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                第二十六章二次函數章末測試（三）

                                           總分120分120分鐘  
一．選擇題（共8小題，每題3分）
1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點（1，0）和點（0，?2），且頂點在第三象限，設P=a?b+c，則P的取值范圍是（　�。�
 
A． ?4＜P＜0 B． ?4＜P＜?2 C． ?2＜P＜0 D． ?1＜P＜0
2．若一次函數y=ax+b（a≠0）的圖象與x軸的交點坐標為（?2，0），則拋物線y=ax2+bx的對稱軸為（　　）
A． 直線x=1 B． 直線x=?2 C． 直線x=?1 D． 直線x=?4
3．二次函數y=x2?4x+5的最小值是（　�。�
A． ?1 B． 1 C． 3 D． 5
4．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（　　）
 
A． a＞0 B． 3是方程ax2+bx+c=0的一個根
C． a+b+c=0 D． 當x＜1時，y隨x的增大 而減小
5．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論正確的是（　�。�
 
A． a＜0 B． b2?4ac＜0 C． 當?1＜x＜3時，y＞0 D． ?
6．若正比例函數y=mx（m≠0），y隨x的增大而減小，則它和二次函數y=mx2+m的圖象大致是（　�。�
A．   B．   C．   D． 
7．將拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得拋物線為（　�。�
A． y=3（x?2）2?1 B． y=3（x?2）2+1 C． y=3（x+2）2?1 D． y=3（x+2）2+1
8．如圖是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為x=?1，且過點（?3，0）．下列說法：①abc＜0；②2a?b=0；③4a+2b+c＜0；④若（?5，y1），（ ，y2）是拋物線上兩點，則
y1＞y2．其中說法正確的是（　�。�
 
A． ①② B． ②③ C． ①②④ D． ②③④
二．填空題（共8小題，每題3分）
9．在平面直角坐標系中，把拋物線y=? x2+1向上平移3個單位，再向左平移1個單位，則所得拋物線的解析式是　_________�。�
10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函數，那么a的取值范圍是　_________�。�
11．把拋物線y=x2+4x+5改寫成y=（x+h）2+k的形式為　_________　，其頂點坐標為 　_________　

12．二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結論：
①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若?1＜m＜n＜1，則m+n＜? ；④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正確的結論是　_________�。▽懗瞿阏J為正確的所有結論序號）．
 
13．如圖，拋物線的頂點為P（?2，2），與y軸交于點A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，?2），點A的對應點為A′，則拋物線上PA段掃過的區域（陰影部分）的面積為　_________　．
 
14．已知二次函數的y=ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖所示，有下列5個結論：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的實數），其中正確結論的番號有　_________�。�
 
三．解答題（共10小題）
15（6分）．已知 是x的二次函數，求出它的解析式．
16．（6分）如果函數y=（m?3） +mx+1是二次函數，求m的值．

17．（6分）已知二次函數y= ．
（1）用配方法求出該函數圖象的頂點坐標和對稱軸；
（2）在平面直角坐標系中畫出該函數的大致圖象．
 

18．（8分）已知
（1）把它配方成y=a（x?h）2+k形式，寫出它的開口方向、頂點M的坐標；
（2）作出函數圖象；（填表描出五個關鍵點）
（3）結合圖象回答：當x取何值，y＞0，y=0，y＜0．
 

19．（8分）已知二次函數y=x2+bx+c中函數y與自變量x之間的部分對應值如下表所示，點A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數圖象上，當0＜x1＜1，2＜x2＜3時，則y1　_________　y2（填“＞”或“＜”）．
x … 0 1 2 3 …
y … 1 ?2 ?3 ?2 …
20．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（?1，0）和B（3，0）兩點，交y軸于點E．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）若直線y=x+1與拋物線交于A、D兩點，與y軸交于點F，連接DE，求△DEF的面積．
 
20（8分）．如圖，二次函數y=ax2?4x+c的圖象經過坐標原點，與x軸交于點A（?4，0）．
（1）求二次函數的解析式；
（2）在拋物線上存在點P，滿足S△AOP=8，請直接寫出點P的坐標．
 
