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第2時　動能和動能定理
導學目標 1.掌握動能的概念，會求動能的變化量.2.掌握動能定理，并能熟練運用．

一、動能
[基礎導引]
關于某物體動能的一些說法，正確的是 (　　)
A．物體的動能變化，速度一定變化
B．物體的速度變化，動能一定變化
C．物體的速度變化大小相同時，其動能變化大小也一定相同
D．選擇不同的參考系時，動能可能為負值
E．動能可以分解到兩個相互垂直的方向上進行運算
[知識梳理]
1．定義：物體由于________而具有的能．
2．公式：______________，式中v為瞬時速度．
3．矢標性：動能是________，沒有負值，動能與速度的方向______．
4．動能是狀態(tài)量，動能的變化是過程量，等于__________減初動能，即ΔEk＝__________________.
思考：動能一定是正值，動能的變化量為什么會出現(xiàn)負值？正、負表示什么意義？
二、動能定理
[基礎導引]
1．質量是2 g的子彈，以300 m/s的速度射入厚度是5 cm的木板(如圖1
所示)，射穿后的速度是100 m/s.子彈射穿木板的過程中受到的平均阻
力是多大？你對題目中所說的“平均”一詞有什么認識？

2．質量為500 g的足球被踢出后，某人觀察它在空中的飛行情況，估計上升的最大高度是10 m，在最高點的速度為20 m/s.根據(jù)這個估計，計算運動員踢球時對足球做的功．
[知識梳理]
內容力在一個過程中對物體所做的功等于物體在這個過程中____________
表達式W＝ΔEk＝________________
對定理
的理解W>0，物體的動能________
W<0，物體的動能________
W＝0，物體的動能不變
適用
條(1)動能定理既適用于直線運動，也適用于________
(2)既適用于恒力做功，也適用于________
(3)力可以是各種性質的力，既可以同時作用，也可以____________

考點一　動能定理的基本應用
考點解讀
1．應用動能定理解題的步驟
(1)選取研究對象，明確并分析運動過程．
(2)分析受力及各力做功的情況，求出總功．
受哪些力→各力是否做功→做正功還是負功→做多少功→確定求總功思路→求出總功
(3)明確過程初、末狀態(tài)的動能Ek1及Ek2.
(4)列方程W＝Ek2－Ek1，必要時注意分析題目潛在的條，列輔助方程進行求解．
2．應用動能定理的注意事項
(1)動能定理中的位移和速度必須是相對于同一個參考系的，一般以地面或相對地面靜止的物體為參考系．
(2)應用動能定理時，必須明確各力做功的正、負．當一個力做負功時，可設物體克服該力做功為W，將該力做功表示為－W，也可以直接用字母W表示該力做功，使其字母本身含有負號．
(3)應用動能定理解題，關鍵是對研究對象進行準確的受力分析及運動過程分析，并畫出物體運動過程的草圖，借助草圖理解物理過程和各量關系．
(4)動能定理是求解物體位移或速率的簡捷公式．當題目中涉及到位移和速度而不涉及時間時可優(yōu)先考慮動能定理；處理曲線運動中的速率問題時也要優(yōu)先考慮動能定理．
典例剖析
例1　如圖2所示，用恒力F使一個質量為m的物體由靜止開始沿
水平地面移動的位移為l，力F跟物體前進的方向的夾角為α，
物體與地面間的動摩擦因數(shù)為μ，求：
(1)力F對物體做功W的大��；
(2)地面對物體的摩擦力Ff的大��；
(3)物體獲得的動能Ek.
跟蹤訓練1　如圖3所示，用拉力F使一個質量為m的木箱由靜止
開始在水平冰道上移動了l，拉力F跟木箱前進方向的夾角為α，
木箱與冰道間的動摩擦因數(shù)為μ，求木箱獲得的速度．
考點二　利用動能定理求功
考點解讀
由于功是標量，所以動能定理中合力所做的功既可通過合力計算(W總＝F合lcos α)，也可用每個力做的功計算(W總＝W1＋W2＋W3＋…)．這樣，原直接利用功的定義不能計算的變力的功可以利用動能定理方便的求得，它使得一些可能無法進行研究的復雜的力學過程變得易于掌握和理解．
典例剖析
例2　如圖4所示，質量為m的小球用長為L的輕質細線懸于O點，與
O點處于同一水平線上的P點處有一個光滑的細釘．已知OP＝L2，在
A點給小球一個水平向左的初速度v0，發(fā)現(xiàn)小球恰能到達跟P點在同
一豎直線上的最高點B.則：
(1)小球到達B點時的速率？
(2)若不計空氣阻力，則初速度v0為多少？
(3)若初速度v0＝3gL，則在小球從A到B的過程中克服空氣阻力做了多少功？
跟蹤訓練2　如圖5所示，一位質量m＝65 kg參加“挑戰(zhàn)極限運動”的業(yè)余選手要越過一寬度為x＝3 m的水溝，躍上高為h＝1.8 m的平臺．采用的方法是：人手握一根長L＝3.05 m的輕質彈性桿一端，從A點由靜止開始勻加速助跑，至B點時，桿另一端抵在O點的阻擋物上，接著桿發(fā)生形變，同時人蹬地后被彈起，到達最高點時桿處于豎直，人的重心恰位于桿的頂端，此刻人放開桿水平飛出，最終趴落到平臺上，運動過程中空氣阻力可忽略不計．(g取10 m/s2)

