第四 重力作用下的運動 圓周運動 萬有引力
從研究的運動形式看，本由單方向的直線運動，擴展到往復運動和曲線運動，從研究方法看，本綜合運用牛頓定律和勻變速直線運動的基本規律，對物體的運動規律及深層原因作了剖析，體現了牛頓定律在力學中的核心地位；從思想方法看，通過本復習，使學生掌握確定物體運動情況的基本方法，掌握研究復雜運動的基本方法——正交分解、運動的合成與分解。
知識網絡：
專題一 重力作用下的運動
——自由落體與豎直上拋
【考點透析】
一、本專題考點： 本專題為II類要求，即要求對自由落體和豎直上拋運動的規律熟練掌握，并能夠和生產、生活實際相聯，解決具體問題。
二、理解和掌握的內容
1. 做自由落體與豎直上拋運動的物體均受重力作用，它們運動的加速度均為重力加速度。
2.自由落體運動:可看成是勻變速直線運動的特例,即初速度 =0，加速度a=g，滿足初速度為零的勻加速直線運動的所有基本規律和推論。
3.豎直上拋運動：(1) 規律:上升過成是加速度為g的勻減速運動，下落過程是自由落體運動，各自符合勻變速運動規律；全過程也符合a=?g（取 方向為正方向）的勻變速直線運動規律。
（2）兩個結論：上升的最大高度 = ，上升到最大高度所用的時間
4.豎直上拋運動的兩種研究方法
（1）分段法：上升階段是勻減速直線運動，下落階段是自由落體運動。下落過程是上升過程的逆過程。
（2）整體法：從全程看，加速度方向始終與初速度V 的方向相反，所以可把豎直上拋運動看成是一個勻變速運動，應用時要特別注意矢量的正負號。一般選取向上為正方向，V 總是正值，上升過程中V為正值，下降過程V為負值；物體在拋出點以上時h為正值，物體在拋出點以下時h為負值。
5．豎直上拋運動的上升階段和下降階段具有對稱性
（1）速度對稱：上升和下降過程經過同一位置時速度等大反向。
（2）時間對稱：上升和下降過程經過同一段高度的上升時間和下降時間相等。
【例題精析】
例1 在豎直的井底，將一物塊以11m/s的速度豎直地向上拋出，物體沖過井口再落到井口時被接住前1s內物體的位移是4m,位移方向向上，不計空氣阻力，g取10m/s2，求：（1）物體從拋出到被人接住所經歷的時間。（2）此豎直井的深度。
解析（1）設人接住物塊前1s時刻速度為v
則有 即 解得 v=9m/s
則物塊從拋出到接住所有總時間為
(2)豎直井的深度為
把豎直上拋運動的全過程作為勻變速運動處理比較簡單，但在使用公式 時應注意正方向的規定和式中各量正、負號的意義。
例2 滴水法測重力加速度的過程是這樣的，讓水龍頭的水一滴一滴的滴在其正下方的盤子里，調整水龍頭，讓前一滴水滴到盤子里而聽到聲音時，后一滴恰離開水龍頭。測出從第一次聽到聲音到第n次聽到水擊盤聲的總時間為t，用刻度尺量出水龍頭口到盤子的高度差h，即可算出重力加速度。設人耳能區別兩個聲音的時間隔為0.1s，聲速為340m/s，則
A.水龍頭距人耳的距離至少為34m B.水龍頭距盤子的距離至少為34m
C.重力加速度的計算式為 D.重力加速度的計算式為
解析:n次響聲間隔時間對應(n-1)個水滴下落用的時間,所以一個水滴下落時間 = . 由h= 得: g= ，水龍頭到盤子的距離最少為 ×10×0.12=0.05m≠34m.另外，需要指出人聽到兩滴水響聲的時間間隔與人耳距水龍頭的距離無關，正確答案：D。
本題告訴我們一種粗測重力加速度的方法，是自由落體運動規律的基本應用。解題關鍵是正確確定水滴下落時在空中的運動時間。如不能建立正確的物理情境，找不到水滴下落的規律，就很容易錯選。比如許多同學沒有正確分析出記錄時間與水滴次數的關系而錯選C。
思考拓寬：本題中如讓一滴水到盤子而聽到聲音時有一滴恰離開水龍頭，且空中有一滴正在下落，從第一滴開始測得n次聽到水擊盤聲的總時間為t，同樣已知h。則算出重力加速度g= ，且一滴落入盤中時，空中一滴離水龍頭口的距離為 。
提示：歸納得出第一滴經T落入盤中后每隔 有一滴落入盤中，
故有T+（n-1） = t，得T= ；由h= gt2,得g=
由于每隔相同的時間間隔下落一滴，因此當一滴剛好離開水龍頭時，連續兩滴間距離之比為1：3，當有一滴剛好落入盤中時，中間一滴離水龍頭口的距離為 。
【能力提升】
Ⅰ 知識與技能
1.小球從離地140m的高處自由下落，則小球在下落開始后的連續三個2s時間內的位移大小之比是
A．1:3:5 B.1:3:3 C.4:12:9 D.2:2:1
2.在輕繩的兩端各拴一個小球，一人用手拿著繩一端的小球站在三層樓的陽臺上，放手讓小球自由下落，兩小球相繼落地的時間差為△t；如果站在四層樓的陽臺上，同樣放手讓小球自由下落，則小球相繼落地的時間差將
A．不變 B.變大 C.減小 D.無法確定
3.圖4--1四個圖,其中可以表示兩個做自由落體運動的物體同時落地的υ—t圖像是 (t 表示落地的時刻)
4.從地面豎直上拋物體A,同時在某一高度處有一物體B自由下落,兩物體在空中相遇時的速率都是υ,則
A.物體A的上拋初速度大小是兩物體相遇時速率的2倍
B.相遇時物體A已上升的高度和物體B已下落的高度相同
C.物體A和物體B在空中運動時間相等
D.物體A和物體B落地速度相等
5.將一小球以初速度為V從地面豎直上拋后,經4S小球離地面高度為6m,若要使小球豎直上拋后經2S到達相同高度，(g取10m/s2)不計阻力，則初速度V 應
A．大于V B.小于V C.等于V D.無法確定
Ⅱ 能力與素質
6.某同學身高1.8m，在運動會上他參加跳高比賽，起跳后身體橫著越過1.8米高度的橫桿。據此可估算出他起跳時豎直向上的速度大約為（取g=10m/s ）
A.2m/s B.4 m/s C.6 m/s D.8 m/s
7.從某一高度相隔1s先后釋放兩個相同的小球甲和乙，不計空氣阻力，它在空中的任一時刻
A．甲、乙兩球的距離越越大，甲、乙兩球速度之差越越大
B．甲、乙兩球距離始終保持不變，甲、乙兩球速度之差保持不變
C．甲、乙兩球距離越越大，但甲、乙兩球速度之差保持不變
D．甲、乙兩球距離越越小，甲、乙兩球速度之差越越小
8．自地面將一物體豎直上拋，初速度大小為20m/s.當它的位移為15m時，經歷的時間和運動速度分別為（g取10m/s，不計空氣阻力，取豎直向上為正方向）
A．1s,10m/s B．2s,15m/s C．3s,-10m/s D．4s,-15m/s
9．某中學高一年級在“研究性學習”活動中，有一小組的研究題是“測定當地的重力加速度g” ，經該組成員討論研究，設計出多種方案之一為“利用水滴下落測重力加速度g”，具體操作步驟如下：（1）讓水滴落到墊起的盤子里，細心地調整水龍頭的閥門，讓水一滴一滴地流出（等時間間隔），同時調整盤子墊物的厚度，使一個水滴碰到盤子時恰好有另一個水滴從水龍頭開始下落（此時刻速度為零），而且空中還有一個正在下落的水滴；（2）用秒表測時間，以第一個水滴離開水龍頭時開始記時，測第N個水滴落至盤中，共用時間為T；（3）用米尺測出水龍頭滴水處到盤子的豎直距離h。不計空氣阻力。求：①第一滴水滴剛到盤子時，第二滴水離開水龍頭的距離S。②當地的重力加速度g。