21．（8分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點E．
（1）連接AE，當△APE與△ADE全等時，求BP的長；
（2）若設BP為x，CE為y，試確定y與x的函數關系式．當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，試求出此時BP的長．
 
22．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動．
（1）求AC、BC的長；
（2）設點P的運動時間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當△PBQ存在時，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由；
（4）當x=5秒時 ，在直線PQ上是否存在一點M，使△BCM得周長最�。咳舸嬖�，求出最小周長；若不存在，請說明理由．
 

23．（10分）如圖，拋物線y=x2+bx+c過點A（?4，?3），與y軸交于點B，對稱軸是x=?3，請解答下列問題：
（1）求拋物線的解析式．
（2）若和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點，點C在對稱軸左側，且CD=8，求△BCD的面積．
注：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=? ．
 

24．（10分）如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）求拋物線的頂點坐標和對稱軸；
（3）把拋物線向上平移，使得頂點落在x軸上，直接寫出兩條拋物線、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積S（圖②中陰影部分）．
 

       第二十六章二次函數章末測試（三）
參考答案與試題解析

一．選擇題（共8小題）
1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點（1，0）和點（0，?2），且頂點在第三象限，設P=a?b+c，則P的取值范圍是（　　）
 
A． ?4＜P＜0 B． ?4＜P＜?2 C． ?2＜P＜0 D． ?1＜P＜0

考點： 二次函數圖象與系數的關系．
專題： 壓軸題．
分析： 求出a＞0，b＞0，把 x=1代入求出a=2?b，b=2?a，把x=?1代入得出y=a?b+c=2a?4，求出2a?4的范圍即可．
解答： 解：∵二次函數的圖象開口向上，
∴a＞0，
∵對稱軸在y軸的左邊，
∴? ＜0，
∴b＞0，
∵圖象與y軸的交點坐標是（0，?2），過（1，0）點，
代入得：a+b?2=0，
∴a=2?b，b=2?a，
∴y=ax2+（2?a）x?2，
把x=?1代入得：y=a?（2?a）?2=2a?4，
∵b＞0，
∴b=2?a＞0，
∴a＜2，
∵a＞0，
∴0＜a＜2，
∴0＜2a＜4，
∴?4＜2a?4＜0，
即?4＜P＜0，
故選A．
點評： 本題考查了二次函數的圖象與系數的關系：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=? ；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）．

2．若一次函數y=ax+b（a≠0）的圖象與x軸的交點坐標為（?2，0），則拋物線y=ax2+bx的對稱軸為（　�。�
A． 直線x=1 B． 直線x=?2 C． 直線x=?1 D． 直線x=?4

考點： 二次函數的性質；一次函數圖象上點的坐標特征．
分析： 先將（?2，0）代入一次函數解析式y=ax+b，得到?2a+b=0，即b=2a，再根據拋物線y=ax2+bx的對稱軸為直線x=? 即可求解．
解答： 解：∵一次函數y= ax+b（a≠0）的圖象與x軸的交點坐標為（?2，0），
∴?2a+b=0，即b=2a，
∴拋物線y=ax2+bx的對稱軸為直線x=? =?1．
故選C．
點評： 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征及二次函數的性質，難度適中．用到的知識點：
點在函數的圖象上，則點的坐標滿足函數的解析式；
二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=? ．

3．二 次函數y=x2?4x+5的最小值是（　�。�
A． ?1 B． 1 C． 3 D． 5

考點： 二次函數的最值．
分析： 先利用配方法將二次函數的一般式y=x2?4x+5變形為頂點式，再根據二次函數的性質即可求出其最小值．
解答： 解：配方得：y=x2?4x+5=x2?4x+22+1=（x?2）2+1，
當x=2時，二次函數y=x2?4x+5取得最小值為1．
故選B．
點評： 本題考查了二次函數最值的求法，求二次函數的最大（�。┲涤腥�種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．