圖5
(1)設人到達B點時速度vB＝8 m/s，人勻加速運動的加速度a＝2 m/s2，求助跑距離xAB.
(2)設人跑動過程中重心離地高度H＝1.0 m，在(1)問的條下，在B點人蹬地彈起瞬間，人至少再做多少功？

　　　　　　　　14.用“分析法”解多過程問題
例3　如圖6所示是某公司設計的“2009”玩具軌
道，是用透明的薄壁圓管彎成的豎直軌道，其中引
入管道AB及“200”管道是粗糙的，AB是與
“2009”管道平滑連接的豎直放置的半徑為R＝
0.4 m的14圓管軌道，已知AB圓管軌道半徑與“0”
字型圓形軌道半徑相同．“9”管道是由半徑為2R的光滑14圓弧和
半徑為R的光滑34圓弧以及兩段光滑的水平管道、一段光滑的豎直管道組成，“200”管
道和“9”管道兩者間有一小縫隙P.現(xiàn)讓質量m＝0.5 kg的閃光小球(可視為質點)從距 A點高H＝2.4 m處自由下落，并由A點進入軌道AB，已知小球到達縫隙P時的速率為 v＝8 m/s，g取10 m/s2.求：
(1)小球通過粗糙管道過程中克服摩擦阻力做的功；
(2)小球通過“9”管道的最高點N時對軌道的作用力；
(3)小球從C點離開“9”管道之后做平拋運動的水平位移．
方法提煉
1．分析法：將未知推演還原為已知的思維方法．用分析法研究問題時，需要把問題化整為零，然后逐步引向待求量．具體地說也就是從題意要求的待求量出發(fā)，然后按一定的邏輯思維順序逐步分析、推演，直到待求量完全可以用已知量表達為止．因此，分析法是從未知到已知，從整體到局部的思維過程．
2．分析法的三個方面：
(1)在空間分布上可以把整體分解為各個部分：如力學中的隔離，電路的分解等；
(2)在時間上把事物發(fā)展的全過程分解為各個階段：如運動過程可分解為性質不同的各個階段；
(3)對復雜的整體進行各種因素、各個方面和屬性的分析．
跟蹤訓練3　如圖7所示，在一次消防演習中模擬解救高樓被
困人員，為了安全，被困人員使用安全帶上掛鉤掛在滑竿上
從高樓A點沿輕滑桿下滑逃生．滑桿由AO、OB兩段直桿通
過光滑轉軸在O處連接，且通過O點的瞬間沒有機械能的
損失；滑桿A端用掛鉤鉤在高樓的固定物上，可自由轉
動，B端固定在消防車云梯上端．已知AO長為L1＝5 m，
OB長為L2＝10 m．豎直墻與端點B的間距d＝11 m．掛鉤與兩段
滑桿間的動摩擦因數(shù)均為μ＝0.5.(g＝10 m/s2)
(1)若測得OB與水平方向的夾角為37°，求被困人員下滑到B點時的速度大��；(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(2)為了安全，被困人員到達B點的速度大小不能超過v，若A點高度可調，而豎直墻與云梯上端點B的間距d不變，求滑桿兩端點A、B間的最大豎直距離h？(用題給的物理量符號表示)