專題二 物體做曲線運動的條 運動的合成與分解
【考點透析】
一、本專題考點： 物體做曲線運動的條為II類要求，運動的合成與分解為1類要求。
二、理解和掌握的內容
1．曲線運動的特點:運動軌跡是曲線，曲線運動的質點在某一時刻的即時速度方向，就是過曲線上該點的切線方向。曲線運動一定是變速運動。
2．物體做曲線運動的條：由于物體的速度方向不斷變化，因此物體的受的合外力及它產生的加速度的方向跟它的速度方向不在一條直線上。
3．處理曲線運動的基本方法：運動的合成與分解。理解以下幾點：
（1）運動的獨立性
一個物體可以同時參與兩種或兩種以上的運動，而每一種運動都不因為其它運動的存在而受到影響，運動是完全獨立的。物體的運動是這幾個運動的合運動。
（2）運動的等時性
若一個物體同時參與幾個運動，合運動與各分運動是在同一時間內進行的，它們之間不存在先后的問題。
（3）運動的合成法則
描述運動的量有位移（s）、速度（v）、加速度（a），它們都是矢量，其合成法則都是平行四邊法則。如圖4—2
圖4—2
兩分運動垂直或正交分解后的合成滿足：
（4）運動的分解是合成的逆運算，在解決實際問題的過程中一般要根據質點運動的實際效果分解。已知分運動求合運動，叫做運動的合成；已知合運動求分運動，叫做運動的分解。
分運動與合運動是一種等效替代關系，運動的合成和分解是研究曲線運動的一種基本方法。
【例題精析】
例1 如圖4—3（甲）所示，物體在恒力F作用下沿曲線從A運動到B，這時突然使它所受的力方向變而大小不變（即由F變為-F）。在此力作用下，物體以后的運動情況，下列說法正確的是:
A．物體不可能沿曲線Ba運動 B．物體不可能沿直線Bb運動
C．物體不可能沿曲線Bc運動 D．物體不可能沿原曲線B返回A
解析: 物體在A點時的速度 沿A點的切線方向，物體在恒力F作用下沿曲線AB運動，此力F必有垂直于 的分量，即F力只可能為圖4—3（乙）中所示的各種方向之一，當物體到達B點時，瞬時速度 沿B點的切線方向，這時受力F?=-F，即F?力只可能為圖中所示的各種方向之一；可知物體以后只可能沿曲線Bc運動，所以本題的正確答案是A、B、D。
例題2 一艘小艇從河岸的A處出發渡河，小艇保持與河岸垂直的方向行駛，經過10min到達正對岸下游120m的C處，如圖4—4所示，如果小艇保持原的速度逆水斜向上游成θ角方向行駛，則經 過12.5min恰好到達正對岸的B處，求河寬及水流的速度。
分析與解答：設河寬為d，河水流速為v ，船速為v ，船兩次運動速度合成如圖4—5所示，依題意有：
①
BC= ②
③
由②可得 由①可得 故 河寬
說明：對小艇渡河的兩種典型情況，要能熟練地畫出其運動的合成的矢量圖，并能用它解題。
思考與拓寬：設小船相對靜水的速度為 ，水流的速度為 ，河寬為d，分兩種情況討論小船渡河最短時間及最短航程：
（1） > （2） <
答案：在第（1）種情況中，最短時間 ，此時船頭與河岸垂直；最短航程 ，此時船頭指向上游與河岸夾某一角度。在第（2）種情況中，最短時間 ，此時船頭與河對岸垂直；最短航程 ；此時船的實際速度與兩個分速度的關系如圖4—6所示，其中 與 垂直, 且OB為小船的最短航程。
例3 如圖4—7所示，用繩牽引小船靠岸，若收繩的速度為v ,在繩子與水平方向夾角為α的時刻，船的速度v有多大？
解析：船的速度v的方向就是合運動的速度方向，由于這個v產生兩個效果：一是使繩系著小船的一端沿繩拉方向以速率v 運動，二是使繩的這端繞滑輪作順時針方向的圓周運動，那么合速度v應沿著繩子的牽引方向和垂直于繩子的方向分解
（如圖4—8），從圖中易知v=
物體拉繩或繩拉物體運動的分解，一般分解為沿繩方向的運動和垂直方向的運動，各點處沿繩方向上速度大小相等。
在進行速度分解時，首先要分清合速度與分速度，合速度就是
物體實際運動的速度。物體的實際運動可看作那些分運動的疊加，找出相應的分速度。在上述問題中，若不對船的運動認真分析，就很容易得出v =v cosθ的錯誤結果。
【能力提升】
Ⅰ 知識與技能
1．關于互成角度的兩個初速度不為零的勻變速直線運動的合運動，下述說法正確的是
A．一定是直線運動 B．一定是拋物線運動
C．可能是直線運動，也可能是拋物線運動 D．以上說法都不對。
2．一質點在某段時間內做曲線運動，則在這段時間內
A．速度一定在不斷地改變，加速度也一定不斷地改變
B．速度一定在不斷地改變，加速度可以不變
C．速度可以不變，加速度一定不斷地改變
D．速度可不變，加速度也可以不變
3．一物體在幾個不在同一直線上的恒力作用下處于平衡狀態，現突然撤去其中一個力，而其它各力保持不變，則物體以后的運動可能是
A．勻加速直線運動 B．勻減速直線運動 C．勻變速曲線運動 D．勻速圓周運動
4．有一小汽車從半徑為R的拱橋上的A點以恒定的速率運動到B點，如圖4—9所示，試從以下說法中選出正確答案
A．汽車所受的合外力為零
B．汽車在A、B兩處的速 度變化率為零
C．汽車在運動過程中保持動量不變
D. 車所受合外力做功為零
5．小船在靜水中速度為v，今小船要渡過一條河流，渡過時小船垂直對岸劃行。若小船劃行至河中間時，河水流速突然增大，則渡河時間與預定時間相比將
A．增長 B．不變 C．縮短 D．無法確定
6．人在靜水中速度為3km/h,現在他在流速為1.5 km/h的河水中沿不同的方向從O點游到彼岸，這些不同方向與A岸的夾角分別為
A．30° B．60° C．90° D．120°
此人要以最短時間游到彼岸，應選的方向是4-10中的哪一個？
Ⅱ 能力與素質
7．在抗洪搶險中，戰士駕馭 摩托艇救人，假設江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v ，摩托艇在靜水中的航速為v ，戰士救人的地點A離岸邊最近處O的距離為d， 戰士想在最短時間內將人送上岸，則摩托艇登陸的地點離O點的距離為
A． B．0 C． D．
8．兩個寬度相同但長度不同的臺球框固定在水平面上，從兩個框的長邊同時以相同的速度分別發出小球A和B，如圖4-11所示，設球與框邊碰撞時無機械能損失，不計摩擦，則兩球回到最初出發的框邊的先后是
A．A球先回到出發框邊；
B．B球先回到出發框邊；
C．兩球同時回到出發框邊；
D．因兩框長度不明，故無法確定哪一個球先回到出發框邊。
9．如圖4-12所示，為一勻強電場，實線為電場線，一個帶電粒子射入該電場后，留下一條虛線所示的經跡，途經a點和b點，則下面判斷正確的是：（設由a運動到b）（ ）
A．b點的電勢高于a點的電勢
B．粒子在a點的動能大于粒子在b點的動能
C．粒子在b點的電勢能大于粒子在a點的電勢能
D．該勻強電場的場強方向向左