4．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（　　）
 
A． a＞0 B． 3是方程ax2+bx+c=0的一個根
C． a+b+c=0 D． 當x＜1時，y隨x的增大而減小

考點： 二次函數圖象與系數的關系；二次函數的性質．
專題： 壓軸題．
分析： 根據拋物線的開口方向可得a＜0，根據拋物線對稱軸可得方程ax2+bx+c=0的根為x=?1，x=3；根據圖象可得x=1時，y＞0；根據拋物線可直接得到x＜1時，y隨x的增大而增大．
解答： 解：A、因為拋物線開口向下，因此a＜0，故此選項錯誤；
B、根據對稱軸為x=1，一個交點坐標為（?1，0）可得另一個與x軸的交點坐標為（3，0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一個根，故此選項正確；
C、把x=1代入二次函數y=ax2+bx+c（ a≠0）中得：y=a+b+c，由圖象可得，y＞0，故此選項錯誤；
D、當x＜1時，y隨x的增大而增大，故此選項錯誤；
故選：B．
點評： 此題主要考查了二次函數圖象與系數的關系，關鍵是從拋物線中的得到正確信息．
①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大�。�
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小．
②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置．
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）
③常數項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點個數．△=b2?4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2?4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2?4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．

5．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論正確的是（　　）
 
A． a＜0 B． b2?4ac＜0 C． 當?1＜x＜3時，y＞0 D． ?

考點： 二次函數圖象與系數的關系．
專題： 壓軸題；存在型．
分析： 根據二次函數的圖象與系數的關系對各選項進行逐一分析即可．
解答： 解：A、∵拋物線的開口向上，∴a＞0，故本選項錯誤；
B、∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴△=b2?4ac＞0，故本選項錯誤；
C、由函數圖象可知，當?1＜x＜3時，y＜0，故本選項錯誤；
D、∵拋物線與x軸的兩個交點分別是（?1，0），（3，0），∴對稱軸x=? = =1，故本選項正確．
故選D．
點評： 本題考查的是二次函數的圖象與系數的關系，能利用數形結合求解是解答此題的關鍵．

6．若正比例函數y=mx（m≠0），y隨x的增大而減小，則它和二次函數y=mx2+m的圖象大致是（　 �。�
A．   B．   C．   D． 

考點： 二次函數的圖象；正比例函數的圖象．
專題： 壓軸題．
分析： 根據正比例函數圖 象的性質確定m＜0，則二次函數y=mx2+m的圖象開口方向向下，且與y軸交于負半軸．
解答： 解：∵正比例函數y=mx（m≠0），y隨x的增大而減小，
∴該正比例函數圖象經過第二、四象限，且m＜0．
∴二次函數y=mx2+m的圖象開口方向向下，且與y軸交于負半軸．
綜上所述，符合題意的只有A選項．
故選A．
點評： 本題考查了二次函數圖象、正比例函數圖象．利用正比例函數的性質，推知m＜0是解題的突破口．

7．將拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得拋物線為（　　）
A． y=3（x?2）2?1 B． y=3（x?2）2+1 C． y=3（x+2）2?1 D． y=3（x+2）2+1

考點： 二次函數圖象與幾何變換．
專題： 壓軸題．
分析： 先求出平移后的拋物線的頂點坐標，再利用頂點式寫出拋物線解析式即可．
解答： 解：拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位后的拋物線頂點坐標為（?2，?1），
所得拋物線為y=3（x+2）2?1．
故選C．
點評： 本題考查了二次函數圖象與幾何變換，求出平移后的拋物線的頂點坐標是解題的關鍵．

8．如圖是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為x=?1，且過點（?3，0）．下列說法：①abc＜0；②2a?b=0；③4a+2b+c＜0；④若（?5，y1），（ ，y2）是拋物線上兩點，則
y1＞y2．其中說法正確的是（　�。�
 