A組　利用動能定理求變力功
1．如圖8所示，光滑斜面的頂端固定一彈簧，一物體向右滑行，
并沖上固定在地面上的斜面．設物體在斜面最低點A的速度為
v，壓縮彈簧至C點時彈簧最短，C點距地面高度為h，則從A
到C的過程中彈簧彈力做功是 (　　)
A．mgh－12mv2 B.12mv2－mgh
C．－mgh D．－(mgh＋12mv2)

B組　用動能定理分析多過程問題
2．如圖9所示，摩托車做特技表演時，以v0＝10.0 m/s的初速度沖向高臺，然后從高臺水平飛出．若摩托車沖向高臺的過程中以P＝4.0 kW的額定功率行駛，沖到高臺上所用時間t＝3.0 s，人和車的總質量m＝1.8×102 kg，臺高h＝5.0 m，摩托車的落地點到高臺的水平距離x＝10.0 m．不計空氣阻力，取g＝10 m/s2.求：

圖9
(1)摩托車從高臺飛出到落地所用時間；
(2)摩托車落地時速度的大�。�
(3)摩托車沖上高臺過程中克服阻力所做的功．
3．推杯子游戲是一種考驗游戲者心理和控制力的游戲，游戲規(guī)則是在杯子不掉下臺面的前提下，杯子運動得越遠越好．通常結果是：力度不夠，杯子運動得不夠遠；力度過大，杯子將滑離臺面．此游戲可以簡化為如下物理模型：質量為0.1 kg的空杯靜止在長直水平臺面的左邊緣，現(xiàn)要求每次游戲中，在水平恒定推力作用下，沿臺面中央直線滑行x0＝0.2 m后才可撤掉該力，此后杯子滑行一段距離停下．在一次游戲中，游戲者用5 N的力推杯子，杯子沿直線共前進了x1＝5 m．已知水平臺面長度x2＝8 m，重力加速度g取10 m/s2，試求：
(1)游戲者用5 N的力推杯子時，杯子在撤掉外力后在長直水平臺面上運動的時間；(結果可用根式表示)
(2)游戲者用多大的力推杯子，才能使杯子剛好停在長直水平臺面的右邊緣．
4．如圖10所示，光滑14圓弧形槽的底端B與長L＝5 m的水平傳送帶相接，滑塊與傳送帶間動摩擦因數(shù)為0.2，與足夠長的斜面DE間的動摩擦因數(shù)為0.5，斜面與水平面間的夾角θ＝37°.CD段為光滑的水平平臺，其長為1 m，滑塊經過B、D兩點時無機械能損失．質量m＝1 kg的滑塊從高為R＝0.8 m的光滑圓弧形槽的頂端A處無初速度地滑下．求(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，不計空氣阻力)：

圖10
(1)當傳送帶不轉時，滑塊在傳送帶上滑過的距離；
(2)當傳送帶以2 m/s的速度順時針轉動時，滑塊從滑上傳送帶到第二次到達D點所經歷的時間t；
(3)當傳送帶以2 m/s的速度順時針轉動時，滑塊在斜面上的最大位移．