10．如圖4-13所示，在高為H的光滑平臺上有一物體用繩子跨過定滑輪C，由地面上的人以均勻速度v 向右拉動，不計人的高度，當人從地面上平臺的邊緣A處向右行走距離s到過B處時，物體的速度v= ，物體移動的距離為s =
專題三 重力作用下運動—平拋運動
【考點透析】
一、本專題考點： 本專題為II類要求，必須熟練掌握解決平拋運動的基本方法。
二、理解和掌握的內容
1．平拋運動的特點：以水平初速度拋出的物體只在重力作用下的運動。運動中質點僅受重力的作用，其運動的加速度為重力加速度。運動軌跡為拋物線，其運動性質為勻變速曲線運動。
2．處理方法：運用運動的合成與分解，把其中分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，如圖4—14所示。
在x方向：vx=v0， x= v0t
在y方向：vy=gt y= gt2
設在t時間內質點運動到A點，則其速度與位置分別為：速度 與 的夾角 ；對o點的位移 ， 與 軸正方向的夾角
3．難點釋疑（1）平拋運動加速度恒定，是勻變速曲線運動，速度隨時間均勻變化，即在任意相等的時間內，速度變化量相等。
（2）平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。這兩個分運動同時存在，按各自的規律獨立進行。水平初速度大小不會影響豎直方向的分運動，一般情況下，豎直方向的分運動決定著平拋物體運動的時間。
【例題精析】
例題1 如圖4—15所示，斜面傾角為300，小球從A點以初速度v0水平拋出，恰好落到斜面B點，求：①AB間的距離；②物體在空中飛行的時間；③從拋出開始經多少時間小球與斜面間的距離最大？
解析：①、②由題意且設AB長為 ,得：
解得：
③將v0和重力加速度g沿平行于斜面和垂直于斜面方向正交分解圖如圖4—16所示，則當物體在垂直于斜面方 向速度為零時與斜面距離最大，即：
所以，
本題中利用了斜面的傾角找到了小球落到斜面時兩個方向上的位移關系，在實際題目中已知的角度有時告訴的是位移關系，有時是速度關系，解題時要注意具體問題具體分析。如在本題中當小球與斜面之間的距離最大時，可知小球的速度方向定與斜面平行即速度方向與水平方向的夾角為300，，如圖4—17所示，此時小球的豎直方向的分速度vy=v0tan300，又由vy=gt 可求得
思考拓寬：某時刻質點的位移與初速度方向的夾角α，速度與初速度方向的夾角θ的關系為tanθ = 2tanα。因此，在分析問題時既要會區分兩個角度，又要會利用二者之間的關系。如下題：如圖4-18中上圖所示，在傾角為37°的斜面底端正上方高h 處平拋一物體，該物體落到斜面上的速度方向正好與斜面體的斜面垂直， 則物體拋出時的初速度為 （重力加速為g）
簡析：由已知，小球打在斜面上的速度v方向與斜面垂直即v與水平方向的夾角為
53°，如圖4-19中下圖，設小球打到斜面上水平方向的位移為x，豎直方向的位移為y，所以有： ，由圖示幾何關系
由以上二式解得
小球在豎直方向做自由落體運動，得
所以
故所求
例題2 在研究平拋運動的實驗中，用一張印有小方格的紙記錄軌跡，小方格的邊長L=1.25cm,若小球在平拋運動途中的幾個位置如圖4-20中的a、b、c、d所示，則小球平拋的初速度的計算式為v0= (用L、g表示)，其值是 （取g=9.8m/s2）
解析：做勻變速直線運動的物體，相鄰相等時間時間隔位移差是一個常數，即
平拋物體，豎直方向符合上式。由題意知，a與b、b與c、c與d水平方向的位移相等，即時間間隔相同，有：
豎直方向：
水 平方向：
代入數值得：v0=0.7m/s
錯解：很多同學解此題時，幾乎是下意識地將 點作為拋出點由 及 求得 錯誤結果。
思考與拓寬：從上面的解法中可看出，a點不是拋出點，那么拋出點在何處呢？
解：設拋出點離a點的水平距離為x0，豎上距離為y0，從拋出到a點時間為t0,則a點豎直方向速度
求得 所以
即拋出點的坐標為 （x軸正方向為 ，y軸正方向豎直向下）
【能力提升】
Ⅰ 知識與技能
1．如圖4—21所示，以9.8m/s的水平初速度v0拋出的物體，飛行一段時間后，垂直撞在傾角θ為300斜面上，可知物體完成這段飛行的時間是
A． B． C． D．
2．一架飛機水平地勻速飛行，從飛機上每隔1s釋放一個鐵球，先后共放4個，若不計空氣阻力，則4個球
A．任何時刻總是排成拋物線，它們的落地點是等間距的。
B．任何時刻總是排成拋物線，它們的落地點是不等間距的
C．在空中任何時刻總在飛機下方排成豎直的直線，它們的落地點是等間距的
D．在空中任何時刻總在飛機正下方排成豎直的直線，它們的落地點是不等間距的
3．如圖4—22所示，火車廂在水平軌道上以速度v向西作勻速直線運動，車上有人相對車廂為u的速度向東水平拋出一小球，已知v>u，站在地面上的人看到小球的運動軌跡應是（圖中箭頭表示列車運動的方向）
4．如圖4—23所示，斜面上有a、b、c、d四個點，ab=bc=cd，從a點正上方的O點以速度v水平拋出一個小球，它落在斜面上b 。若小球從O點以速度2v水平拋出，不計空氣阻力，則它落在斜面上的
A．b與c之間的某上點 B．c點
C．c與d之間的某點 D．d點
5．如圖4—24所示，從傾角為θ的斜面頂端拋出一個小球，落在斜面上某處，那么小球落在斜面上的速度與斜面的夾角α，則α為
A．不可能等于900 B．隨初速度增大而增大
C．隨初速度增大而減小 D．與初速度大小無關
6．對于平拋運動（不計空氣阻力， g為已知），下列條中可確定物體飛行時間的是
A．已知水平位移 B．已知下落高度
C．已知初速度 D．已知位移的大小和方向
7．小球由傾角為300的斜面上某一點平拋，初動能為6J，它落到斜面上時動能為 J
8．飛機以恒定的速度v沿水平方向飛行，高度為200m。在飛行過程中釋放一炸彈，經過30s后飛行員聽見炸彈落地的爆炸聲，假設爆炸聲向空間各個方向的傳播速度都為330m/s，炸彈受到的空氣阻力可以忽略。求該飛機的飛行速度v
9．如圖4-25所示，一水平放置的平行板電容器的極板長為 ，板間距離為d，
離極板右端距離為S處有一豎直放置熒光屏，現讓兩極板帶上等量異種電荷，有一束帶正電的粒子（不計重力）沿兩極板之間中線且平行極板從左端射入，從下極板右端飛出電場。設
極板間中線交熒光屏于O點，求粒子擊中熒光屏處離O點的距離y。
10．如圖4-26所示，一個圓柱器的內壁是光滑的，圓柱高為h，直徑為 d，一小球從柱的頂端A處直徑方向水平射出，在B處和器壁發生碰撞（碰撞中無機械能損失）后被彈射回，如此反復整數次后落到容器底部。設水平射出的初速度為v ，求小球在容器中彈射的次數。
專題四 圓周運動的規律及處理方法
【考點透析】
一、本專題考點： 本專題為II類要求。不要求推導向心力公式。
二、理解和掌握的內容
1.描述圓周運動的物理量:（1）線速度：是用描述質點沿圓周運動快慢的物理量，是矢量，方向：沿質點在圓弧上的點的切線方向；大小： （s是t時間內質點通過的弧長）.