A． ①② B． ②③ C． ①②④ D． ②③④

考點： 二次函數圖象與系數的關系．
專題： 壓軸題．
分析： 根據圖象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判斷①②；把x=2代入拋物線的解析式即可判斷③，求出點（?5，y1）關于對稱軸的對稱點的坐標是（3，y1），根據當x＞?1時，y隨x的增大而增大即可判斷④．
解答： 解：∵二次函數的圖象的開口向上，
∴a＞0，
∵二次函數的圖象y軸的交點在y軸的負半軸上，
∴c＜0，
∵二次函數圖象的對稱軸是直線x=?1，
∴? =?1，
∴b=2a＞0，
∴abc＜0，∴①正確；
2a?b=2a?2a=0，∴②正確；
∵二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為x=?1，且過點（?3，0）．
∴與x軸的另一個交點的坐標是（1，0），
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③錯誤；
∵二次函數y=ax2+bx+c圖象的對稱軸為x=?1，
∴點 （?5，y1）關于對稱軸的對稱點的坐標是（3，y 1），
根據當x＞?1時，y隨x的增大而增大，
∵ ＜3，
∴y2＜y1，∴④正確；
故選C．
點評： 本題考查了二次函數的圖象與系數的關系的應用，題目比較典型，主要考查學生的理解能力和辨析能力．

二．填空題（共8小題）
9．在平面直角坐標系中，把拋物線y=? x2+1向上平移3個單位，再向左平移1個單位，則所得拋物線的解析式是　y=? （x+1）2+4�。�

考點： 二次函數圖象與幾何變換．
分析： 先求出原拋物線的頂點坐標，再根據向左平移橫坐標減，向上平移縱坐標加求出平移后的拋物線的頂點坐標，然后寫出拋物線解析式即可．
解答： 解：∵拋物線y=? x2+1的頂點坐標為（0，1），
∴向上平移3個單位，再向左平移1個單位后的拋物線的頂點坐標為（?1，4），
∴所得拋物線的解析式為y=? （x+1）2+4．
故答案為y=? （x+1）2+4．
點評： 本題主要考查的了二次函數圖象與幾何變換，利用頂點坐標的平移確定函數圖象的平移可以使求解更簡便，平移規律“左加右減，上加下減”．

10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函數，那么a的取值范圍是　a≠?1�。�

考點： 二次函數的定義．
分析： 根據二次函數的定義條件列出不等式求解即可．
解答： 解：根據二次函數的定義可得a+1≠0，
即a≠?1．
故a的取值范圍是a≠?1．
點評： 本題考查二次函數的定義．

11．把拋物線y=x2+4x+5改寫成y=（x+h）2+k的形式為　頂點式　，其頂點坐標為�。�?h，k）�。�

考點： 二次函數的三種形式．
專題： 數形結合．
分析： 從拋物線的一般式到頂點式 ，則頂點為相應為括號內常數項的相反數為橫坐標，最后的常數項即為坐標的縱坐標．
解答： 解：由題意知頂點式體現頂點坐標，
所以填：頂點式，
由題意知：坐標為（?h，k）
故答案為頂點式，（?h，k）．
點評： 本題考查了二次函數的頂點式，從拋物線的一般式開始，則頂點式即為括號內橫坐標的相反數，縱坐標即為函數的常數項．

12．二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結論：
①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若?1＜m＜n＜1，則m+n＜? ；④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正確的結論是�、佗邰堋。▽懗瞿阏J為正確的所有結論序號）．
 

考點： 二次函數圖象與系數的關系．
專題： 壓軸題．
分析： 分別根據二次函數開口方向以及對稱軸位置和圖象與y軸交點得出a，b，c的符號，再利用特殊值法分析得出各選項．
解答： 解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∴2a＜0，
對稱軸x=? ＞1，?b＜2a，∴2a+b＞0，故選項①正確 ；
∵?b＜2a，∴b＞?2a＞0＞a，
令拋物線解析式為y=? x2+bx? ，
此時a=c，欲使拋物線與x軸交點的橫坐標分別為 和2，
則 =? ，
解得：b= ，
∴拋物線y=? x2+ x? ，符合“開口向下，與x軸的一個交點的橫坐標在0 與1之間，
對稱軸在直線x=1右側”的特點，而此時a=c，（其實a＞c，a＜c，a=c都有可能），
故②選項錯誤；
∵?1＜m＜n＜1，?2＜m+n＜2，
∴拋物線對稱軸為：x=? ＞1， ＞2，m+n ，故選項③正確；
當x=1時，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞?2b，∴?3a?c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0，
∴3|a|+|c|=?3a?c＜2b=2|b|，故④選項正確．
故答案為：①③④．
點評： 此題主要考查了二次函數圖象與系數的關系，利用特殊值法求出m+n的取值范圍是解題關鍵．

