頂點的坐標；
（2）用描點法畫圖象．
解答： 解：（1）y= x2+2x+1
= （x2+4x+4?4）+1
= （x+2）2?1
∵a＞0，
∴拋物線的開口方向向上，
對稱軸x=?2，頂點坐標（?2，?1）；
（2）如圖，
x … ?5 ?4 ?3 ?2 ?1 0 1 …
y … 3.5 1 ?0.5 ?1 ?0.5 1 3.5 …
圖象為 ．
點評： 考查拋物線的性質以及求頂點坐標、對稱軸的方法．
17．身高1.6米的安心同學在某一時刻測得自己的影長為1.4米，此刻她想測量學校旗桿的高度．但當她馬上測量旗桿的影長時，發現因旗桿靠近一幢建筑物，影子一部分落在地面上，一部分落在墻上（如圖）．她先測得留在墻上的影子CD=1.2米，又測地面部分的影長BC=3.5米，你能根據上述數據幫安心同學測出旗桿的高度嗎？
考點： 相似三角形的應用．
專題： 應用題；轉化思想．
分析： 此題是實際應用題，解題的關鍵是將實際問題轉化為數學問題解答，此題要借助于相似三角形的性質，相似三角形的對應邊成比例．
解答： 解：過點C作CE∥AD交AB于點E，
∵AE∥CD，EC∥AD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AE=CD=1.2米，
又在平行投影中，同一時刻物長與影長成比例，
∴ ，
即BE=3.5× =4．
∴AB=AE+EB=1.2+4=5.2米．
點評： 本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求出旗桿AB的高度．
18．小明的筆記本上有一道二次函數的問題：“拋物線y=x2+bx+c的圖象過點A（c，0）且不過原點，…，求證：這個拋物線的對稱軸為直線x=3”；題中省略號部分是一段被墨水污沒了的內容，無法辨認其中的文字．
（1）根據現有信息，你能否求出此二次函數的解析式？若能，請求出；若不能，請說明理由；
（2）請你把這道題補充完整．
考點： 二次函數的性質．
專題： 開放型．
分析： （1）不能唯一確定這個二次函數解析式，因為拋物線y=x2+bx+c的圖象過點A（c，0）且不過原點，所以c2+bc+c=0，c≠0，即得b+c+1=0，再沒有其他信息確定，所以不能；
（2）因為這個拋物線的對稱軸為直線x=3，所以? =3．由此可以確定a、b、c之間的關系．可以補充能夠確定c的條件即可．
解答： 解：（1）既然結論正確，
就可由 ，若a=1，則b=?6，
∴y=x2?6x+c，
即y=（x?3）2+c?9，
∵圖象不經過原點，
所以c≠9，因此根據現有信息要唯一確定這個二次函數解析式是不行的；
（2）可以補充條件：①拋物線與x軸的交點坐標為B（1，0）和C（5，0）；
②拋物線經過點（4，2）并且有最小值1．（答案不唯一）
點評： 此題是開放性試題，考查函數圖形及性質的綜合運用，對考查學生所學函數的深入理解、掌握程度具有積極的意義，其解答思路滲透了數形結合的數學思想．
19．為保證交通安全，汽車駕駛員必須知道汽車剎車后的停止距離（開始剎車到車輛停止車輛行駛的距離）與汽車行駛速度（開始剎車時的速度）的關系，以便及時剎車．
下表是某款車在平坦道路上路況 良好時剎車后的停止距離與汽車行駛 速度的對應值表：
行駛速度（千米/時） 40 60 80 …
停止距離（米） 16 30 48 …
（1）設汽車剎車后的停止距離y（米）是關于汽車行駛速度x（千米/時）的函數，給出以下三個函數：①y=ax+b；②y= （k≠0）；③y=ax2+bx，請選擇恰當的函數來描述停止距離y（米）與汽車行駛速度x（千米/時）的關系，說明選擇理由，并求出符合要求的函數的解析式；
（2）根據你所選擇的函數解析式，若汽車剎車后的停止距離為70米，求汽車行駛速度．
考點： 二次函數的應用；反比例函數的應用．
專題： 計算題．
分析： （1）分情況討論，y和x是一次函數或反比例或二次函數，所以有三種情況，再根據題已知數據，由待定系數法求出函數解析式，再根據二次函數及正比例函數的性質，描述其增減性，從而求解．
（2）根據第一問求得的解析式，把y=70代入解析式，解一元二次方程，求出方程的根，從而求出自變量的值．
解答： 解：（1）若選擇y=ax+b，把x=40，y=16與x=60，y=30分別代入得，
16=40a+b，30=60a+b，
解得a=0.7，b=?12，
而把x=80代入y=0.7x?12得y=44＜48，
所以選擇y=ax+b不恰當；
若選擇y= （k≠0），由x，y對應值表看出y隨x的增大而增大，
而y= （k≠0）在第一象限y隨x的增大而減小，所以不恰當；