（2）角速度：用描述質點繞圓心轉動的快慢，其大小： （rad/s），其中ф是連接質點和圓心的半徑在時間t內轉過的角度。
（3）周期與頻率：做圓周運動的物體運動一周所用的時間叫做周期，用T表示。做圓周運動的物體單位時間內沿圓周繞圓心轉過的圈數，叫做頻率，也叫轉速，用f表示。
以上四量的關系：T= ，ω= πrf=ωr
注意：T、f、r三個量中任一個確定，其余兩個也就確定了。但 還是和半徑r有關。
（4）向心加速度：是用描述質點速度方向改變快慢的物理量，是矢量。
大小：
方向：總是指向圓心，方向時刻在變化，不論a的大小是否變化，a都是個變加速度。因此，做圓周運動的物體一定是在做變加速曲線運動。
（5）向心力：是根據其作用效果命名的，向心力產生向心加速度，只改變線速度的方向，不改變速度的大小。因此，向心力對期待圓周運動的物體不做功。
大小：F=
方向：總是沿半徑指向圓心，時刻在變化，即向心力是變力。
2．圓周運動：（1）勻速圓周運動：①特點：線速度的大小恒定，角速度、周期和頻率都是恒定不變的，向心加速度和向心力的大小也是恒定不變的。②性質：是速度大小不變而速度方向時刻在變的變速曲線運動，并且是加速度大小不變、方向時刻變化的變加速曲線運動。③做勻速圓周運動的條：物體所受的合外力充當向心力，其大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心。
（2）一般的圓周運動：即非勻速圓周運動，速度大小有變化，向心力和向心加速度的大小也隨著變化，向心力和向心加速度公式中的速度應為質點的瞬時速度。
3．處理圓周運動問題的基本方法：（1）從運動學角度：會分析質點的運動規律，會確定描述其運動的各個參量之間的關系，理解并會應用圓周運動的周期性分析實際問題。
（2）從動力學角度：會根據牛頓運動定律建立動力學方程，通過正確的受力分析，明確什么力充當質點做圓周運動的向心力。
4．難點釋疑：（1）在處理傳動裝置的各物理量時，要抓住同軸的各質點具有相同的角速度，在傳動皮帶及輪子的邊緣上的點具有相同的線速度，如圖4-27所示，大輪半徑為小輪半徑的2倍，A、C分別為兩輪邊緣上的點，B到圓心的距離為大圓半徑的一半，由上述結論可知，A、B具在相同的角速度，A、C具有相同的線速度， =ωr，A、B線速度之比為2:1，A、C角速度之比為1:2
（2）向心力不是和重力、彈力、摩擦力相并列的一種力，是根據力的作用效果命名的指向圓心的合外力，在分析做圓周運動的質點受力情況時，切不可在物體的相互作用力（重力、彈力、摩擦力、萬有引力）以外再添加一個向心力。
【例題精析】
例1 如圖4-28所示一圓盤可繞一通過圓盤中心O且垂直于盤面的豎直軸轉動。在圓盤上放置一木塊，木塊隨圓盤一起做勻速轉動
A．木塊受到圓盤對它的摩擦力，方向背離圓盤中心
B．木塊受到圓盤對它的摩擦 力，方向指向圓盤中心
C．因為木塊隨圓盤一起運動，所以木塊受到圓盤對它的摩擦力，方向與木塊的運動方向相同。
D．摩擦力總是阻礙物體的運動，所以木塊受到圓盤對它的摩擦力，方向與木塊的運動方向相反。
解析：相對地面說，木塊是做勻速圓周運動的，必定受到其它物體作用于它的沿圓周半徑指向圓心的合外力作用，且此合外力充當向心力，現在水平方向木塊只可能受到圓盤作用于它的摩擦力，所以選項B是正確的，其余錯誤。
木塊隨盤一起做勻速圓周運動，假如摩擦力突然消失，對地說，木塊由于慣性將沿圓周的切線方向飛出，而對盤說木塊是沿半徑向外運動，即木塊相對于圓盤有向外運動的趨勢，圓盤作用于木塊的摩擦力的方向是沿盤半徑向里的。故A不對
力不是運動的原因，力的方向也不一定與物體的運動方向一致，但力的方向與加速度方向總是相同的。木塊隨盤轉動的加速度方向指圓心，而不是沿切線方向，故C不對。
“摩擦力總是阻礙物體運動”這句話本身就不正確。正確的說法是摩擦力的方向與相互接觸的物體間的相對運動或相對運動趨勢的方向相反。木塊有相對盤向外運動的趨勢，因此它受的摩擦力是沿半徑方向向里的。故D不對。
本題重點考查學生是否理解物理概念和物理規律的確切含義，能否鑒別關于概念、規律、條的似乎是而非的說法。要求學生處理實際問題時，要用科學的物理眼光分析問題，在實踐中理解物理知識。
思考拓寬：如圖4-29所示，水平轉臺上放著A、B、C三物塊，質量分別為2m、m、m，離轉軸距離分別為R、R、2R，與轉臺動摩擦因數相同，轉臺旋轉時，其最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法正確的是
A．若三物體均未滑動，則C物向心加速度最大
B．若三物體均未滑動，則B物受到的摩擦力最大
C．轉速增加，A比Ｂ先滑動
D．轉速增加，C物先滑動
答案：Ａ．Ｄ
例2 如圖4-30所示，、N是兩個共軸圓筒的橫
截面，外筒半徑為R，內筒半徑比R小很多，可以忽略不計，筒的兩端是封閉的，兩筒之間成真空。兩筒以相同的速度ω繞其中軸線（圖中垂直于紙面）做勻速轉動。設從筒內部可以通過窄縫s（與筒的軸線平行）不斷地向外射出兩種不同速率 和 的微粒，從s處射出時的初速度的方向都是沿筒的半徑方向，微粒到達N筒后就附著在N筒上，如果R、 、 都不變，而ω取某一合適的值，則
A．有可能使微粒落在筒上的位置都在a處一條與s縫平行的窄條上
B．有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一處如b處一條與s縫平行的窄條上
C．有可能使微粒落在N筒上的位置分別在某兩處如b處和c處與s縫平行的窄條上
D．只要時間足夠長，N筒上將到處都落有微粒
解析 若共軸的和N不轉動，從筒的縫s射出的粒子就應該落在a處，若兩筒以相同的速度ω繞其中心軸做勻速轉動，遇從s縫射出的微粒落在N筒上時對于a就應偏轉了一定的角度。
設 、> ，速率為 的微粒落在N筒上的位置轉過的角度應為
同樣，速率為 的微粒落在N筒上的位置轉過的角度
兩種微粒偏轉角度的差值為
欲使微粒落在N筒上同一條與s逢平行的窄條上，則需
(n= 1,2,3…)
若兩種微粒都落在N上正對s縫的a穿條，則應
,
且應滿足 > 條。
ω合適的取值范圍為：
若兩種微粒落在N筒上某兩處平行的窄條上，則應滿足
△θ≠2л ，那么ω合適的取值為：
綜上所述，選取項（A）（B）（C）正確。
【能力提升】
Ⅰ 知識與技能
1.關于勻速圓周運動下列說法正確的是
A．勻速圓周運動屬于變速曲線運動
B．勻速圓周運動的加速度是用描述線速度方向改變快慢的物理量
C．對于給定的勻速圓周運動、角速度、周期、轉速是不變量
D．勻速圓周運動的向心加速度和向心力始終指向圓心，所以兩者的方向是不變的
2．某質點做勻速圓周運動，圓周半徑為r，周期為T，若保持向心加速度的大小不變化，當圓周半徑為4r時，運動周期為
A．4T B．2T C． D．12T
3．某質以恒定速率沿圓弧從A點運動到B點，其速度方向改變了θ（弧度），AB的弧長為s，質點所受到的合外力為F，根據上述描述，可求出
A．質點期做圓周運動的半徑R B．質點做圓周運動的周期T
C．質點做圓周運動的線速度的大小 D．質點做圓周運動的動能Ek
4．由上海飛往美國洛杉磯的飛機在飛越太平洋上空的過程中，如果保持飛行速度的大小和距離海面的高度均不變，以下說法正確的是
A．飛機做的是勻速直線運動
B．飛機上的乘客對座椅壓力略大于地球對乘客的引力
C．飛機上的乘客對座椅的壓力略小于地球對乘客和引力
D．飛機上的乘客對座椅的壓力為零
5．一個半徑R的紙質圓筒，繞其中心軸勻速轉動，角速度為ω，一粒子彈沿AO方向打進紙筒，從紙筒上的B點穿出，如圖4-31所示，從子彈打入紙筒的過程中，紙筒未轉夠一周，若AB弧所對的圓心角為θ，則子彈的速度大小υ應是
A．ωR B．ωR/θ
C．2Rω/θ D．2Rω/（π-θ）
Ⅱ 能力與素質
6．飛機以350km/h的速度在地球表面附近飛行，下列哪種情況飛機上的乘客可在較長時間內看見太陽不動的停在空中？（已知地球半徑R=6400km,sin78°=0.978）
A．在北緯78°由東向西飛行 B．在北緯78°由西向東飛行
C．在北緯12°由東向西飛行 D．在北緯12°由西向東飛行
7．如圖4-32光滑的水平面上釘有兩枚鐵釘A和B相距0.1m，長1m的柔軟細繩拴在A上，另一端系一質量為0.5kg的小球，小球的初始位置在AB連線上A的一側，把細線拉緊，給小球以2m/s的垂直細線方向的水平速度使它做圓周運動。由于釘子B的存在，使線慢慢地纏在A、B上。
（1）．如果細線不會斷裂，從小球開始運動到細線完全纏在A、B上需要多長時間？
（2）．如果細線的抗斷拉力為7N，從開始運動到細線斷裂需經歷多長時間？
8．一根長為L的均勻細桿，可以繞通過其一端的水平軸O在豎直面內轉動，桿最初在水平位置上，桿上距O點 L處放一小物體m（可視為質點），桿與小物體最初處于靜止狀態，如圖4-33所示，如 桿忽然以角速度ω繞 O軸勻速轉動，問ω取什么值時桿OA與小物體可再次相遇？
9．有一水平放置的圓盤，上面放一勁度系數為k的彈簧，彈簧一端固定于軸O上，另一端拴一根質量為m的物體A，物體與盤面間最大靜摩擦力為 ，彈簧未發生形變，長度為R0，如圖4-34所示，問：
（1 ）．盤的轉速n0多大時，物體A開始滑動？
（2）．當轉速達到2n0時，彈簧的伸長量是多少？
10．如圖4-35所示，汽車總質量為1.5×104kg，以不變的速率先后駛過凹型路面和凸型路面。路面圓弧半徑均為15 m，如果路面的最大壓力不得超過2.0×105N，汽車的最大速率為多少？汽車以此最大速率運行，則駛過此路面的最小壓力為多少？
專題五 豎直平面內的圓周運動
【考點透析】
一、本專題考點：圓周運動及牛頓第二定律的應用。
二、理解和掌握的內容
1．豎直面內的勻速率圓周運動:物體所受合外力大小恒定,方向總指向圓心,充當其做圓周運動的向心力;滿足勻速圓周運動的基本規律.