13．如圖，拋物線的頂點為P（?2，2），與y軸交于點A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，?2），點A的對應點為A′，則拋物線上PA段掃過的區域（陰影部分）的面積為　12�。�
 

考點： 二次函數圖象與幾何變換．
專題： 壓軸題．
分析： 根據平移的性質得出四邊形APP′A′是平行四邊形，進而得出AD，PP′的長，求出面積即可．
解答： 解：連接AP，A′P′，過點A作AD⊥PP′于點D，
由題意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，
∴四邊形APP′A′是平行四邊形，
∵拋物線的頂點為P（?2，2），與y軸交于點A（0，3），平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，?2），
∴PO= =2 ，∠AOP=45°，
∴PP′= 2 ×2=4 ，
∴AD=DO= ×3= ，
∴拋物線上PA段掃過的區域（陰影部分）的面積為：4 × =12．
故答案為：12．
 
點評： 此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換以及平行四邊形面積求法和勾股定理等知識，根據已知得出AD，PP′是解題關鍵．

14．已知二次函數的y=ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖所示，有下列5個結論：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的實數），其中正確結論的番號有�、佗邰堋。�
 

考點： 二次函數圖象與系數的關系．
專題： 壓軸題．
分析： 由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
解答： 解：①由圖象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此選項正確；
②當x=?1時，y=a?b+c＜0，即b＞a+c，錯誤；
③由對稱知，當x=2時，函數值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此選項正確；
④當x=3時函數值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=? =1，
即a=? ，代入得9（? ）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此選項正確；
⑤當x=1時，y的值最大．此時，y=a+b+c，
而當x=m時，y=am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此選項錯誤．
故①③④正確．
故答案為：①③④．
點評： 此題主要考查了圖象與二次函數系數之間的關系，二次函數y=ax2+bx+c系數符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數確定．

三．解答題（共11小題）
15．已知 是x的二次函數，求出它的解析式．
考點： 二次函數的定義．
分析： 根據二次函數的定義列出不等式求解即可．
解答： 解：根據二次函數的定義可得：m2?2m?1=2，且m2?m≠0，
解得，m=3或m=?1；
當m=3時，y=6x2+9；
當m=?1時，y=2x2?4x+1；
綜上所述，該二次函數的解析式為：y=6x2+9或y=2x2?4x+1．
點評： 本題考查二次函數的定義．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）也叫做二次函數的一般形式．

16．如果函數y=（m?3） +mx+1是二次函數，求m的值．

考點： 二次函數的定義．
專題： 計算題．
分析： 根據二次函數的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，即可答題．
解答： 解：根據二次函數的定義：m2?3m+2=2，且m?3≠0，
解得：m=0．
點評： 本題考查了二次函數的定義，屬于基礎題，比較簡單，關鍵是對二次函數定義的掌握．

17．已知二次函數y= ．
（1）用配方法求出該函數圖象的頂點坐標和對稱軸；
（2）在平面直角坐標系中畫出該函數的大致圖象．
 

考點： 二次函數的圖象；二次函數的三種形式．
分析： （1）利用配方法求出二次函數的對稱軸和頂點坐標即可；
（2）把握拋物線與x軸，y軸的交點，頂點坐標，開口方向等畫出圖象即可．
解答： 解：（1）
y=
=? （x2?6x）?
=? （x2?6x+9?9）?
=? （x?3）2+2，
故頂點坐標為（3，2）和對稱軸為直線x=3；

（2）當y=0，則0=? （x?3 ）2+2，解得：x=1或x=5，則圖象與x軸的交點坐標為：（1，0），（5，0），
當x=0，則y=? ，則圖象與y軸的交點坐標為：（0，? ），如圖所示：
 ．
點評： 此題主要考查了配方法求二次函數的對稱軸和頂點坐標，此題是二次函數的基本性質也是考查重點，同學們應熟練掌握．