若選擇y=ax2+bx，把x=40，y=16與x=60，y=30分別代入得，
16=1600a+40b，30=3600a+60b，
解得，a=0.005，b=0.2，
而把x=80代入y=0.005x2+0.2x得y=48成立，
所以選擇y=ax2+bx恰當，
解析式為y=0.005x2+0.2x．
（2）把y=70代入y=0.005x2+0.2x得70=0.005x2+0.2x，
即x2+40x?14000=0，
解得x=100或x=?140（舍去），
所以，當停止距離為70米，汽車行駛速度為100千米/時．
點評： 此題二次函數的性質及應用，還考查反比例函數的增減性，解此題的關鍵是把實際問題轉化為數學問題，只要把實際問題抽象函數中，即可解答．
20．如圖，已知直線y= x與雙曲線 交于A，B兩點，且點A的橫坐標為4．
（1）求k的值；
（2）若雙曲線 上一點C的縱坐標為8，求△AOC的面積；
（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線 于P，Q兩點（P點在第一象限），若由點A，B，P，Q為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的坐標．
考點： 反比例函數綜合題．
專題： 綜合題；壓軸題．
分析： （1）先根據直線的解析式求出A點的坐標，然后將A點坐標代入雙曲線的解析式中即可求出k的值；
（2）由（1）得出的雙曲線的解析式，可求出C點的坐標，由于△AOC的面積無法直接求出，因此可通過作輔助線，通過其他圖形面積的和差關系來求得．（解法不唯一）；
（3）由于雙曲線是關于原點的中心對稱圖形，因此以A、B、P、Q為頂點的四邊形應該是平行四邊形，那么△POA的面積就應該是四邊形面積的四分之一即6．可根據雙曲線的解析式設出P點的坐標，然后參照（2）的三角形面積的求法表示出△POA的面積，由于△POA的面積為6，由此可得出關于P點橫坐標的方程，即可求出P點的坐標．
解答： 解：（1）∵點A橫坐標為4，
把x=4代入y= x中
得y=2，
∴A（4，2），
∵點A是直線y= x與雙曲線y= （k＞0）的交點，
∴k=4×2=8；
（2）解法一：如圖，
∵點C在雙曲線上，
當y=8時，x=1，
∴點C的坐標為（1，8）．
過點A、C分別做x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，得矩形DMON．
∵S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4．
∴S△AOC=S矩形ONDM?S△ONC?S△CDA?S△OAM=32?4?9?4=15；
解法二：如圖，
過點C、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，
∵點C在雙曲線 上，
當y=8時，x=1，
∴點 C的坐標為（1，8）．
∵點C、A都在雙曲線 上，
∴S△COE=S△AOF=4，
∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF．
∴S△COA=S梯形CEFA．
∵S梯形CEFA= ×（2+8）×3=15，
∴S△COA=15；
（3）∵反比例函數圖象是關于原點O的中心對稱圖形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四邊形APBQ是平行四邊形，
∴S△POA=S平行四邊形APBQ× = ×24=6，
設點P的橫坐標為m（m＞0且m≠4），
得P（m， ），
過點P、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，
∵點P、A在雙曲線上，
∴S△POE=S△AOF=4，
若0＜m＜4，如圖，
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴ （2+ ）•（4?m）=6．
∴m1=2，m2=?8（舍去），
∴P（2，4）；
若m＞4，如圖，
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴ （2+ ）•（m?4）=6，
解得m1=8，m2=?2（舍去），
∴P（8，1）．
∴點P的坐標是P（2，4）或P（8，1）．
點評： 本題考查反比例解析式的確定和性質、圖形的面積求法、函數圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．難點是不規則圖形的面積通常轉化為規則圖形的面積的和差來求解．