2．豎直面內的變速率圓周運動:具有周期性，速率、角速度、向心加速度及向心力隨時間變化。要會根據牛頓第二定律列最高點及最低點的動力學方程,會根據能量的觀點確定質點的不同位置的狀態關系.
3．難點釋疑：豎直面內的圓周運動中物體的臨界狀態分析：
（1）細線模型：如圖4-36（甲），在長為L的輕線下掛一質量為m的小球，繞定點O在豎直平面內轉動，通過最高點時，其速度 至少多大？
設小球在最高點的速度為 ,受到細線對它的豎直向下的拉力T，受到向下的重力mg，由牛頓第二定律可得： mg=m -mg 0 即
小球在圓軌道最高點的速度至少應為
與此相類似的情況還有小球沿豎直平面內的光滑圓軌道的內緣運動，飛行員在豎直平面內作圓運動的物技表演，雜技“水流星”。
（2）細桿模型：如圖4-37（甲）在一長為L的細桿的一端拴一質量為m的小球，繞桿的另一端在豎直平面內作圓周運動。小球能到達軌道最高點的最小速度為多大？
細線對小球只能有拉力作用，而細桿對小球不但可以有拉力作用，還可以有支持力作用，在圓軌道的最高點，當細桿對小球豎直方向的支持力大小等于小球重力的大小時，小球受到的合力為零，則小球的線速度為零，即小球在圓軌道最高點的最小值為零。
汽車過凸形橋、小球在豎直平面內的光滑圓管內運動等都屬于這種情況。
【例題精析】
例1 如圖4-38所示，在電機距軸O為r處固定一質量為m的鐵塊。電機啟動后，鐵塊以角速度ω繞軸O勻速轉動，則電機對地面的最大壓力和最小壓力之差為
解析：設鐵塊在最高點和最低點時，電機對其作用力分別為T1、T2，且都指向軸心，根據牛頓第二定律有：
在最高點：mg+T1=mω2r ①
在最低點：T2-mg= mω2r ②
電機對地面的最大壓力和最小壓力分別出現在鐵塊m位于最低點和最高點時，且壓力差的大小為：
ΔN=T2+T1
由①②③式可解得：ΔN=2mω2r
思考拓寬：在（1）若m在最高點時突然與電機脫離，它將如何運動？
（2）當角速度ω為何值時鐵塊在最高點與電機恰好無作用力？
（3）本題也可認為是一電動打夯機的原理示意圖。若電機的質量為，則ω多大時，電機可以“跳”起？此情總下，對地面的最大壓力是多少？
例2．如圖4-39所示，一內壁光滑的環形細圓管，位于豎直平面內，環的半徑為R（比細管的半徑大得多）。在圓管中有兩個直徑與細管內相同的小球（可視為質點）。A球的質量為m1，B球的質量顯m2，它們沿環形圓管順時針運動，經過最低點時的速度都為 .設A球運動到最低點時，B球恰好運動到最高點。若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m1、m2、R與 應滿足的關系式是
解析：A球在最低及B球在最高點的受力如圖4—46所示，設管對A、B兩球的作用力為NA、NB（設向下為正）則有：
對A：NA-m1g=m1 ①
且NA的方向必向上，由牛頓第三定律A球對管的壓力向下，為使A、B兩球對管的壓力的合力為零，所以B對管的壓力方向必向上，管對B球的壓力必向下。
對B：NB+m2g=m2 ②
其中 為B球在最高點的速度，由機械能守恒定律： m2 = m2 +2m2gR ③
依題意：NA=NB，則有A、B對圓管的合力為0，整理得，m1、m2,R及 應滿足關系式：（m1-m2） +(m1+5m2)g=0
這是一道圓周運動與機械能守恒定律的綜合題目，也是一道情景新穎的討論題，要求能 正確地對A、B進行受力分析，判斷出A、B受到圓管對它的作用力的方向，列出正確的方程式，問題便會迎刃而解。
思考拓寬：討論（1）在滿足題意的前提下， 須滿足的條是
討論（2）如果在B球運動到最高點時，B剛好與管無相互作用，其它條不變，設管的質量為，則此時圓管對地面的壓力為
提示：（1）由題中分析解方程②③得
NB=m2( -5g)，NB方向向下，NB>0。可解得 >
（2）如B在最高點對管無作用力，即NB=0，則可解得 0= 。此時A在最低點對管的壓力大小等于NA=m1g.由平衡條及牛頓第三定律可得，管對地面的壓力N=g+6m1g
【能力提升】
Ⅰ 知識與技能
1．如圖4-40所示，細桿的一端與一小球相連，可繞過O點的水平軸自由轉動。現給小球一初速度，使它做圓周運動，圖中a、b分別表示小球軌道的最低點和最高點，則桿對球的作用力可能是
A．a處為拉力，b處為拉力
B．a處為拉力，b處為推力
C．a處為推力，b處為拉力
D．a處為推力，b處為推力
2．質量為m的小球被系在輕繩一端，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，運動過程中小球受到空氣阻力的作用。設某一時刻小球通過軌道的最低點，此時繩子的張力為7mg，此后小球繼續做圓周運動，經過半個圓周恰能通過最高點，則在此過程中小球克服空氣阻力做的功為
A． mgR B． mgR C． mgR D．mgR
3．一輛卡車在丘陵地勻速行駛，地形如4-41所示，由于輪胎太舊，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段就是
A．a處 B．b處 C．c處 D．d處
4．輕桿一端固定在光滑水平軸O上，另一端固定一質量為m的小球，如圖4-42所示，給小球一初速度，使其在豎直平面內做圓周運動，且剛好能通過最高點P，下列說法正確的是
A．小球在最高點對桿的力為零
B．小球在最高點對桿的作用力大小為mg
C．若增大小球的初速度，則在最高點時球對桿的力一定增大
D．若增大小球的初速度，則在最高點時球對桿的力可能增大
5．如圖4-43所示，質量為m的小球，用長為 的線懸掛在O點，在O點正下方 /2處有一光滑的釘子O?，把小球拉到與O?在同一水平線的位置，擺線被釘子攔住，將小球從靜止釋放，當第一次通過最低點P時
A．小球速率突然減小
B．小球角速度突然減小
C．小球的向心加速度突然減小
D．擺線上的張力突然減小
Ⅱ 能力與素質
6．如圖4-44所示，質量為m的小球在豎直兩面內的圓形軌道的內側運動，經過最高點不脫離軌
道的臨界速度值是 ，當小球以2 的速度經過最高點時，對軌道的壓力值是
A．0 B．mg C．3mg D．5mg
7．如圖4-45所示，一長為2L的輕桿，兩端各固定一小球，A球質量為，B球質量為m，且> m，過桿的中點有水平光滑固定軸，桿可繞軸在豎直面內轉動，當桿轉動到豎直位置時，角速度為 ，A正好位于上端，B正好位于下端，則沿豎直方向，桿作用于固定軸的力的方向一定向上的條是
8．質量為m，電量為+q的小球用一絕緣細線懸于O點，開始時它在A、B之間回擺動，OA、OB與豎直方向的夾角均為，如圖4-46所示，（1）如果當它擺動到B點時突然施加一豎直向上的、大小為E=mg/q的勻強電場，則此時線的拉力 ,（2）如果這一電場是在小球從A點擺到最低點C時突然加上去的，則當小球運動到B點時線的拉力
9．飛行員從俯沖狀態往上拉時，會發生黑視，第，一次是因為血壓降低，導致視網膜缺血，問（1）血壓為什么會降低？（2）血壓在人體循環中所起的作用是什么？（3）為了使飛行員適應這種情況，要在如圖4-47的儀器中對飛行員進行訓練，飛行員坐在一個垂直平面做勻速圓周運動的艙內，要使飛行員受到的加速度a=6g，則轉速需為多少？
10．如圖4-48所示，小球A用不可伸長的輕繩懸于O點，在O點的正下方有一固定的釘子，OB=y。初始時，小球A與O同水平面無初速釋放，繩長為 ，為使球能繞B點做圓周運動，求y的取值范圍。