18．已知
（1）把它配方成y=a（x?h）2+k形式，寫出它的開口方向、頂點M的坐標；
（2）作出函數圖象；（填表描出五個關鍵點）
（3）結合圖象回答：當x取何值，y＞0，y=0，y＜0．
 

考點： 二次函數的三種形式；二次函數的圖象．
分析： （1）根據配方法求出二次函 數的對稱軸、頂點坐標即可；
（2）由坐標軸上點的坐標特點求出函數圖象與坐標軸的交點以及（1）中拋物線的頂點坐標及與坐標軸的交點坐標描出各點，畫出函數圖象；
（3）根據（2）中函數圖象直接得出結論．
解答： 解：（1）∵y=? x2+2x+6=? （x2?4x）+6=? （x?2）2+8，
∴對稱軸是直線x=2，
拋物線的頂點坐標M為（2，8）；
（2）令x=0，則y=6；
令y=0，則x2+2x?3=0，
∴拋物線與坐標軸的交點是（0，6），（?2，0），（6，0）；
函數圖象如圖所示；

（3）由函數圖象可知，當?2＜x＜6時，y＞0；當x=?2或6時，y=0，
當?2＞x或x＞6時，y＜0．
 
點評： 本題考查了二次函數的性質、二次函數的圖象及二次函數與不等式，在解答此題時要注意利用數形結合求不等式的解集．

19．已知二次函數y=x2+bx+c中函數y與自變量x之間的部分對應值如下表所示，點A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數圖象上，當0＜x1＜1，2＜x2＜3時，則y1�。尽�y2（填“＞”或“＜”）．
x … 0 1 2 3 …
y … 1 ?2 ?3 ?2 …

考點： 二次函數圖象上點的坐標特征．
分析： 由二次函數圖象的對稱性知，圖表可以體現出二次函數 y=ax2+bx+c的對稱軸和開口方向，然后由二次函數的單調性解答．
解答： 解：根據圖表知，
當x=1和x=3時，所對應的y值都是?2，∴拋物線的對稱軸是直線x=2，
又∵當x＞2時，y隨x的增大而增大；當x＜2時，y隨x的增大而減小，
∴該二次函數的圖象的開口方向是向上；
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
0＜x1＜1關于對稱軸的對稱點在3和4之間，
當x＞2時，y隨x的增大而增大，
∴y1＞y2，
故答案是：y1＞y2．
點評： 本題主要考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質等知識點的理解和掌握，能根據二次函數的對稱性判斷兩點的縱坐標的大小是解此題的關鍵．
15．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（?1，0）和B（3，0）兩點，交y軸于點E．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）若直線y=x+1與拋物線交于A、D兩點，與y軸交于點F，連接DE，求△DEF的面積．
 

考點： 待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質．
分析： （1）利用待定系數法求二次函數解析式即可；
（2）首先求出直線與二次函數的交點坐標進而得出E，F點坐標，即可得出△DEF的面積．
解答： 解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（?1，0）和B（3，0）兩點，
∴ ，
解得： ，
故拋物線解析式為 ：y=x2?2x?3；

（2）根據題意得：
 ，
解得： ， ，
∴D（4，5），
對于直線y=x+1，當x=0時，y=1，∴F（0，1），
對于y=x2?2x?3，當x=0時，y=?3，∴E（0，?3），
∴EF=4，
過點D作DM⊥y軸于點M．
∴S△DEF= EF•DM=8．
 
點評： 此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及三角形面積求法等知識，利用數形結合得出D，E，F點坐標是解題關鍵．

20．如圖，二次函數y=ax2?4x+c的圖象經過坐標原點，與x軸交于點A（?4，0）．
（1）求二次函數的解析式；
（2）在拋物線上存在點P，滿足S△AOP=8，請直接寫出點P的坐標．
 

考點： 待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象上點的坐標特征．
分析： （1）把點A原點的坐標代入函數解析式，利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）根據三角形的面積公式求出點P到AO的距離，然后分點P在x軸的上方與下方兩種情況解答即可．
解答： 解：（1）由已知條件得 ，
解得 ，
所以，此二次函數的解析式為y=?x2?4x；