時規(guī)范訓練
(限時：45分鐘)
一、選擇題
1．下列關于運動物體所受的合外力、合外力做的功、運動物體動能的變化的說法中正確的是 (　　)
A．運動物體所受的合外力不為零，合外力必做功，物體的動能一定要變化
B．運動物體所受的合外力為零，則物體的動能一定不變
C．運動物體的動能保持不變，則該物體所受合外力一定為零
D．運動物體所受合外力不為零，則該物體一定做變速運動
2．在h高處，以初速度v0向水平方向拋出一個小球，不計空氣阻力，小球著地時速度大小為 (　　)
A．v0＋2gh B．v0－2gh
C.v20＋2gh D.v20－2gh
3．如圖1所示，卷揚機的繩索通過定滑輪用力F拉位于粗糙面上
的木箱，使之沿斜面加速向上移動．在移動過程中，下列說法
正確的是 (　　)
A．F對木箱做的功等于木箱增加的動能與木箱克服摩擦力所做的功之和
B．F對木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
C．木箱克服重力所做的功等于木箱增加的重力勢能
D．F對木箱做的功等于木箱增加的機械能與木箱克服摩擦力做的功之和
4．子彈的速度為v，打穿一塊固定的木塊后速度剛好變?yōu)榱悖�若木塊對子彈的阻力為恒力，那么當子彈射入木塊的深度為其厚度的一半時，子彈的速度是 (　　)
A.v2 B.22v C.v3 D.v4
5．剎車距離是衡量汽車安全性能的重要參數(shù)之一．如圖2所示的
圖線1、2分別為甲、乙兩輛汽車在緊急剎車過程中的剎車距離l
與剎車前的車速v的關系曲線，已知緊急剎車過程中車與地面
間是滑動摩擦．據(jù)此可知，下列說法中正確的是 (　　)
A．甲車的剎車距離隨剎車前的車速v變化快，甲車的剎車性
能好
B．乙車與地面間的動摩擦因數(shù)較大，乙車的剎車性能好
C．以相同的車速開始剎車，甲車先停下，甲車的剎車性能好
D．甲車的剎車距離隨剎車前的車速v變化快，甲車與地面間的動摩擦因數(shù)較大
6．一個小物塊沖上一個固定的粗糙斜面，經過斜面上A、B兩點，到
達斜面上最高點后返回時，又通過了B、A兩點，如圖3所示，關
于物塊上滑時由A到B的過程和下滑時由B到A的過程，動能的
變化量的絕對值ΔE上和ΔE下，以及所用時間t上和t下相比較，有
(　　)
A．ΔE上<ΔE下，t上<t下 B．ΔE上>ΔE下，t上>t下
C．ΔE上<ΔE下，t上>t下 D．ΔE上>ΔE下，t上<t下

7．如圖4所示，勁度系數(shù)為k的彈簧下端懸掛一個質量為m的重物，處于
靜止狀態(tài)．手托重物使之緩慢上移，直到彈簧恢復原長，手對重物做的
功為W1.然后放手使重物從靜止開始下落，重物下落過程中的最大速度
為v，不計空氣阻力．重物從靜止開始下落到速度最大的過程中，彈簧
對重物做的功為W2，則 (　　)
A．W1>m2g2k B．W1<m2g2k
C．W2＝12mv2 D．W2＝m2g2k－12mv2
8．汽車在水平路面上從靜止開始做勻加速直線運動，到t1秒末關閉
發(fā)動機做勻減速直線運動，到t2秒末靜止．動摩擦因數(shù)不變，其
v－t圖象如圖5所示，圖中β<θ.若汽車牽引力做功為W，平均功
率為P，汽車加速和減速過程中克服摩擦力做功分別為W1和W2，
平均功率大小分別為P1和P2，下列結論正確的是 (　　)
A．W1＋W2＝W B．P＝P1＋P2
C．W1>W2 D．P1＝P2
9.如圖6所示，一個粗糙的水平轉臺以角速度ω勻速轉動，轉臺上
有一個質量為m的物體，物體與轉臺間用長L的繩連接著，此
時物體與轉臺處于相對靜止，設物體與轉臺間的動摩擦因數(shù)為
μ，現(xiàn)突然制動轉臺，則 (　　)
A．由于慣性和摩擦力，物體將以O為圓心、L為半徑做變速圓周運動，直到停止
B．若物體在轉臺上運動一周，物體克服摩擦力做的功為μmg2πL
C．若物體在轉臺上運動一周，摩擦力對物體不做功
D．物體在轉臺上運動Lω24μgπ圈后，停止運動
10．靜止在粗糙水平面上的物塊A受方向始終水平向右、大小
先后為F1、F2、F3的拉力作用做直線運動，t＝4 s時停
下，其v－t圖象如圖7所示，已知物塊A與水平面間的動摩擦
因數(shù)處處相同，下列判斷正確的是 (　　)
A．全過程中拉力做的功等于物塊克服摩擦力做的功
B．全過程拉力做的功等于零
C．一定有F1＋F3＝2F2
D．可能有F1＋F3>2F2
二、非選擇題
11．如圖8所示，粗糙弧形軌道和兩個光滑半圓軌道組成翹尾巴的S形軌道．光滑半圓軌道半徑為R，兩個光滑半圓軌道連接處CD之間留有很小空隙，剛好能夠使小球通過，CD之間距離可忽略．粗糙弧形軌道最高點A與水平面上B點之間的高度為h.從A點由靜止釋放一個可視為質點的小球，小球沿翹尾巴的S形軌道運動后從E點水平飛出，落到水平地面上，落點到與E點在同一豎直線上B點的距離為s.已知小球質量為m，不計空氣阻力，求：