21．拉桿旅行箱為人們的出行帶來了極大的方便，右圖是一種拉桿旅行箱的側面示意圖，箱體ABCD可視為矩形，其中AB為50cm，BC為30cm，點A到地面的距離AE為4cm，旅行箱與水平面AF成60°角，求箱體的最高點C到地面的距離．
考點： 解直角三角形的應用．
分析： 如圖，過點B、A分別作地面的平行線a、b．過C作CM⊥a于點M，過點B作BN⊥b于點N．在直角△BCM、△ABN中利用三角函數分別求得CM、BN的長，則點C到地面的高度是：CM+BN+AE．
解答： 解：如圖，過點B、A分別作地面的平行線a、b．過C作CM⊥a于點M，過點B作BN⊥b于點N．
在直角△ABN中，AB=50cm，∠BAN=60°，則BN=AB•sin60°=25 cm．
在直角△BCM中，易求∠CBM=30°，則CM= BC=15cm．
所以，點C到地面的高度是：CM+BN+AE=15+25 +4=19+25 （cm）．
答：箱體的最高點C到地面的距離是（19+25 ）cm．
點評： 此題考查了三角函數的基本概念，主要是正弦概念及運算，關鍵把實際問題轉化為數學問題加以計算．
22．某體育用品商店購進一批滑板，每件進價為100元，售價為130元，每星期可賣出80件．商家決定降價促銷，根據市場調查，每降價5元，每星期可多賣出20件．
（1）求商家降價前每星期的銷售利潤為多少元？
（2）降價后，商家要使每星期的銷售利潤最大，應將售價定為多少元？最大銷售利潤是多少？
考點： 二次函數的應用．
專題： 壓軸題．
分析： （1）已知原每天利潤為130?100，每星期可賣出80件，則（130?100）×80=2400元．
（2）設將售價定為x元，則銷售利潤為y=（x?100）（80+ ×20）=?4（x?125）2+2500，故可求出y的最大值．
解答： 解：（1）（130?100）×80=2400（元）；
∴商家降價前每星期的銷售利潤為2400元；
（2）設應將售價定為x元，
則銷售利潤y=（x?100）（80+ ×20）
=?4x2+1000x?60000=?4（x?125）2+2500．
當x=125時，y有最大值2500．
∴應將售價定為125元，最大銷售利潤是2500元．
點評： 本題考查的是二次函數的應用．求二次函數的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．
23．銳角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，兩動點M，N分別在邊AB，AC上滑動，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設其邊長為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y（y＞0）
（1）△ABC中邊BC上高AD=4；
（2）當x=2.4時，PQ恰好落在邊BC上（如圖1）；
（3）當PQ在△ABC外部時（如圖2），求y關于x的函數關系式（注明x的取值范圍），并求出x為何值時y最大，最大值是多少？
考點： 二次函數綜合題；矩形的性質；相似三角形的判定與性質．
專題： 壓軸題．
分析： （1）本題利用矩形的性質和相似三角形的性質，根據MN∥BC，得△AMN∽△ABC，求出△ABC中邊BC上高AD的長度．
（2）因為正方形的位置在變化，但是△AMN∽△ABC沒有改變，利用相似三角形對應邊上高的比等于相似比，得出等量關系，代入解析式，
（3）用含x的式子表示矩形MEFN邊長，從而求出面積的表達式．
解答： 解：（1）由BC=6，S△ABC=12，得AD=4；
（2）當PQ恰好落在邊BC上時，
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．
∴ ，
即 = ，x=2.4（或 ）；
（3）設BC分別交MP，NQ于E，F，則四邊形MEFN為矩形．
設ME=NF=h，AD交MN于G（如圖2）GD=NF=h，AG=4?h．
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴ ，即 ，
∴ ．
∴y=MN•NF=x（? x+4）=? x2+4x（2.4＜x＜6），
配方得：y=? （x?3）2+6．
∴當x=3時，y有最大值，最大值是6．
點評： 本題結合相似三角形的性質及矩形面積計算方法，考查二次函數的綜合應用，解題時，要始終抓住相似三角形對應邊上高的比等于相似比，表示相關邊的長度．
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