（2）∵點A的坐標為（?4，0），
∴AO=4，
設點P到x軸的距離為h，
則S△AOP= ×4h=8，
解得h=4，
①當點P在x軸上方時，?x2?4x=4，
解得x=?2，
所以，點P的坐標為（?2，4），
②當點P在x軸下方時，?x2?4x=? 4，
解得x1=?2+2 ，x2=?2?2 ，
所以，點P的坐標為（?2+2 ，?4）或（?2?2 ，?4），
綜上所述，點P的坐標是：（?2，4）、（?2+2 ，?4）、（?2?2 ，?4）．
點評： 本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖象上的點的坐標特征，（2）要注意分點P在x軸的上 方與下方兩種情況討論求解．

21．在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點E．
（1）連接AE，當△APE與△ADE全等時，求BP的長；
（2）若設BP為x，CE為y，試確定y與x的函數關系式．當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，試求出此時BP的長．
 

考點： 相似三角形的判定與性質；一元二次方程的應用；二次函數的最值；全等三角形的判定與性質；勾股定理；矩形的性質．
專題： 代數幾何綜合題；壓軸題．
分析： （1）根據全等三角形的對應邊相等知AP=AD=3；然后在Rt△ABP中利用勾股定理可以求得BP的長度；
（2）根據相似三角形Rt△ABP∽Rt△PCE的對應邊成比例列出關于x、y的方程，通過二次函數的最值的求法來求y的最大值；
（3）如圖，連接BD．利用（2）中的函數關系式設BP=x，則CE= ，然后根據相似三角形△CPE∽△CBD的對應邊成比例列出關于x的一元二次方程，通過解該方程即可求得此時BP的長度．
解答： 解：（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD=3（已知），
∴AP=AD=3（全等三角形的對應邊相等 ）；
在Rt△ABP中，BP= = = （勾股定理）；

（2）∵AP⊥PE（已知），
∴∠APB+∠CPE=∠CPE+∠PEC=90°，
∴∠APB=∠PEC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴ 即 （相似三角形的對應邊成比例），
∴ =
∴當x= 時，y有最大值，最大值是 ；

（3）如圖，連接BD．設BP=x，
∵PE∥BD，
∴△CPE∽△CBD，
∴ （相似三角形的對應邊成比例），
即
化簡得，3x2?13x+12=0
解得，x1= ，x2=3（不合題意，舍去），
∴當BP= 時，PE∥BD．
 
點評：  本題綜合考查了矩形的性質、勾股定理、二次函數的最值等知識點．本題中求二次函數的最值時，采用了配方法．
22．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動．
（1）求AC、BC的長；
（2）設點P的運動時間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當△PBQ存在時，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當點Q在C A上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由；
（4）當x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點M，使△BCM得周長最��？若存在，求出最小周長；若不存在，請說明理由．
 

考點： 相似三角形的判定與性質；二次函數的最值；勾股定理．
專題： 壓軸題；動點型．
分析： （1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，設AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的長；
（2）分別從當點Q在邊BC上運動時，過點Q作QH⊥AB于H與當點Q在邊CA上運動時，過點Q作QH′⊥AB于H′去分析，首先過點Q作AB的垂線，利用相似三角形的性質即可求得△PBQ的底與高，則可求得y與x的函數關系式；
（3）由PQ⊥AB，可得△APQ∽△ACB，由相似三角形的對應邊成比例，求得△PBQ各邊的長，根據相似三角形的判定，即可得以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC不相似；
（4）由x=5秒，求得AQ與AP的長，可得PQ是△ABC的中位線，即可得PQ是AC的垂直平分線，可得當M與P重合時△BCM得周長最小，則可求得最小周長的值．
解答： 解：（1）設AC=4ycm，BC=3ycm，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即：（4y）2+（3y）2=102，
解得：y=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）①當點Q在邊BC上運動時，過點Q作QH⊥AB于H，
∵AP=xcm，
∴BP=（10?x）cm，BQ=2xcm，
∵△QHB∽△ACB，
∴ ，
∴QH= xcm，
y= BP•QH= （10?x）• x=? x2+8x（0＜x≤3），
②當點Q在邊CA上運動時，過點Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=xcm，
∴BP=（10?x）cm，AQ=（14?2x）cm，
∵△AQH′∽△ABC，
∴ ，
即： = ，
解得：QH′= （14?2x）cm，
∴y= PB•QH′= （10?x）• （14?2x）= x2? x+42（3＜x＜7）；
∴y與x的函數關系式為：y= ；