圖8
(1)小球從E點水平飛出時的速度大�。�
(2)小球運動到B點時對軌道的壓力；
(3)小球沿翹尾巴的S形軌道運動時克服摩擦力做的功．

復習講義
基礎再現(xiàn)
一、
基礎導引　A
知識梳理　1.運動　2.Ek＝12mv2　3.標量　無關　4.末動能　12mv22－12mv21
思考：動能只有正值，沒有負值，但動能的變化卻有正有負．“變化”是指末狀態(tài)的物理量減去初狀態(tài)的物理量，而不一定是大的減去小的，有些書上稱之為“增量”．動能的變化量為正值，表示物體的動能增大了，對應于合力對物體做正功；物體的變化量為負值，表示物體的動能減小了，對應于合力對物體做負功，或者說物體克服合力做功．
二、
基礎導引　1.1.6×103 N　見解析
2．150 J
知識梳理　動能的變化　12mv22－12mv21　增加　減少　曲線運動　變力做功　不同時作用
堂探究
例1　(1)Flcos α　(2)μ(mg－Fsin α)
(3)Flcos α－μ(mg－Fsin α)l
跟蹤訓練1　2[Fcos α－μ(mg－Fsin α)]l/m
例2　(1) gL2　(2) 7gL2　(3)114mgL
跟蹤訓練2　(1)16 m　(2)422.5 J
例3　(1)2 J　(2)35 N　(3)2.77 m
跟蹤訓練3　(1)310 m/s　(2)見解析
解析　(2)設滑竿兩端點AB的最大豎直距離為h1，對下滑全過程由動能定理得
mgh1－μmgd＝12mv2④
所以：h1＝v22g＋μd⑤
若兩桿伸直，AB間的豎直高度h2為
h2＝(L1＋L2)2－d2⑥
若h1>h2，則滿足條的高度為h＝(L1＋L2)2－d2⑦
若h1<h2，則滿足條的高度為
h＝v22g＋μd⑧
若h1＝h2，則滿足條的高度為
h＝v22g＋μd＝(L1＋L2)2－d2⑨
分組訓練
1．A
2．(1)1.0 s　(2)102 m/s　(3)3.0×103 J
3．(1)4.8 s　(2)8 N
4．(1)4 m　(2)(2.7＋55) s　(3)0.5 m
時規(guī)范訓練
1．BD
2．C　
3．CD　
4．B　
5．B　
6．D　
7．B　
8．ACD　
9．ABD　
10．AC　
11．(1)s4 2gR　(2)9mg＋mgs28R2
(3)mg(h－4R)－mgs216R

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