專題六 萬有引力定律 天體運動
【考點透析】
一、本專題考點： 本專題為II類要求。
二、理解和掌握的內容
1.萬有引力定律：（1）萬有引力定律的內容和公式：宇宙間的一切物體都是互相吸引的，兩個物體間的引力的大小，跟它們的質量和乘積成正比，跟它們距離平方成反比，公式：
F=G 其中萬有引力恒量G=6.67×10-11Nm2/kg2
（2）適用條：適用于質點間的相互作用。當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點。均勻的球體可視為質點，r為兩球心之間的距離。
2．萬有引力定律在天體運動研究中的應用：
（1）基本方法：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供。
G =m =mω2R=m m
應用時可根據實際情況選用適當的公式進行分析或計算。
（2）天體質量、密度ρ的估算：
測出衛星繞天體做勻速圓周運動的半徑R和周期T，由G = 得
= 為天體的半徑。
當衛星沿天體表面繞天體運行時，R=R0，則ρ=
3．重力和萬有引力
重力是地面附近的物體受到地球的萬有引力面產生的。物體的重力和地球對該物體的萬有引力差別很小，一般可認為二者大小相等。即 mg0=G ,式中g0為地球表面附近的加速度，R0為地球的半徑。所以在求第一宇宙速度時，可以用m =G ，也可以用m =mg0.
【例題精析】
例1 在天體運動中，將兩顆彼此距離較近的星體稱為雙星，已知該兩星體質量分別為1、2，它們之間距離為L，求各自運動半徑及角速度？
解析：雙星體間彼此距離較近，存在著萬有引力且距離不變，那么這兩顆星體一定繞著兩星連線上某一點（兩星體質心位置）做勻速圓周運動，設該點為O，則1O2應始終在同一直線上，1與2的角速度ω應相等，設1到O點距離為R，2到O點距離為L-R有：
F引=G12/L2 ①
F引=1ω2•R=2ω2（L-R） ②
由②式得 R= L
由于①②式， =1ω2R，以代入，得
ω=
例2．利用下列哪組數據，可以計算出地球的質量
A．已知地球的半徑R地和地面的重力加速度g
B．已知衛星繞地球勻速圓周運動的軌道半徑r和周期T
C．已知衛星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑r和線速度
D．已知衛星繞地球做勻速圓周運動的線速度 和周期T
解析 選項A 設相對地面靜止的某一物體質量為m，根據萬有引力等于重力的關系得
G= =mg 解得 地=
選項B 設衛星質量為m，根據萬有引力等于向心力的關系得
G =mg 解得 地=
選項C 設衛星質量為m，根據萬有引力等于向心力的關系得
G =m 解得 地=
選項D 設衛星質量為m，根據萬有引力等于向心的關系可得
以上兩式消r解得 地 =
綜上所述，該題的四個選項都是正確的，如果已知地球的半徑R地，且把地球視為球體，則地球的體積V= ，根據 ρ= ，還可以計算出地球的平均密度ρ。上述計算質量和密度的方法，也可用于計算其它天體的質量和密度。
【能力提升】
Ⅰ 知識與技能
1．某人在一星球表面以速度V0豎直向上拋一物體，經t秒后物體落回手中，若星球的半徑為R，那么至少要用多大的速度將物體沿星球表面拋出，才能使物體不現落回星球表面？
A． B． C． D．
2．宇宙飛船進入一個圍繞太陽運行的近乎圓形的軌道運動，如果軌道半徑是地球軌道半徑的9倍，那么宇宙飛船繞太陽運行的周期是
A．3年 B．9年． C．27年 D．81年
3．月亮繞地球轉動的周期為T．軌道半徑為r，則由此可得地球質量的表達式為 （萬 有引力恒量為G）
4．登月火箭關閉發動機后在離月球表面112km的空中沿圓形軌道運行周期為120.5分鐘，月球的半徑是1740 km，據這些數據計算月球的質量為 kg.
5“黑洞”是愛因斯坦的廣義權對論中預言的一種特殊天體，它的密度極大，對周圍物質（包括光子）有極強的吸引力，根據愛因斯坦理論，光子是有質量的，光子到達黑洞表面時也將被吸入，最多恰能繞黑洞表面做圓周運動。根據天觀測，銀河系中心可能有一個黑洞，距該可能黑洞6.0×1012m遠的星體正以2.0×106m/s的速度繞它旋轉，試估算該可能黑洞的最大半徑R= m(保留一位有效數字)。
Ⅱ 能力與素質
6．人們認為某些中子星（密度極大的恒星）每秒大約自轉一周，那么為使其表面上的物體能夠被吸引住而不致由于快速轉動被“甩掉”，它的密度ρ= 。
（G=6.67×10-11Nm2/kg2,R地=6.4×103km，保留兩位有效數字）
7．某一物體在地球表面用彈簧秤得重160N。把該物體放在航天器中，若航天器以加速度a=g/2(g為地球表面的重力加速)垂直地面上升，這時再用同一彈簧秤秤得物體的視重為90N。忽略地球自轉的影響，已知地球半徑為R，求此航天器距地面的高度。
8．在某星球上，宇航員用彈簧秤得質量為m的砝碼重力為F，乘宇宙飛船在靠近該星球表面飛行，測得其環繞周期是T。根據上述各量，試求該星球的質量。
9．站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球，經過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離L。若拋出時的初速度增大到2位，則拋出點與落地點之間的距離為 L。已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數為G，求該星球的質量。
10．兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動。現測得兩星中心距離為R，其運動周期為T，求兩星的總質量。
專題七 人造地球衛星
【考點透析】
一、本專題考點：本專題為Ⅱ類要求。
二、理解和掌握的內容
1．衛星的繞行速度、角速度、周期與半徑R的關系：（1） G ， 得 ，
∴R越大， 越小。
（2）由G ， 得
∴R越大，ω越小。
（3）由G 得 T=
∴R越大，T越小。
2．三種宇宙速度
（1）第一宇宙速度（環繞速度）： =7.9km/s，人造地球衛星的最小發射速度。
（2）第二宇宙速度（脫離速度）： =11.2km/s,使物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度。
（3）第三宇宙速度（逃逸速度）： 3=16.7km/s,使物體掙脫太陽引力束縛的最小發射擊速度。
3．地球同步衛星
所謂地球同步衛星，是相對于地面靜止的和地球自轉具有同周期的衛星，T=24h。同步衛星必須位于赤道正上方距地面高度h≈3.6×104km處。
4．難點釋疑：
（1）隨地球自轉的向心加速度和環繞運行的向心加速度。
放于地面上的物體隨地球自轉所需的向心力是地球對物體的引力和地面支持力的合力提供；而環繞地球運行的衛星所需的向心力完全由地球對其的引力提供。兩個向心力的數值相差很多，如質量為1kg的物體在赤道上隨地球自轉所需的向心力只有0.03N，而它所受地球引力約為9.8N。
對應的兩個向心加速度的計算方法也不同：物體隨地球自轉的向心加速度a1=ω2R0=（ ）2R0，式中T為地球自轉周期，R0為球半徑；衛星繞地球環繞運行的向心加速度a2= ，式中為地球質量，r為衛星與地心的距離。
（2）運行速度和發射速度