（3）∵AP=xcm，AQ=（14?2x）cm，
∵PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ACB，
∴ = ，
即： = ，
解得：x= ，PQ= ，
∴PB=10?x= cm，
∴ = = ≠ ，
∴當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC不相似；

（4）存在．
理由：∵AQ=14?2x=14?10=4cm，AP=x=5cm，
∵AC=8cm，AB=10cm，
∴PQ是△ABC的中位線，
∴PQ∥BC，
∴PQ⊥AC，
∴PQ是AC的垂直平分線，
∴PC=AP=5cm，
∵AP=CP，
∴AP+BP=AB，
∴AM+BM=AB，
∴當點M與P重合時，△BCM的周長最小，
∴△BCM的周長為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16cm．
∴△BCM的周長最小值為16cm．
 
 
 
 
點評： 本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，以及最短距離問題．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．

23．如圖，拋物線y=x2+bx+c過點A（?4，?3），與y軸交于點B，對稱軸是x=?3，請解答下列問題：
（1）求拋物線的解析式．
（2 ）若 和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點，點C在對稱軸左側，且CD=8，求△BCD的面積．
注：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=? ．
 

考點： 待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質．
分析： （1）把點A（?4，?3）代入y=x2+bx+c得16?4b+c=?3，根據對稱軸是x=?3，求出b=6，即可得出答案，
（2）根據CD∥x軸，得出點C與點D關于x=?3對稱，根據點C在對稱軸左側，且CD=8，求出點C的橫坐標和縱坐標，再根據點B的坐標為（0，5），求出△BCD中CD邊上的高，即可求出△BCD的面積．
解答： 解：（1）把點A（?4，?3）代入y=x2+bx+ c得：
16?4b+c=?3，
c?4b=?19，
∵對稱軸是x=?3，
∴? =?3，
∴b=6，
∴c=5，
∴拋物線的解析式是y=x2+6x+5；

（2）∵CD∥x軸，
∴點C與點D關于x=?3對稱，

∵點C在對稱軸左側，且CD=8，
∴點C的橫坐標為?7，

∴點C的縱坐標為（?7）2+6×（?7）+5=12，
∵點B的坐標為（0，5），
∴△BCD中CD邊上的高為12?5=7，
∴△BCD的面積= ×8×7=28．
 
點評： 此題考查了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的性質，用到的知識點是二次函數的圖象和性質，此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想 的應用．

2．如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）求拋物線的頂點坐標和對稱軸；
（3）把拋 物線向上平移，使得頂點落在x軸上，直接寫出兩條拋物線、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積S（圖②中陰影部分）．
 

考點： 待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質；二次函數圖象與幾何變換．
專題： 壓軸題．
分析： （1）把點A、B、C代入拋物線解析式y=ax2+bx+c利用待定系數法求解即可；
（2）把拋物線解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點坐標與對稱軸即可；
（3）根據頂點坐標求出向上平移的距離，再根據陰影部分的面積等于平行四邊形的面積，列式進行計算即可得解．
解答： 解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴ ，
解得 ，
所以拋物線的函數表達式為y=x2?4x+3 ；
（2）∵y=x2?4x+3=（x?2）2?1，
∴拋物線的頂點坐標為（2，?1），對稱軸為直線x=2；

（3）如圖，∵拋物線的頂點坐標為（2，?1），
∴PP′=1，
陰影部分的面積等于平行四邊形A′APP′的面積，
平行四邊形A′APP′的面積=1×2=2，
∴陰影部分的面積=2．
 
點評： 本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數圖象與幾何變換，（3）根據平移的性質，把陰影部分的面積轉化為平行四邊形的面積是解題的關鍵．