對于人造地球衛星，由G 得 = ，該速度指的是人造地球衛星在軌道上的運行速度，其大小隨軌道半徑的增大而減小。但由于人造地球衛星發射過程要克服地球引力作功，增大重力勢能，所以將衛星發射到離地球越遠的軌道上所需要的發射速度越大。
（3）為何同步衛星必須位于赤道正上方？由于同步衛星相對于地面靜止，因此它必須做勻速圓周運動，而做勻速圓周運動的物體的合外力必總是指向圓心，衛星受到的合外力是地球對它的萬有引力，故只有在赤道上方才能滿足這一條，衛星才能穩定運行。
【例題精析】
例1 可以發射一顆這樣的人造地球衛星，使其圓軌道
A．與地球表面上某一緯度線（非赤道）是共面同心圓
B．與地球表面上某一經度線所決定的圓是共面同心圓
C．與地球表面上的赤道線是共面同心圓，且衛星相對地球表面是靜止的
D．與地球表面一的赤道線是共面同心圓，但衛星相對地球表面是運動的
【解析】 萬有引力完全用于提供人造球衛星繞地圓周運動的向心力。A選項的情景中，萬有引力在某一緯度面內的一個分力提供向心力，萬有引力的另一個分力會使衛星軌道離開這個平面；B選項的情景中，萬有引力全部提供衛星圓周運動的向心力，使其軌道平面相對地心、兩極固定下，但由于地球不停地自轉，軌道平面不會固定于某一經線決定的平面，選項A、B錯。赤道軌道上衛星受的引力全部提供向心力，除通信衛采用“地球靜止軌道”外，赤道軌道上的其他衛星都相對地球表面是運動的，選項C、D正確。
例2 發射地球同步衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道1，然后經點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火，將衛星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點（如圖4-49），則衛星分別在1，2，3軌道上正常運行時，以下說法正確的是
A．衛星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率
B．衛星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度
C．衛星在軌道1上經過Q點時的加速度大于它在軌道2上經過Q點時的加速度
D．衛星在軌道2上經過P點時的加速度等于它在軌道3上經過P點時的加速度
【解析】 “ 相切”隱含著2、3軌道在切點P，2、1軌道在切點Q各有相同的彎曲程度（實質是曲率半徑相同），即各有相同的瞬時軌道半徑。
由萬有引力定律及牛頓第二定律有
導出
與ω都是r的遞減函數，故知B項對，A項錯。a=G/r2,即加速度a亦是r的遞減函數，而衛星處在切點時兩軌道瞬時運行半徑相同，故知D項對、C項錯
綜合得正確選項有B、D
思考與拓寬：試分析衛星在軌道1上運行時機械能與在軌道3上運行時機械能的大小關系，衛星在軌道1上運行通過Q點時，如何動作才能使衛星進入軌道2？
例3 已知物體從地球上的逃逸速度（第二宇宙速度） ，其中G、E、RE分別是引力常量、天體的質量和半徑。已知G=6.67×10-11N•m2/kg2,c=2.9979×108m/s.求下列問題：（1）逃逸速度大于真空中光速的天體叫做黑洞，設某黑洞的質量等于太陽的質量=1.98×1030kg,求它的可能最大半徑（這個半徑叫shwarzchld半徑）；（2）在目前天觀測范圍內，物質的平均密度為10-27kg/m3,如果認為我們的宇宙是這樣一個均勻大球體，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物體都不能脫離宇宙，問宇宙的半徑至少多大？
【解析】（1）由題目所提供的信息可知，任何天體的均存在其所對應的逃逸速度 ，其中、R為天體的質量和半徑，對于黑洞模型說，其逃逸速度大于真空中的光速，即 2>c,所以
R< =2.94×103(m)
即質量為1.98×1030kg的黑洞的最大半徑為2.94×103m.
（2）把宇宙視為一普通天體，則其質量為=ρ•V=ρ• ①
其中R為宇宙的半徑，ρ為宇宙的密度，則宇宙所對應的逃逸速度為
②
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c即， >c ③
則由以上三式可得R= =4.24×1010光年，即宇宙的半徑至少為4.24×1010光年。
【能力提升】
Ⅰ 知識與技能
1．月球繞地球運動的周期為27天，則地球的同步衛星到地球中心的距離r與月球中心到地球中心的距離R之比為
A． B． C． D．
2．如圖4-50中的圓a、b、c，其圓心均在地球的自轉軸線上，對衛星繞地球做勻速圓周運動而言
A．衛星的軌道可能為a
B．衛星的軌道可能為b
C．衛星的軌道可能為c
D．同步衛星的軌道只可能為b
3．一顆人造地球衛星以初速度 發射后繞地球做勻速圓周運動，若使發射速度為2 ，則該衛星可能
A．繞地球做勻速圓周運動，周期變大
B．繞地球運動，軌道變為橢圓
C．不繞地球運動，成 為太陽系的人造行星
D．掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的宇宙
4．地球上有兩位相距非常遠的觀察者，都發現自己的正上方有一顆人造地球衛星，相對自己靜止不動，則這兩位觀察者的位置以及兩顆人造地球衛星到地球中心的距離可能是
A．一人在南極，一人在北極，兩衛星到地球中心的距離一定相等
B．一人在南極，一人在北極，兩衛星到地球中心的距離可以不等，但應成整數倍
C．兩人都在赤道上，兩衛星到地球中心的距離一定相等
D．兩人都在赤道上，兩衛星到地球中心的距離可以不等，但應成整數倍
5．設想人類開發月球，不斷把月球上的礦藏搬運到地球上，假定經過長時間開采后，地球仍可看作是均勻的球體，月球仍沿開采前的圓周軌道運動，則與開采前相比
A．地球與月球間的萬有引力將變大
B．地球與月球間的萬有引力將變小
C．月球繞地球運動的周期將變長
D．月球繞地球運動的周期將變短
Ⅱ 能力與素質
6．地球同步衛星到地心的距離r可由r3= 求出。已知式中a的單位是m，b的單位是s，c的單位是m/s2則
A．a是地球半徑，b是地球自轉的周期，c是地球表面處的重力加速度
B．a是地球半徑，b是同步衛星繞地心運動的周期，c是同步衛星的加速度
C．a是赤道周長，b是地球自轉的周期，c是同步 衛星的加速度
D．a是地球半徑，b是同步衛星繞地心運動的周期，c是地球表面處的重力加速度
7．某人造地球衛星因受高空稀薄空氣的阻力作用，繞地球運轉的軌道會慢慢改變，每次測量中衛星的運動可近似看作圓周運動，某次測量衛星的軌道半徑為r1,后變為r2。r2<r1，以E1、E2表示衛星在這兩個軌道上的動能，T1、T2表示衛星在這兩個軌道上繞地球運動的周期，則
A．E2<E1，T2<T1 B．E2<E1，T2>T1
C．E2>E1，T2<T1 D．E2>E1，T2>T1
8．據觀測，某行星外圍有一環，為了判斷環是行星的連續物還是衛星群，可以測出環中各層的線速度V的大小與這層至行星中心的距離R之間的關系
A．若V與R成正比，則環是連續物
B．若V2與R成正比，則環是衛星群
C．若V與R成反比，則環是連續物
D．若V2與R成反比，則環是衛星群
9．在地表附近某一高度處水平發射甲、乙兩顆衛星，如圖4-51所示，甲繞地球作圓周運動，乙繞地球作橢圓運動。E、F兩點分別在兩軌道上，且E點、F點和地心在一條直線上，由圖可知
A．發射甲衛星的速度一定比了射乙衛星的速度大
B．發射乙衛星的速度一定大于7.9km/s
C．甲衛星在E點的加速度一定比乙衛星在F點的加速度大
D．甲衛星在E點的速度一定比乙衛星在F點的速度大
10．假設站在赤道某地的人，恰能在日落后4小時的時候，恰觀察到一顆自己頭頂上空被陽光照亮的人造地球衛星，若該衛星是在赤道所在平面內做勻速圓周運動，又已知地球的同步衛星繞地球運行的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍，試估算此人造地球衛星繞地球運行的周期是多少？
效果驗收
１．雨滴由靜止開始下落，遇到水平方向吹的風，下述說法正確的是
A．風速越大，雨滴下落的時間越長
B．風速越大，雨滴著地的速度越大
C．雨滴落地時間與風速無關
D．雨滴落地速度與風速無關
2．加速度不變的運動，
A．一定是直線運動
B．可能是直線運動，也可能是曲線運動
C．可能是勻速圓周運動
D．若初速度為零，一定是直線運動
3．宇航員在圍繞地球做勻速圓周運動的航天器中會處于失重狀態，下述說法正確的是
A．宇航員仍受重力作用 B．宇航員受力平衡
C．重力正好充當宇航員圍繞地球做圓周運動向心力
D．重力仍產生加速度
4．由于地球自轉，地球上所有物體都隨地球一起運轉，因此
A．我國各地的物體都具有相同的角速度
B．位于赤道地面上的物體的線速度最大（相對于地軸）
C．地球上所有物體的向心加速度方向都指向地球中心
D．地球表面物體都隨地球一起做勻速圓周運動，故都可看做是地球衛星
5．一秒擺（T=2s）由地球表面移到某一星球表面，其周期變為4s，由此可知
A．該星球半徑為地球半徑的2倍
B．該星球半徑為地球半徑的4倍
C．該星球表面的重力加速度與地球表面重力加速度之比為1:4
D．該星球表面的重力加速度與地球表面重力加速度之比為1:2
6．對于平拋運動（不計空氣阻力，g為已知），下列條中可確定物體飛行時間的是
A．已知水平位移 B．已知下落高度
C．已知初速度 D．已知位移的大小和方向
7．如圖40-52河水流速V1，船在靜水中速度V2，現船橫渡河流，當它分別沿AB和AC到達對岸，且AB、AC與河岸夾角α=β，設沿AB渡河時間t1，沿AC渡河時間t2，則有
A．t1>t2 B．t1=t2 C．t1<t2 D．無法確定
8．如圖4-53，粗糙水平轉臺以角速度ω勻速度轉動，轉臺上有一質量為m的物體，物體與轉臺軸心O間用長L的細線連接，此時物體與轉臺處于相對靜止，設物體與轉臺間的動摩擦因數μ，現突然使轉臺停止轉動，則
A．物體將以O為圓心，L為半徑做變速圓周運動到停止
B．物體能在轉臺上運動一周，在此一周內摩擦力做功為0
C．物體在轉臺上運動 周后停止
D．轉臺停止后，物體做向心運動
9．已知月球的半徑為R，在月球表面以初速度υ0豎直上拋一小球，經時間t落回到手中，如果在月球上發射一顆繞月球做勻速圓周運動的衛星，以下說法正確的是
A．衛星線速度不可能大于 B．衛星的加速度可能大于2υ0/t
C．衛星的角速度不可能小于 D．衛星的周期不可能小于
10．三個人造地球衛星A、B、C在地球的大氣壓層外沿如圖4-54所示的方向做勻速圓周運動，已知mA=mB<mc,則三個衛星
A．線速度大小的關系是υA>υB=υC
B．周期TA<TB=TC
C．向心力大小的關系是FA=FB<FC
D．軌道半徑和周期的關系是
11．某一顆人造地球同步衛星距地面的高度為h，設地球半徑為R，自轉周期為T，地面處重力加速度為g，則該同步衛星的線速度的大小應該為
A． B．
C． D．
12．對于人造地球衛星（看作勻速圓周運動）下列說法正確的是
A．在同一軌道上運行的衛星可以有不相同的線速度
B．在不同軌道上運行的衛星可以有相同的線速度
C．衛星的高度被確定，它的運行周期就被確定
D．衛星的運行周期被確定，它的線速度就被確定
13．在粗糙水平木板上放一物塊，沿圖4-55所示的逆時針方向作勻速圓周運動，圓半徑為R，速率 ，ab為水平直徑，cd為豎直直徑。設運動中木板始終保持水平，物塊相對于木板靜止，則
A．物塊始終受四個力作用
B．只有在a、b、c、d四點，物塊受到的合外力才指向圓心
C．從a運動到b，物塊處于超重狀態
D．從b運動到a，物塊處于超重狀態
14．兩個靠近的天體稱雙星，它們以兩者連線上某點為圓心做勻速圓周運動，其質量分別為m1、m2。如圖4-56所示，以下說法中正確的是
A．其角速度相同
B．線速度與其質量成反比
C．向心力與其質量成正比
D．軌道半徑與其質量成反比
15．1999年5月10日，我國成功地發射了“一箭雙星”，將“風云一號”氣象衛星和“實驗5號”科學實驗衛星送入離地面870km的軌道。“風云一號”可發送紅外氣象遙感信息，為我國提供全球氣象和空間環境監測資料。這兩顆衛星運行速率約為
A．7.9km/s B．3.1km/s C．11.2km/s D．7.4km/s
16．將一個物體從某一高度以4m/s的速度豎直向上拋出，在落地前的最后1s內通過的位移是3m，不計空氣阻力，g=10m/s。
求：（1）物體從拋出到落地的時間；
（2）拋出點距離地面的高度。
17．如圖4-57設滑雪運動員由a點沿水平方向沖出跳臺，在b點落地，a、b兩點直線距離為40m，ab連線與水平成300角，不計空氣阻力，取g=10m/s2,求他沖出跳臺時的速度和空中飛行時間。
18．1999年11月20日，我國發射了“神舟”號載人航天試驗飛船，飛船順利升空，在繞地球軌道飛行一段時間后，于11月21日安全降落在內蒙古中部地區。
(1)若使航天飛船在無動力作用的情況下在地面高為
h=640km的圓軌道上繞地球飛行，則飛行速度應為多少？（地球半徑R=6400km,g =9.8m/s2）
（2）吊在降落傘下的載人航天飛船返回艙豎直下落速度仍達14m/s。為了絕對安全，在返回艙離地面約1.5m時同時啟動5個反推力小火箭，設返回艙做勻減速直線運動，并且接觸地面時速度恰好降為0。若返回艙重量8t，則每支火箭的推力應為多大？
第四 重力作用下的運動 圓周運動 萬有引力參考答案
專題一1．B ，2 C，3．D，4．AD，5．B，6．B，7．C，8．AC，9.
專題二1．C，2．B，3．ABC，4．D，5．B，6．C，7 C，8．C，9．BC，10．． 、 ．
專題三1.C，2．C，3．D，4．A，5．AD，6．BD，7．14，8．12.5，9． 10． ，
專題四1．ABC，2．B，3．AD，4．C，5．D，6．A，7．8.6s、8.2s，，8． 或 ，9． 、 ，10．7.07,1105
專題五1．AB，2．C，3．D，4．BD，5．C，6．BD， 7． 且 >m，8．0、2mg(1-cos)，9．(3)34.29m/s，10．l>y3l/5，
專題六1．B，2．C，3． ，4．7.21022 ，5．3108，6．1.41011 ，7．3R，8． ，9． ，10．
專題七 1．B，2．BCD，3．CD，4．D，5．BD，6．AD，7．C，8．AD，9．BC，10．1.4104 ，
效果驗收1．BC，2．BD，3．ACD，4．AB，5．C，6．BD，7．A，8．AC，9．AD，10．ABD，11．BC，12．CD，13．C，14．ABD，15．D，16.1.2s、2.4m，17． m/s、2s，18.1.2105N
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